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    【真题】2018年广西贵港市中考数学试卷含答案解析.doc

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    【真题】2018年广西贵港市中考数学试卷含答案解析.doc

    2018 年广西贵港市中考数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题四个选项中只有一项是正确的.1. (3.00 分) ﹣8 的倒数是( )A.8 B.﹣8 C. D.2. (3.00 分)一条数学信息在一周内被转发了 2180000 次,将数据 2180000 用科学记数法表示为( )A.2.18 106 B.2.1810 5 C.21.8 106 D.21.810 53. (3.00 分)下列运算正确的是( )A.2a﹣a1 B.2ab2ab C. (a 4) 3a7 D. (﹣a) 2(﹣a) 3﹣a54. (3.00 分)笔筒中有 10 支型号、颜色完全相同的铅笔,将它们逐一标上 1﹣10的号码,若从笔筒中任意抽出一支铅笔,则抽到编号是 3 的倍数的概率是( )A. B. C. D.5. (3.00 分)若点 A(1m,1﹣n )与点 B(﹣ 3,2)关于 y 轴对称,则 mn 的值是( )A.﹣ 5 B.﹣3 C.3 D.16. (3.00 分)已知 α,β 是一元二次方程 x2x﹣20 的两个实数根,则 αβ﹣αβ的值是( )A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣ 37. (3.00 分)若关于 x 的不等式组 无解,则 a 的取值范围是( )A.a ≤﹣ 3 B.a<﹣3 C.a>3 D.a≥38. (3.00 分)下列命题中真命题是( )A. ( ) 2 一定成立B.位似图形不可能全等C.正多边形都是轴对称图形D.圆锥的主视图一定是等边三角形9. (3.00 分)如图,点 A,B,C 均在⊙O 上,若∠ A66,则∠OCB 的度数是( )A.24 B.28 C.33 D.4810. (3.00 分)如图,在 △ABC 中,EF∥BC,AB3AE,若 S 四边形 BCFE16,则 S△ABC( )A.16 B.18 C.20 D.2411. (3.00 分)如图,在菱形 ABCD 中,AC6 ,BD6,E 是 BC 边的中点,P,M 分别是 AC,AB 上的动点,连接 PE,PM,则 PEPM 的最小值是( )A.6 B.3 C.2 D.4.512. (3.00 分)如图,抛物线 y (x2) (x ﹣8)与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,顶点为 M,以 AB 为直径作⊙D.下列结论①抛物线的对称轴是直线 x3;②⊙D 的面积为 16π;③抛物线上存在点 E,使四边形 ACED 为平行四边形;④直线 CM 与⊙D 相切.其中正确结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分13. (3.00 分)若分式 的值不存在,则 x 的值为 .14. (3.00 分)因式分解ax 2﹣a .15. (3.00 分)已知一组数据 4,x,5,y ,7,9 的平均数为 6,众数为 5,则这组数据的中位数是 .16. (3.00 分)如图,将矩形 ABCD 折叠,折痕为 EF,BC 的对应边 BC′与 CD 交于点 M,若∠ B′MD50,则∠BEF 的度数为 .17. (3.00 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB90,AB4,BC2,将△ABC 绕点B 顺时针方向旋转到△A′BC′的位置,此时点 A′恰好在 CB 的延长线上,则图中阴影部分的面积为 (结果保留 π) .18. (3.00 分)如图,直线 l 为 y x,过点 A1(1,0)作 A1B1⊥x 轴,与直线l 交于点 B1,以原点 O 为圆心,OB 1 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A2;再作A2B2⊥x 轴,交直线 l 于点 B2,以原点 O 为圆心, OB2 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A3;,按此作法进行下去,则点 An 的坐标为( ) .[来源学科网 ZXXK]三、解答题(本大题共 8 小题,满分 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. (10.00 分) (1 )计算|3﹣ 5|﹣(π﹣ 3.14) 0(﹣ 2) ﹣1sin30;(2)解分式方程 1 .20. (5.00 分)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法) .如图,已知∠α 和线段 a,求作△ABC,使∠A∠α,∠C90,ABa .21. (6.00 分)如图,已知反比例函数 y (x>0)的图象与一次函数 y﹣ x4的图象交于 A 和 B(6,n)两点.(1)求 k 和 n 的值;(2)若点 C( x,y)也在反比例函数 y (x>0)的图象上,求当 2≤x ≤6 时,函数值 y 的取值范围.22. (8.00 分)为了增强学生的环保意识,某校组织了一次全校 2000 名学生都参加的“环保知识 ”考试,考题共 10 题.考试结束后,学校团委随机抽查部分考生的考卷,对考生答题情况进行分析统计,发现所抽查的考卷中答对题量最少为 6 题,并且绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息解答以下问题(1)本次抽查的样本容量是 ;在扇形统计图中,m ,n , “答对 8 题”所对应扇形的圆心角为 度;(2)将条形统计图补充完整;(3)请根据以上调查结果,估算出该校答对不少于 8 题的学生人数.23. (8.00 分)某中学组织一批学生开展社会实践活动,原计划租用 45 座客车若干辆,但有 15 人没有座位;若租用同样数量的 60 座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知 45 座客车租金为每辆 220 元,60 座客车租金为每辆 300 元.(1)这批学生的人数是多少原计划租用 45 座客车多少辆(2)若租用同一种客车,要使每位学生都有座位,应该怎样租用合算24. (8.00 分)如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,且 ABBCCD,AB∥CD ,连接 BD.(1)求证BD 是⊙O 的切线;(2)若 AB10,cos∠BAC ,求 BD 的长及⊙O 的半径.25. (11.00 分)如图,已知二次函数 yax2bxc 的图象与 x 轴相交于 A(﹣1,0) ,B(3 ,0)两点,与 y 轴相交于点 C(0,﹣ 3) .(1)求这个二次函数的表达式;(2)若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x 轴于点 H,与BC 交于点 M,连接 PC.①求线段 PM 的最大值;②当△PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时,求点 P 的坐标.26. (10.00 分)已知 A、 B 两点在直线 l 的同一侧,线段 AO,BM 均是直线 l的垂线段,且 BM 在 AO 的右边,AO2BM,将 BM 沿直线 l 向右平移,在平移过程中,始终保持∠ABP90不变,BP 边与直线 l 相交于点 P.(1)当 P 与 O 重合时(如图 2 所示) ,设点 C 是 AO 的中点,连接 BC.求证四边形 OCBM 是正方形;(2)请利用如图 1 所示的情形,求证 ;(3)若 AO2 ,且当 MO2PO 时,请直 接写出 AB 和 PB 的长.2018 年广西贵港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题四个选项中只有一项是正确的.[ 来源学,科, 网 Z,X,X,K]1. (3.00 分) ﹣8 的倒数是( )A.8 B.﹣8 C. D.【分析】根据倒数的定义作答.【解答】解﹣8 的倒数是 ﹣ .故选D.2. (3.00 分)一条数学信息在一周内被转发了 2180000 次,将数据 2180000 用科学记数法表示为( )A.2.18 106 B.2.1810 5 C.21.8 106 D.21.810 5【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a10﹣n,其中1≤|a |<10 ,n 为整数, n 的值取决于原数变成 a 时,小数点移动的位数,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝 对值大于 1 时,n 是正数;当原数的绝对值小于 1 时,n 是负数.【解答】解将数据 2180000 用科学记数法表示为 2.18106.故选A.3. (3.00 分)下列运算正确的是( )A.2a﹣a1 B.2ab2ab C. (a 4) 3a7 D. (﹣a) 2(﹣a) 3﹣a5【分析】根据合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法的计算法则解答.【解答】解A、2a﹣aa,故本选项错误;B、2a 与 b 不是同类项,不能合并,故本选项错误;C、 ( a4) 3a12,故本选项错误;D、 (﹣a) 2(﹣a ) 3﹣a5,故本选项正确.故选D.4. (3.00 分)笔筒中有 10 支型号、颜色完全相同的铅笔,将它们逐一标上 1﹣10的号码,若从笔筒中任意抽出一支铅笔,则抽到编号是 3 的倍数的概率是( )A. B. C. D.【分析】由标有 1﹣10 的号码的 10 支铅笔中,标号为 3 的倍数的有 3、6、9 这3 种情况,利用概率公式计算可得.【解答】解∵在标有 1﹣10 的号码的 10 支铅 笔中,标号为 3 的倍数的有3、6 、9 这 3 种情况,∴抽到编号是 3 的倍数的概率是 ,故选C.5. (3.00 分)若点 A(1m,1﹣n )与点 B(﹣ 3,2)关于 y 轴对称,则 mn 的值是( )A.﹣ 5 B.﹣3 C.3 D.1【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点横坐标互为相反数,纵坐标不变,据此求出 m、n 的值,代入计算可得.【解答】解∵点 A(1m,1﹣ n)与点 B(﹣3,2)关于 y 轴对称,∴1m3、1 ﹣n2,解得m2、 n﹣1,所以 mn2﹣11,故选D.6. (3.00 分)已知 α,β 是一元二次方程 x2x﹣20 的两个实数根,则 αβ﹣αβ的值是( )A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣ 3【分析】据根与系数的关系 αβ﹣1,αβ ﹣2,求出 αβ和 αβ的值,再把要求的式子进行整理,即可得出答案.【解答】解∵α,β 是方程 x2x﹣20 的两个实数根,∴αβ﹣1,αβ﹣2,∴αβ﹣αβ﹣1﹣2﹣3,故选D.7. (3.00 分)若关于 x 的不等式组 无解,则 a 的取值范围是( )A.a ≤﹣ 3 B.a<﹣3 C.a>3 D.a≥3【分析】利用不等式组取解集的方法,根据不等式组无解求出 a 的范围即可.【解答】解∵不等式组 无解,∴a ﹣4≥ 3a2,解得a≤﹣3 ,故选A.8. (3.00 分)下列命题中真命题是( )A. ( ) 2 一定成立B.位似图形不可能全等C.正多边形都是轴对称图形D.圆锥的主视图一定是等边三角形【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得.【解答】解A、 ( ) 2 当 a<0 不成立,假命题;B、位似图形在位似比为 1 时全等,假命题;C、正多边形都是轴对称图形,真命题;D、圆锥的主视图一定是等腰三角形,假命题;故选C.9. (3.00 分)如图,点 A,B,C 均在⊙O 上,若∠ A66,则∠OCB 的度数是( )A.24 B.28 C.33 D.48【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB 的度数,再根据等边对等角可得∠OCB∠OBC,进而可得答案.【解答】解∵∠A66,∴∠COB132,∵COBO,∴∠OCB∠OBC (180﹣ 132)24,故选A.10. (3.00 分)如图,在 △ABC 中,EF∥BC,AB3AE, 若 S 四边形 BCFE16,则 S△ABC( )A.16 B.18 C.20 D.24【分析】由 EF∥BC,可证明 △AEF ∽△ABC ,利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC 的值.【解答】解∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∵AB3AE,∴AE AB13,∴S △AEF S △ABC 19,设 S△AEF x,∵S 四边形 BCFE16,∴ ,解得x2,∴S △ABC 18,故选B.11. (3.00 分)如图,在菱形 ABCD 中,AC6 ,BD6,E 是 BC 边的中点,P,M 分别是 AC,AB 上的动点,连接 PE,PM,则 PEPM 的最小值是( )A.6 B.3 C.2 D.4.5【分析】作点 E 关于 AC 的对称点 E′,过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M,交 AC 于点P,由 PEPMPE′PME′M知点 P、M 即为使 PEPM 取得最小值的点,利用 S 菱形 ABCD ACBDABE′M求二级可得答案.【解答】解如图,作点 E 关于 AC 的对称点 E′,过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M,交 AC 于点 P,则点 P、M 即为使 PEPM 取得最小值,其 PEPMPE′PME′M,∵四边形 ABCD 是菱形,∴点 E′在 CD 上,∵AC6 ,BD6,∴AB 3 ,由 S 菱形 ABCD ACBDABE′M得 6 63 E′M,解得E′M2 ,即 PEPM 的最小值是 2 ,故选C.12. (3.00 分)如图,抛物线 y (x2) (x ﹣8)与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,顶点为 M,以 AB 为直径作⊙D.下列结论①抛物线的对称轴是直线 x3;②⊙D 的面积为 16π;③抛物线上存在点 E,使四边形 ACED 为平行四边形;④直线 CM 与⊙D 相切.其中正确结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与 x 轴的交点 A、B 坐标,由抛物线的对称性即可判定;②求得⊙D 的直径 AB 的长,得出其半径,由圆的面积公式即可判定,③过点 C 作 CE∥AB,交抛物线于 E,如果 CEAD,则根据一组等边平行且 相等的四边形是平行四边形即可判定;④求得直线 CM、直线 CD 的解析式通过它们的斜率进行判定.【解答】解∵在 y ( x2) (x﹣8)中,当 y0 时,x﹣ 2 或 x 8,∴点 A(﹣2 ,0) 、B(8 ,0) ,∴抛物线的对称轴为 x 3,故①正确;∵⊙D 的直径为 8﹣(﹣2)10,即半径为 5,∴⊙D 的面积为 25π,故②错误;在 y (x2) (x ﹣8) x2﹣ x﹣4 中,当 x0 时 y﹣4,∴点 C(0,﹣ 4) ,当 y﹣4 时, x2﹣ x﹣4﹣4,解得x 10、 x26,所以点 E(6,﹣4) ,则 CE6,∵AD3 ﹣(﹣2) 5,∴AD≠CE,∴四边形 ACED 不是平行四边形,故③错误;∵y x2﹣ x﹣4 (x﹣3) 2﹣ ,∴点 M(3, ﹣ ) ,设直线 CM 解析式为 ykxb,将点 C(0,﹣ 4) 、M(3,﹣ )代入,得 ,解得 ,所以直线 CM 解析式为 y﹣ x﹣4;设直线 CD 解析式为 ymxn,将点 C(0,﹣ 4) 、D(3,0)代入,得 ,解得 ,所以直线 CD 解析式为 y x﹣4,由﹣ ﹣1 知 CM⊥CD 于点 C,∴直线 CM 与 ⊙D 相切,故④正确;故选B.二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分13. (3.00 分)若分式 的值不存在,则 x 的值为 ﹣1 .【分析】直接利用分是有意义的条件得出 x 的值,进而得出答案.【解答】解若分式 的值不存在,则 x10,解得x﹣1,故答案为﹣1.14. (3.00 分)因式分解ax 2﹣a a(x1) (x ﹣1) .【分析】首先提公因式 a,再利用平方差进行二次分解即可.【解答】解原式a(x 2﹣1)a(x 1) (x﹣1) .故答案为a(x1) (x﹣1) .15. (3.00 分)已知一组数据 4,x,5,y ,7,9 的平均数为 6,众数为 5,则这组数据的中位数是 5.5 .【分析】先判断出 x,y 中至少有一个是 5,再用平均数求出 xy11,即可得出结论.【解答】解∵一组数据 4,x,5 ,y,7,9 的众数为 5,∴x,y 中至少有一个是 5,∵一组数据 4,x,5,y,7,9 的平均数为 6,∴ (4x5y79)6,∴xy11,∴x,y 中一个是 5,另一个是 6,∴这组数为 4,5,5,6,7,9,∴这组数据的中位数是 (56)5.5,故答案为5.5.16. (3.00 分)如图,将矩形 ABCD 折叠,折痕为 EF,BC 的对应边 BC′与 CD 交于点 M,若∠ B′MD50,则∠BEF 的度数为 70 .【分析】设∠BEFα ,则∠EFC180 ﹣α,∠DFE ∠BEFα,∠CFE40α ,依据∠EFC∠EFC,即可得到 180﹣α40α,进而得出∠BEF 的度数.【解答】解∵∠C∠C90,∠DMB∠CMF50,∴∠CFM40,设∠BEFα,则 ∠EFC180﹣ α,∠DFE ∠BEFα,∠CFE40α ,由折叠可得,∠EFC∠EFC,∴180﹣α40α,∴α70,∴∠BEF70 ,故答案为70 .17. (3.00 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB90,AB4,BC2,将△ABC 绕点B 顺时针方向旋转到△A′BC′的位置,此时点 A′恰好在 CB 的延长线上,则图中阴影部分的面积为 4π (结果保留 π) .【分析】由将△ABC 绕点 B 顺时针方向旋转到△A′BC′的位置,此时点 A′恰好在CB 的延长线上,可得△ABC≌△A′BC′,由题给图可知S 阴影 S 扇形 ABA′S△A′BC ﹣S 扇形 CBC′﹣S△A′BC′ 可得出阴影部分面积.【解答】解∵△ABC 中,∠ACB90,AB4,BC2,∴∠BAC30 ,∠ABC60,AC2 .∵将△ABC 绕点 B 顺时针方向旋转到△A′BC′的位置,此时点 A′恰好在 CB 的延长线上,∴△ABC≌△A′BC′,∴∠ABA′120∠CBC′,∴S 阴影 S 扇形 ABA′S△A′BC ﹣S 扇形 CBC′﹣S△A′BC′S 扇形 ABA′﹣S 扇形 CBC′ ﹣ ﹣4π.故答案为 4π.18. (3.00 分)如图,直线 l 为 y x,过点 A1(1,0)作 A1B1⊥x 轴,与直线l 交于点 B1,以原点 O 为圆心,OB 1 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A2;再作A2B2⊥x 轴,交直线 l 于点 B2,以原点 O 为圆心, OB2 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A3;,按此作法进行下去,则点 An 的坐标为( 2 n﹣1,0 ) .【分析】依据直线 l 为 y x,点 A1(1,0) ,A 1B1⊥x 轴,可得 A2(2,0) ,同理可得,A 3(4,0) ,A 4(8,0) , ,依据规律可得点 An 的坐标为(2 n﹣1,0) .【解答】解∵直线 l 为 y x,点 A1(1,0) ,A 1B1⊥x 轴,∴当 x1 时,y ,即 B1(1, ) ,∴tan∠A 1OB1 ,∴∠A 1OB160,∠A 1B1O30,∴OB 12OA12,∵以原点 O 为圆心,OB 1 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A2,∴A 2(2,0 ) ,同理可得,A 3(4,0) ,A 4(8,0) , ,∴点 An 的坐标为( 2n﹣1,0) ,故答案为2 n﹣1,0.三、解答题(本大题共 8 小题,满分 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. (10.00 分) (1 )计算|3﹣ 5|﹣(π﹣ 3.14) 0(﹣2 ) ﹣1sin30;(2)解分式方程 1 .【分析】 (1)先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值,再计算加减可得;(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解(1)原式5﹣3﹣1﹣ 1;(2)方程两边都乘以(x2 ) (x﹣ 2) ,得4 (x2 ) (x﹣2)x 2,整理,得x 2﹣x﹣20,解得x 1﹣1,x 22,检验当 x﹣1 时, (x 2) (x﹣2)﹣3≠0,当 x2 时, (x 2) (x﹣2)0 ,所以分式方程的解为 x﹣1.20. (5.00 分)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法) .如图,已知∠α 和线段 a,求作△ABC,使∠A∠α,∠C90,ABa .【分析】根据作一个角等于已知角,线段截取以及垂线的尺规作法即可求 出答案.【解答】解如图所示,△ABC 为所求作21. (6 .00 分)如图,已知反比例函数 y (x>0)的图象与一次函数 y﹣ x4的图象交于 A 和 B(6,n)两点.(1)求 k 和 n 的值;(2)若点 C( x,y)也在反比例函数 y (x>0)的图象上,求当 2≤x ≤6 时,函数值 y 的取值范围.【分析】 (1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 n 值,进而可得出点 B的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值;(2)由 k6>0 结合反比例函数的性质,即可求出当 2≤x≤6 时,1≤y≤3.【解答】解(1)当 x6 时,n﹣ 641,∴点 B 的坐标为(6,1) .∵反比例函数 y 过点 B(6,1) ,∴k616.(2)∵k6>0,∴当 x>0 时,y 随 x 值增大而减小,∴当 2≤x≤6 时,1≤y≤3.22. (8.00 分)为了增强学生的环保意识,某校组织了一次全校 2000 名学生都参加的“环保知识 ”考试,考题共 10 题.考试结束后,学校团委随机抽查部分考生的考卷,对考生答题情况进行分析统计,发现所抽查的考卷中答对题量最少为 6 题,并且绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息解答以下问题(1)本次抽查的样本容量是 50 ;在扇形统计图中,m 16 ,n 30 , “答对 8 题”所对应扇形的圆心角为 86.4 度;(2)将条形统计图补充完整;(3)请根据以上调查结果,估算出该校答对不少于 8 题的学生人数.【分析】 (1)先读图,根据图形中的信息逐个求出即可;(2)求出人数,再画出即可;(3)根据题意列出算式,再求出即可.【解答】解(1)51050(人) ,本次抽查的样本容量是 50,0.1616,1﹣10 ﹣16﹣24﹣2030,即 m16,n30,360 86.4,故答案为50,16,30 ,86.4;(2) ;(3)2000(24 2030)1480 (人) ,答该校答对不少于 8 题的学生人数是 1480 人.23. (8.00 分)某中学组织一批学生开展社会实践活动,原计划租用 45 座客车若干辆,但有 15 人没有座位;若租用同样数量的 60 座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知 45 座客车租金为每辆 220 元,60 座客车租金为每辆 300 元.(1)这批学生的人数是 多少原计划租用 45 座客车多少辆(2)若租用同一种客车,要使每位学生都有座位,应该怎样租用合算【分析】 (1)设这批学生有 x 人,原计划租用 45 座客车 y 辆,根据“原计划租用 45 座客车若干辆,但有 15 人没有座位;若租用同样数量的 60 座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满”,即可得出关于 x、y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量,由总租金每辆车的租金租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用,比较后即可得出结论.【解答】解(1)设这批学生有 x 人,原计划租用 45 座客车 y 辆,根据题意得 ,解得 .答这批学生有 240 人,原计划租用 45 座客车 5 辆.(2)∵要使每位学生都有座位,∴租 45 座客车需要 516 辆,租 60 座客车需要 5﹣14 辆.22061320(元) ,300 41200(元) ,∵1320>1200,∴若租用同一种客车,租 4 辆 60 座客车划算.24. (8.00 分)如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,且 ABBCCD,AB∥CD ,连接 BD.(1)求证BD 是⊙O 的切线;(2)若 AB10,cos∠BAC ,求 BD 的长及⊙O 的半径.【分析】 (1)如图 1,作直径 BE,半径 OC,证明四边形 ABDC 是平行四边形,得∠A∠D ,由等腰三角形的性质得 ∠CBD∠D∠A∠OCE,可得∠EBD90,所以 BD 是⊙O 的切线;(2)如图 2,根据三角函数设 EC3x,EB5x,则 BC4x 根据 ABBC104x,得x 的值,求得⊙O 的半径为 ,作高线 CG,根据等腰三角形三线合一得BGDG,根据三角函数可得结论.【解答】 (1)证明如图 1,作直径 BE,交⊙O 于 E,连接 EC、OC,则∠BCE90 ,∴∠OCE∠OCB90,∵AB∥CD,ABCD,∴四边形 ABDC 是平行四边形,∴∠A∠D ,∵OEOC,∴∠E∠OCE,∵BCCD,∴∠CBD∠D,∵∠A∠ E,∴∠CBD∠D∠A ∠OCE,∵OBOC,∴∠OBC∠OCB,∴∠OBC ∠CBD90 ,即∠EBD90 ,∴BD 是⊙O 的切线;(2)如图 2,∵cos∠BACcos∠E ,设 EC3x,EB5x,则 BC4x,∵ABBC104x,x ,∴EB5x ,∴⊙O 的半径为 ,过 C 作 CG⊥ BD 于 G,∵BCCD10,∴BGDG,Rt△CGD 中,cos∠Dcos∠BAC ,∴ ,∴DG6,∴BD12.25. (11.00 分)如图,已知二次函数 yax2bxc 的图象与 x 轴相交于 A(﹣1,0) ,B(3 ,0)两点,与 y 轴相交于点 C(0,﹣ 3) .(1)求这个二次函数的表达式;(2)若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x 轴于点 H,与BC 交于点 M,连接 PC.①求线段 PM 的最大值;②当△PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时,求点 P 的坐标.【分析】 (1)根据待定系数法,可得答案;(2)①根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;②根据等腰三角形的定义,可得方程,根据解方程,可得答案.【解答】解(1)将 A,B ,C 代入函数解析式,得,解得 ,这个二次函数的表达式 yx2﹣2x﹣3;(2)设 BC 的解析是为 ykxb,将 B,C 的坐标代入函数解析式,得,解得 ,BC 的解析是为 yx﹣3,设 M( n,n﹣ 3) ,P (n,n 2﹣2n﹣3) ,PM(n﹣3 )﹣(n 2﹣2n﹣3)﹣ n23n﹣(n﹣ ) 2 ,当 n 时,PM 最大 ;②当 PMPC 时, (﹣n 23n) 2n2(n 2﹣2n﹣33) 2,解得 n10(不符合题意,舍) ,n 2﹣ (不符合题意,舍) ,n 3 ,n2﹣2n﹣32﹣2 ﹣3﹣2 ﹣1,P( ,﹣2 ﹣1) .当 PMMC 时, (﹣n 23n) 2n2(n﹣ 33) 2,解得 n10(不符合题意,舍) ,n 2﹣7(不符合题意,舍) ,n 31,n2﹣2n﹣31﹣2﹣3﹣4,P(1 ,﹣4) ;综上所述P(1,﹣4)或( ,﹣ 2 ﹣1) .26. (10.00 分)已知 A、 B 两点在直线 l 的同一侧,线段 AO,BM 均是直线 l的垂线段,且 BM 在 AO 的右边,AO2BM,将 BM 沿直线 l 向右平移,在平移过程中,始终保持∠ABP90不变,BP 边与直线 l 相交于点 P.(1)当 P 与 O 重合时(如图 2 所示) ,设点 C 是 AO 的中点,连接 BC.求证四边形 OCBM 是正方形;(2)请利用如图 1 所示的情形,求证 ;(3)若 AO2 ,且当 MO2PO 时,请直接写出 AB 和 PB 的长.[来源学科网 ZXXK]【分析】 (1)先证明四边形 OCBM 是平行四边形,由于∠BMO90,所以▱OCBM 是矩形,最后直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形 OCBM 是正方形;(2)连接 AP、OB,由于∠ABP∠AOP90 ,所以 A、B、O 、P 四点共圆,从而利用圆周角定理可证明∠APB∠OBM ,所以△APB∽△OBM,利用相似三角形的性质即可求出答案.(3)由于点 P 的位置不确定,故需要分情况进行讨论,共两种情况,第一种情况是点 P 在 O 的左侧时,第二种情况是点 P 在 O 的右侧时,然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质,勾股定理即可求出答案.【解答】解(1)∵2BMAO ,2COAO∴BMCO,∵AO∥BM ,∴四边形 OCBM 是平行四边形,∵∠BMO90 ,∴▱OCBM 是矩形,∵∠ABP90,C 是 AO 的中点,∴OCBC,∴矩形 OCBM 是正方形.(2)连接 AP、OB,∵∠ABP∠AOP90 ,∴A、B、O、P 四点共圆,由圆周角定理可知∠APB∠AOB,∵AO∥BM ,∴∠AOB ∠OBM,∴∠APB∠OBM,∴△APB∽△OBM,∴(3)当点 P 在 O 的左侧时,如图所示,过点 B 作 BD⊥AO 于点 D,易证△PEO ∽△BED,∴易证四边形 DBMO 是矩形,∴BDMO,ODBM∴MO2POBD,[来源学*科* 网]∴ ,∵AO2BM2 ,∴BM ,∴OE ,DE ,[来源学科网 ZXXK]易证△ADB∽△ ABE,∴AB 2ADAE,∵ADDODM ,∴AEADDE∴AB ,由勾股定理可知BE ,易证△PEO∽△PBM,∴ ,∴PB当点 P 在 O 的右侧时,如图所示,过点 B 作 BD⊥OA 于点 D,∵MO2PO,∴点 P 是 OM 的中点,设 PMx,B D2x,∵∠AOM∠ABP90,∴A、O、P、 B 四点共圆,∴四边形 AOPB 是圆内接四边形,∴∠BPM ∠A,∴△ABD∽△ PBM,∴ ,又易证四边形 ODBM 是矩形, AO2BM,∴ADBM ,∴ ,解得x ,∴BD2x2由勾股定理可知AB3 ,BM3

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