1、2017-2018 学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A2x+1=0 By 2+x=0 Cx 2x=0 D +x2=02 （3 分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）A B C D3 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+ax1=0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B只有一个实数根C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根4 （3 分）用配方法解一元二次方程 x26x10=0 时，下列变形正确的为（ ）A （x +3） 2=1 B （x3） 2=1
2、 C （x+3） 2=19 D （x3） 2=195 （3 分）S 型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的 1500 元降到了980 元设平均每次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（ ）A1500（1+x ） 2=980 B980（1+x） 2=1500 C1500（1 x） 2=980D980 （1x） 2=15006 （3 分）抛物线 y=3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得的抛物线为（ ）Ay=3（x +3） 22 By=3（x+3） 2+2 Cy=3（x3） 22 Dy=3（x 3） 2+27 （3 分）如图，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得 D
3、BE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 延长线上，连接 AD下列结论错误的是（ ）ABD 平分ABC BADBCC SABD =2SBED DABD 是等边三角形8 （3 分）若函数 y=（m1）x 26x+ m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m的值为（ ）A 2 或 3 B2 或3 C1 或 2 或 3 D1 或 2 或39 （3 分）如图，已知钝角三角形 ABC，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转110得到ABC，连接 BB，若 ACBB ，则CAB的度数为（ ）A55 B65 C75 D8510 （3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线x
4、=1，下列结论：ab 0 ； b24ac；a+b+2c0；3a+c 0其中正确的是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）方程 3x（x1）=2（x1）的根为 12 （3 分）已知点（a，1）与点（2，b ）关于原点对称，则 a+b= 13 （3 分）关于 x 的一元二次方程（k 1）x 2+6x+k2k=0 的一个根是 0，则 k 的值是 14 （3 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，且经过点P（3 ，0） ，则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 15 （3 分）把一副三角板如图（1）放置，其中ACB
5、=DEC=90，A=45，D=30，斜边 AB=6 厘米，DC=7 厘米把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D 1CE1，如图（2） ，这时 AB 与 CD1 相交于点 O，与 D1E1 相交于点 F则AD1= cm 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分）16 （8 分）解方程：（1）4（x5） 2=36（2）x 2 x+1=017 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程：x 2（t1）x+t2=0（1）求证：对于任意实数 t，方程都有实数根；（2）当 t 为何值时，二次函数 y=x2（t1）x+t 2 的图象与 x 轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由18 （9 分）
6、如图，下列 44 网格图都是由 16 个相同小正方形组成，每个网格图中有 4 个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取 2 个空白小正方形涂上阴影，使 6 个阴影小正方形组成一个中心对称图形19 （9 分）已知抛物线 y=a（x 3） 2+2 经过点（1，2）（1）该抛物线的顶点坐标是 （2）求 a 的值；（3）若点 A（m，y 1） 、B（n，y 2） （mn3）都在该抛物线上，试比较 y1 与y2 的大小20 （9 分）如图，四边形 ABCD，AB=3 ，AC=2 ，把ABD 绕点 D 按顺时针方向旋转 60后得到 ECD，此时发现点 A、C 、E 恰好在一条直线上，求 BAD 的度
7、数与 AD 的长 来源:Z.xx.k.Com21 （10 分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本（1）当销售单价为 70 元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过 7000 元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本每天的销售量）22 （10
8、分） （1）问题发现：如图，ABC 和AED 都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，点 B 在线段AE 上，点 C 在线段 AD 上，请直接写出线段 BE 与线段 CD 的数量与位置关系是关系： ；（2）操作探究：如图，将图中的ABC 绕点 A 顺时针旋转 （0360） ， （1 ）小题中线段 BE 与线段 CD 的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图给出的情形进行证明；（3）解决问题：将图中的ABC 绕点 A 顺时针旋转 （0360） ，若 DE=2AC，在旋转的过程中，当以 A、B、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形时，在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时
9、旋转角 的度数是 度23 （11 分）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E 运动到什么位置时，CBF 的面积最大？求出CBF 的最大面积及此时 E 点的坐标2017-2018 学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷
10、参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A2x+1=0 By 2+x=0 Cx 2x=0 D +x2=0【解答】解：A、方程 2x+1=0 未知数的最高次数是 1，属于一元一次方程；故本选项错误；B、y 2+x=0 中含有 2 个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误；C、 x2x=0 符合一元二次方程的定义；故本选项正确；D、该方程是分式方程；故本选项错误；故选：C2 （3 分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）A B C D【解答】解：A 图形不是中心对称图形；B 图形是中心对称图形
11、；C 图形不是中心对称图形；D 图形不是中心对称图形，故选：B3 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+ax1=0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B只有一个实数根C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根【解答】解：=a 2+40，方程有两个不相等的两个实数根故选：D4 （3 分）用配方法解一元二次方程 x26x10=0 时，下列变形正确的为（ ）A （x +3） 2=1 B （x3） 2=1 C （x+3） 2=19 D （x3） 2=19【解答】解：方程移项得：x 26x=10，配方得：x 26x+9=19，即（x 3） 2=19，故选：D5 （3 分）S 型电视机经过连续两次降价
12、，每台售价由原来的 1500 元降到了980 元设平均每次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（ ）A1500（1 +x） 2=980 B980（1+x） 2=1500 C1500（1 x） 2=980D980 （1x） 2=1500【解答】解：依题意得：第一次降价的售价为：1500（1x） ，则第二次降价后的售价为：1500（1x） （1x）=1500（1x） 2，1500（1x） 2=980故选：C6 （3 分）抛物线 y=3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得的抛物线为（ ）Ay=3（x +3） 22 By=3（x+3） 2+2 Cy=3（x3） 22 Dy=3
13、（x 3） 2+2【解答】解：抛物线 y=3x2 的顶点坐标为（0，0） ，抛物线 y=3x2 向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位后顶点坐标为（3，2） ，此时解析式为 y=3（x 3）2+2故选：D7 （3 分）如图，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得 DBE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 延长线上，连接 AD下列结论错误的是（ ）ABD 平分ABC BADBCC SABD =2SBED DABD 是等边三角形【解答】解：ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得DBE，ABD=CBE=60 ，AB=BD，ABD 是等边三角形，故 D 正确，DAB=60 ，DAB=CBE ，
14、ADBC，故 B 正确；将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得DBE ，来源:学科网 ZXXKABD=CBE=60 ，来源:学*科* 网DBC=18060 60=60，ABD=DBC，即 BD 平分ABC ，故 A 正确；故选：C来源 :学# 科#网 Z#X#X#K8 （3 分）若函数 y=（m1）x 26x+ m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m的值为（ ）A 2 或 3 B2 或3 C1 或 2 或 3 D1 或 2 或3【解答】解：当 m=1 时，函数解析式为： y=6x+ 是一次函数，图象与 x 轴有且只有一个交点 ，当 m1 时，函数为二次函数，函数 y=（m1 ）x 26x
15、+ m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，6 24（m1） m=0，解得，m=2 或 3，故选：C9 （3 分）如图，已知钝角三角形 ABC，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转110得到ABC，连接 BB，若 ACBB ，则CAB的度数为（ ）A55 B65 C75 D85【解答】解：将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 l10得到ABC ，BAB=CAC=110，AB=AB，ABB= （180 110）=35，AC BB，CAB= ABB=35，CAB=CAC CAB=11035=75故选：C10 （3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论
16、：ab 0 ； b24ac；a+b+2c0；3a+c 0其中正确的是（ ）A B C D【解答】解：抛物线开口向上，a 0 ，来源:学科网 ZXXK抛物线的对称轴为直线 x= =1，b=2a0，ab 0 ，所以 正确；抛物线与 x 轴有 2 个交点，=b 24ac0，所以正确；x=1 时，y0 ，a +b+c0，而 c 0，a +b+2c0，所以正确；抛物线的对称轴为直线 x= =1，b=2a，而 x=1 时，y 0，即 ab+c0，a +2a+c0，所以错误故选：C二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）方程 3x（x1）=2（x1）的根为 x=1 或
17、x= 【解答】解：3x（x1）=2（x1） ，移项得：3x（x1 ）2（x 1）=0 ，即（x1） （3x2）=0，x1=0，3x2=0 ，解方程得：x 1=1，x 2= 故答案为：x=1 或 x= 12 （3 分）已知点（a，1）与点（2，b ）关于原点对称，则 a+b= 1 【解答】解：点（a，1）与点（2，b ）关于原点对称，a=2，b=1，a +b=1，故答案为：113 （3 分）关于 x 的一元二次方程（k 1）x 2+6x+k2k=0 的一个根是 0，则 k 的值是 0 【解答】解：由于关于 x 的一元二次方程（k 1）x 2+6x+k2k=0 的一个根是 0，把 x=0 代入方程
18、，得 k2k=0，解得，k 1=1，k 2=0当 k=1 时，由于二次项系数 k1=0，方程（k 1）x 2+6x+k2k=0 不是关于 x 的二次方程，故 k1所以 k 的值是 0故答案为：014 （3 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，且经过点P（3 ，0） ，则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 （1，0） 【解答】解：由于函数对称轴为 x=1，而 P（3，0）位于 x 轴上，则设与 x 轴另一交点坐标为（ m，0） ，根据题意得： =1，解得 m=1，则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 1，0） ，故答案是：（1，0） 15 （3 分）把一副三角板
19、如图（1）放置，其中ACB=DEC=90，A=45，D=30，斜边 AB=6 厘米，DC=7 厘米把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D 1CE1，如图（2） ，这时 AB 与 CD1 相交于点 O，与 D1E1 相交于点 F则AD1= 5 cm【解答】解：由题意易知：CAB=45，ACD=30若旋转角度为 15，则ACO=30+15=45AOC=180 ACOCAO=90在等腰 RtABC 中，AB=6，则 AC=BC=3 同理可求得：AO=OC=3 在 RtAOD 1 中，OA=3，OD 1=CD1OC=4，由勾股定理得：AD 1=5三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分
20、）16 （8 分）解方程：（1）4（x5） 2=36（2）x 2 x+1=0【解答】解：（1）开方得：2（x 5）=6 或 2（x 5）= 6，解得：x 1=8， x2=2；（2）这里 a=1，b= ，c=1，=104=6，x= 17 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程：x 2（t1）x+t2=0（1）求证：对于任意实数 t，方程都有实数根；（2）当 t 为何值时，二次函数 y=x2（t1）x+t 2 的图象与 x 轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由【解答】解：（1）证明：在方程 x2（t 1）x +t2=0 中，=（t1）241（t2）=t 26t+9=（t3） 20，对于任意实数
21、 t，方程都有实数根；（2）解：令 y=0，得到 x2（t1）x+t2=0设方程的两根分别为 m、n ，由题意可知，方程的两个根互为相反数，m+n=t1=0，解得：t=1当 t=1 时，方程的两个根互为相反数18 （9 分）如图，下列 44 网格图都是由 16 个相同小正方形组成，每个网格图中有 4 个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取 2 个空白小正方形涂上阴影，使 6 个阴影小正方形组成一个中心对称图形【解答】解：（1）在图 1 中选取 2 个空白小正方形涂上阴影，使 6 个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；19 （9 分）已知抛物线 y=a（x 3） 2+2 经过
22、点（1，2）（1）该抛物线的顶点坐标是 （3，2） （2）求 a 的值；（3）若点 A（m，y 1） 、B（n，y 2） （mn3）都在该抛物线上，试比较 y1 与y2 的大小【解答】解：（1）y=a（x 3） 2+2， 该抛物线的顶点坐标是（3，2） ，故答案为：（3，2） ；（2）y=a（x3） 2+2 经过点（1，2） ，2=a（13） 2+2，解得，a=1，即 a 的值是1；（3） ）y=a（x3） 2+2，a=1，该抛物线的图象在 x 3 时，y 随 x 的增大而增大，在 x3 时，y 随 x 的增大而减小，点 A（m，y 1） 、B（n， y2） （mn3）都在该抛物线上，y 1y
23、 220 （9 分）如图，四边形 ABCD，AB=3 ，AC=2 ，把ABD 绕点 D 按顺时针方向旋转 60后得到 ECD，此时发现点 A、C 、E 恰好在一条直线上，求 BAD 的度数与 AD 的长【解答】解：点 A、C、E 在一 条直线上，而ABD 绕着点 D 按顺时针方向旋转 60后得到 ECD，ADE=60 ，DA=DE ，BAD=E=60ADE 为等边三角形，E=60，AD=AE ，BAD=60 ，点 A、C、E 在一条直线上，AE=AC+CE ，ABD 绕着点 D 按顺时针方向旋转 60后得到 ECD，CE=AB，AE=AC+AB=2 +3=5，AD=AE=521 （10 分）某
24、企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本（1）当销售单价为 70 元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过 7000 元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本每天的销售量）【解答】解：（1）当销售单价为 70 元时，每天的销售利润=（7050）50+
25、5（100 70）=4000 元；（2）由题得 y=（x50） 50+5（100 x）= 5x2+800x27500（x50） 销售单价不得低于成本，50x100（3）该企业每天的总成本不超过 7000 元5050 +5（100 x） 7000（8 分）解得 x82由（2）可知 y=（x50） 50+5（100 x）= 5x2+800x27500抛物线的对称轴为 x=80 且 a=50抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 随 x 增大而减小当 x=82 时，y 有最大，最大值 =4480，即 销售单价为 82 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 4480 元22 （10 分） （1）问题发现：如
26、图，ABC 和AED 都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，点 B 在线段AE 上，点 C 在线段 AD 上，请直接写出线段 BE 与线段 CD 的数量与位置关系是关系： BE=CD ，BECD ；（2）操作探究：如图，将图中的ABC 绕点 A 顺时针旋转 （0360） ， （1 ）小题中线段 BE 与线段 CD 的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图给出的情形进行证明；（3）解决问题：将图中的ABC 绕点 A 顺时针旋转 （0360） ，若 DE=2AC，在旋转的过程中，当以 A、B、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形时， 在备用图中画出其中的一个情形，并写出此
27、时旋转角 的度数是 45或 225或 315 度【解答】解：（1）ABC 和AED 都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，AB=AC，AE=AD，BECD，AE AB=ADAC，BE=CD；故答案为：BE=CD ，BECD；（2） （1）结论成立，理由：如图，ABC 和AED 都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，AB=AC，AE=AD，由旋转的性质得，BAE=CAD ，在BAE 与CAD 中， ，BAECAD（SAS）BE=CD； AEB=ADC，BED+EDF= AED +AEB+EDF= AED +ADC+EDF= AED +ADE=90，EFD=90，即：BECD（3）如图，以
28、 A、B、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，ABC 和AED 都是等腰直角三角形，ABC=ADC=45，ED=2AC，AC=CD，CAD=45或 3609045=225，或 36045=315角 的度数是 45或 225或 315故答案为：45 或 225或 31523 （11 分）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请
29、说明理由；（3）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E 运动到什么位置时，CBF 的面积最大？求出CBF 的最大面积及此时 E 点的坐标【解答】解：（1）把 A（ 1，0） ，C（0，2）代入 y= x2+bx+c 得 ，解得 ，c=2，抛物线的解析式为 y= x2+ x+2（2）存在如图 1 中， C（0，2） ，D（ ，0） ，OC=2，OD= ，CD= =当 CP=CD 时，可得 P1（ ，4） 当 DC=DP 时，可得 P2（ ， ） ，P 3（ ， ）综上所述，满足条件的 P 点的坐标为 或 或 （3）如图 2 中，对于抛物线 y= x2+ x+2，当 y=0 时， x2+ x+2=0，解得 x1=4，x 2=1B（4，0） ，A（1 ，0） ，由 B（4，0） ，C （0，2）得直线 BC 的解析式为 y= x+2，设 E 则 F ，EF= = 0，当 m=2 时，EF 有最大值 2，此时 E 是 BC 中点，当 E 运动到 BC 的中点时，FBC 面积最大，FBC 最大面积 = 4EF= 42=4，此时 E（2，1）
浙公网安备33030202001339号