1、第 4 课时 二次函数 yax 2bxc 的图象与性质知识点 1 二次函数 yax 2bxc 与 ya( xh) 2k 的关系12018山西用配方法将二次函数 yx 28x9 化为 ya(xh) 2k 的形式为( )Ay(x4) 27 By(x4) 225Cy (x4) 27 Dy(x4) 2252试通过配方法求出抛物线 yx 24x 8 的顶点坐标和对称轴，并指出当 x 在什么范围内时，y 随 x 的增大而减小知识点 2 抛物线 yax 2bxc 的平移3在同一平面直角坐标系内，将函数 yx 24x1 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的图象的顶点坐标是( )A(2，
2、5) B(1，4)C(1，6) D(2，2)42018广西将抛物线 y x26x21 向左平移 2 个单位后，得到的新抛物线的表达12式为( )Ay (x8) 25 By (x4) 2512 12Cy (x8) 23 Dy (x4) 2312 125已知二次函数 yx 2 的图象上有一点 P(1，1)，若将该图象平移后得到的图象的函数表达式为 yx 22x1，则点 P 经过该次平移后对应点的坐标为( )A(2，1) B(2，1)C(1，2) D(0，5)知识点 3 二次函数 yax 2bxc 的图象与性质6把二次函数 yx 24x 1 配方得_，故其函数图象的开口 _，对称轴为_，顶点坐标为_
3、，当 x2 时，y 随 x 的增大而_ ，当 x2 时，y 随 x 的增大而_，当 x_时，y 有最_值是_72017长春期末抛物线 y2x 24x1 的对称轴是直线( )Ax2 Bx 1Cx Dx 11282017大冶市月考已知二次函数 y3( xh) 25，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，则有( )Ah2 Bh2Ch2 Dh29二次函数 yx 22x 3 的图象的开口方向、顶点坐标分别是( )A开口向上，顶点坐标为(1，4)B开口向下，顶点坐标为(1，4)C开口向上，顶点坐标为(1，4)D开口向下，顶点坐标为(1，4)10二次函数 yx 2bx c 的图象如图 26224 所示，若
4、点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)在此函数的图象上，且 x1x 21，图 26224则 y1 与 y2 的大小关系是( )Ay 1y 2 By 1y 2Cy 1 y2 Dy 1y 211已知二次函数 y x2x .12 32(1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并指出其对称轴和顶点坐标；(2)当2x2 时，它的最大值和最小值分别是多少？(3)若将此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位，请写出平移后的图象所对应的函数关系式图 26225122018黄冈当 axa1 时，函数 yx 22x 1 的最小值为 1，则 a 的值为( )A1 B2C0 或 2 D1 或 213已知当
5、 b0 时，二次函数 yax 2bx a 21 的图象是如图 26226 所示的四个图象中的一个根据图象分析 a 的值等于( )图 26226A2 B1 C1 D2142018恩施州抛物线 yax 2bxc 的对称轴为直线 x1，部分图象如图26227 所示，下列说法中：图 26227abc0；b 24ac0；9a3bc0；若点(0.5，y 1)，(2，y 2)均在抛物线上，则 y1y 2；5a2bc0.其中正确的个数为( )A2 B3 C4 D515若 A(2，y 1)，B( 3，y 2)，C(1，y 3)三点在二次函数 yx 24xm 的图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是 _1
6、6已知点 A(1，1) 在二次函数 yx 22axb 的图象上(1)用含 a 的代数式表示 b；(2)如果该二次函数图象的顶点在 x 轴上，求这个二次函数图象的顶点坐标17如图 26228，抛物线 yax 25ax 4a 与 x 轴相交于点 A，B，且过点C(5，4) (1)求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标；(2)请设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后的抛物线所对应的函数关系式图 2622818二次函数 ya( x4) 24 的图象在 2x3 这一段位于 x 轴的下方，在 6x7 这一段位于 x 轴的上方，则 a 的值为( )A1 B1 C2 D219如图
7、26229，已知二次函数 y x2bx c 的图象经过 A(2，0)，C(0，6)12两点(1)求这个二次函数的关系式；(2)设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 D，连结 AC，CD，求ACD 的面积；(3)点 P 在此抛物线上，且使 ，写出点 P 的坐标S ABPS ACD 23图 26229详解详析1 B 解析 yx 28x 9 x28x1625( x4) 225.故选 B.2解：把 yx 24x 8 化为顶点式为 y(x 24x) 8( x24x44)8( x24 x4)48 (x2) 24，故该抛物线的顶点坐标为 (2，4)，对称轴为直线 x2.当 x2 时，y 随 x 的增大而
8、减小3C4D 解析 y x26x 21 (x212x )21 (x6) 23621 (x6) 23，12 12 12 12故 y (x6) 23 向左平移 2 个单位后，得到的新抛物线的表达式为 y (x4) 23.12 12故选 D.5B 解析 抛物线 yx 2 的顶点坐标是(0 ，0)，抛物线 yx 22x1(x1) 22的顶点坐标是(1，2)，二次函数 yx 2 的图象向右平移 1 个单位，向下平移 2 个单位即可得到函数 y x22x 1 的图象， 点 P(1，1)向右平移 1 个单位，向下平移 2 个单位后对应点的坐标是(2，1)故选 B.6y(x2) 2 3 向上 直线 x2 (2
9、，3) 增大 减小 2 小 37B 解析 y 2x 24x12(x 22x1)212(x1) 21，抛物线y2x 24x1 的对称轴是直线 x1.故选 B.8B 解析 a3，二次函数开口向下，在二次函数图象对称轴右侧，y 随x 的增大而减小， h2.故选 B.9A 解析 二次函数 yx 22x3 的二次项系数 a10，函数图象开口向上yx 22x 3( x1) 24，图象的顶点坐标为(1， 4)故选 A.10B 解析 由图象可知，抛物线的对称轴是直线 x 1，开口向下，故当 x1 时，y 随 x 的增大而增大x 1x 21，y 1y 2.故选 B.11解：(1)画图如下因为 y x2x (x1
10、) 22，所以这个函数图象的对称轴为直线 x1，顶12 32 12点坐标为( 1，2)(2)因为2x2，由图象可知，当 x1 时，函数有最大值 2；当 x2 时，函数有最小值 .52(3)平移后的图象所对应的函数关系式为 y (x2) 22( 或写成 y x22x)12 1212D 解析 当 y1 时，有 x22x11，解得 x10，x 22.当 axa1 时，函数有最小值 1，a2 或 a10，a2 或 a1.故选 D.13C 解析 由图可知第 1，2 两个图象的对称轴为 y 轴，所以 x 0，所以b2ab0，这与 b0 相矛盾因为第 3 个图象开口向上，所以 a0.因为抛物线经过坐标原点，
11、所以 a210，解得 a11，a 21(舍去) ，所以对称轴为直线 x 0，b2a b21所以 b0，符合题意，所以 a1.因为第 4 个图象开口向下，所以 a0.因为抛物线经过坐标原点，所以 a210，解得 a11(舍去) ，a 21，所以对称轴为直线 x b2a0，所以 b0，不符合题意综上所述，可知 a1.b2（ 1）14B 解析 抛物线的对称轴为直线 x1，且经过点 (1，0)， 1，abc0，b2ab2a，c3a.a0，b0，c0，abc0，故错误抛物线与 x 轴有交点，b 24ac0，故正确抛物线与 x 轴交于点( 3，0) ，9a3bc0，故正确点(0.5，y 1)，(2，y 2
12、)均在抛物线上，点(1.5，y 1)也在抛物线上又11.52，y 1y 2，故错误5a2bc5a4a3a2a0，故正确故选 B.15y 2y 3y 1解析 二次函数 yx 24x m 中 a10，抛物线的开口向上，对称轴为直线x 2，点 A(2，y 1)是抛物线的顶点，y 1 是 yx 2 4xm 的最小值又B(3，y 2)，b2aC(1，y 3)两点都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小，故y2y 3.y 2y 3y 1.16解：(1)因为点 A(1，1)在二次函数 yx 22axb 的图象上，所以 112ab，可得 b2a.(2)根据题意，得该函数图象顶点的纵坐标为
13、 0，即 0，由(1) 知4b （ 2a） 24b2a，所以化方程为 4a28a0，解得 a0 或 a2.当 a0 时，yx 2，这个二次函数图象的顶点坐标为(0，0)；当 a2 时，yx 24x4(x 2)2，这个二次函数图象的顶点坐标为(2，0) 综上所述，这个二次函数图象的顶点坐标为(0，0) 或(2，0)17解：(1)把点 C(5，4)的坐标代入 yax 25ax4a，得 25a25a4a4，解得 a1，该二次函数的关系式为 yx 25x 4.yx 25x 4 ，(x 52)2 94顶点 P 的坐标为 .(52， 94)(2)答案不唯一例如先把抛物线 y 向左平移 3 个单位，再向上平
14、移 4 个单(x 52)2 94位得到平移后抛物线对应的函数关系式为 y 4 ，即(x 52 3)2 94 (x 12)2 74yx 2x2.18A19解：(1)把点 A(2，0)，C(0，6)的坐标代入 y x2bxc，得12解得 这个二次函数的关系式为 y x24x6. 2 2b c 0，c 6， ) b 4，c 6， ) 12(2)该抛物线的对称轴为直线 x 4，点 D 的坐标为(4，0)，42( 12)AD ODOA 422，S ACD ADOC 266.12 12(3)由 ，得 ，即 SABP 4.由抛物线的对称性可知抛物线与 xS ABPS ACD 23 S ABP6 23轴的另一个交点 B 的坐标为(6 ，0) ，所以 AB4，即 4|yP|4，即|y P|2.当 yP2 时，12有 x24x62，解得 x1x 24，此时点 P 的坐标为 (4，2)；当 yP2 时，有12 x24x62，解得 x 42 ，所以点 P 的坐标为 (42 ，2)或(4 2 12 2 2， 2)2综上，点 P 的坐标为(4，2) 或 (42 ，2)或(42 ，2)2 2
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