1、第六章 不 等 式第 1 课时 一元二次不等式及其解法一、 填空题1. 函数 f(x) 的定义域为_3 2x x2答案：3，1解析：由 32xx 20，解得3x1.2. 不等式 0 的解集是 _x 5x 1答案：(，5(1，)解析：由 0，得(x5)(x1)0 且 x10，解得 x5 或 x1.x 5x 13. 不等式 2x2x0 时，f(x)x 24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_答案：(5，0)(5，)解析：由已知得 f(0)0，当 xx 等价于 或 解得 x5 或x2 4x， x 0， x2 4x， xx) xx， )52，因此 x0.解：原不等式等价于(ax2)(x2)0
2、，以下分情况进行讨论：(1) 当 a0 时，x0 时， (x2)0，考虑 22 的正负：(x2a) 2a 1 aa 当 02，故 x ；2a 2a 当 a1 时， 2，故 x2；2a 当 a1 时， 2.2a 2a综上所述，当 a0 知g(m)在2，2上为增函数，则由题意只需 g(2)0 所表示的平面区域内，则 m 的取值范围是_答案：(1，)解析：由 2m350，得 m1.2. 不等式组 所表示的平面区域的面积为 _.y x 2，y x 1，y 0 )答案：14解析：作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知 xB1，x C2.由 得y x 2，y x 1， )yD ，所以 SBCD (xCx
3、 B) .12 12 12 143. 若实数 x，y 满足 则 z3x2y 的最大值为_2x y 4，x 3y 7，x 0，y 0， )答案：7解析：由约束条件作出可行域，可知当过点(1，2)时 z3x2y 的最大值为 7.4. 已知不等式组 所表示的平面区域为 D.若直线 ykx3 与平面区域x y 1，x y 1，y 0 )D 有公共点，则 k 的取值范围是_答案：(，33，)解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到 ykx3 过定点(0，3)， 斜率的两个端点值为3，3，两斜率之间存在斜率不存在的情况， k 的取值范围为(，33，)5. 若 x，y 满足约束条件 则 z3
4、x4y 的最小值为_x y 0，x y 2 0，y 0， )答案：1解析：目标函数即 y x z，其中 z 表示斜率为 k 的直线系与可行域有交点时直34 14 34线的截距值的 ，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点14A(1，1)处取得最小值 z3x4y1.6. 已知实数 x，y 满足 ，如果目标函数 zxy 的最小值为1，则实数y 1，y 2x 1x y m.)m_答案：5解析：画出可行域便知，当直线 xyz0 通过直线 y2x1 与 xym 的交点时，函数 zxy 取得最小值，(m 13 ， 2m 13 ) 1，解得 m5.m 13 2m 137. 若变量 x，y
5、 满足 则 x2y 2的最大值是_x y 2，2x 3y 9，x 0， )答案：10解析：可行域如图所示，设 zx 2y 2，联立 得 由图可知，当圆 x2y 2z 过点x y 2，2x 3y 9， ) x 3，y 1， )(3，1)时，z 取得最大值，即(x 2y 2)max3 2(1) 210.8. 若 x，y 满足约束条件 目标函数 zax2y 仅在点(1，0)处取得最x y 1，x y 1，2x y 2， )小值，则实数 a 的取值范围是_答案：(4，2)解析：可行域为ABC，如图，当 a0 时，显然成立当 a0 时，直线ax2yz0 的斜率 k k AC1，a2.当 a0 时，k k
6、 AB2， a4.a2 a2综合得4a2.9. 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为_万元甲 乙 原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8答案：18解析：设每天甲、乙的产量分别为 x 吨，y 吨，由已知可得 3x 2y 12，x 2y 8，x 0，y 0， )目标函数 z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点 A 处取到最大值由 得 A(2，3)，x 2y 8，3x 2y 12， )则 zma
7、x324318(万元)10. 设 m 为实数，若(x，y)| (x，y)|x 2y 225，则 m 的取值x 2y 5 0，3 x 0，mx y 0 范围是_答案：0， 43解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果m0，则可行域取到 x5 的点，不在圆内，故m0，即 m0.当 mxy0 绕坐标原点旋转时，直线过 B 点时为边界位置此时m ， m ， 0m .43 43 43二、 解答题11. 某客运公司用 A，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600 元 /辆和 2 400
8、元/辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆若每天运送人数不少于 900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？解：设 A 型、B 型车辆分别为 x，y 辆，相应营运成本为 z 元，则 z1 600x2 400y.由题意，得 x，y 满足约束条件x y 21，y x 7，36x 60y 900，x 0， x N，y 0， y N.)作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由图可知，当直线 z1 600x2 400y 经过可行域的点 P 时，直线 z1 600
9、x2 400y 在 y 轴上的截距 最小，即 z 取得最小值，z2 400故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于 15 吨，已知生产甲产品 1 吨，需煤 9 吨，电力 4 千瓦时，劳力 3 个；生产乙产品 1 吨，需煤 4 吨，电力 5千瓦时，劳力 10 个；甲产品每吨的利润为 7 万元，乙产品每吨的利润为 12 万元；但每天用煤不超过 300 吨，电力不超过 200 千瓦时，劳力只有 300 个问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分
10、别为 x 吨、y 吨，利润总额为 z 万元，则线性约束条件为 目标函数为 z7x12y，作出可行域如图，9x 4y 300，4x 5y 200，3x 10y 300，x 15，y 15， )作出一组平行直线 7x12yt，当直线经过直线 4x5y200 和直线 3x10y300的交点 A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为 20 吨、24 吨时，利润总额最大，z max7201224428(万元)答：每天生产甲产品 20 吨、乙产品 24 吨，才能使利润总额达到最大13. 变量 x，y 满足 x 4y 3 0，3x 5y 25 0，x 1. )(1) 设 z ，求 z 的最小
11、值；yx(2) 设 zx 2y 2，求 z 的取值范围；(3) 设 zx 2y 26x4y13，求 z 的取值范围解：由约束条件 作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示x 4y 3 0，3x 5y 25 0，x 1， )由 x 1，3x 5y 25 0， )解得 A .(1，225)由 解得 C(1，1)x 1，x 4y 3 0， )由 解得 B(5，2)x 4y 3 0，3x 5y 25 0， )(1) z ，yx y 0x 0 z 的值是可行域中的点与原点 O 连线的斜率观察图形可知 zmink OB .25(2) zx 2y 2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知
12、，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC| ，d max|OB| ，2 29故 z 的取值范围是2，29(3) zx 2y 26x4y13(x3) 2(y2) 2的几何意义是可行域上的点到点(3，2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3，2)的距离中，dmin1(3)4，dmax 8，（ 3 5） 2 （ 2 2） 2故 z 的取值范围是16，64第 3 课时 基本不等式一、 填空题1. 已知 x ，则函数 y4x 的最小值为_54 14x 5答案：7解析：y4x (4x5) 5257.当且仅当 4x5 ，即 x14x 5 14x 5 14x 5时取等号322. 设 x1，则函数
13、y 的最小值为_（ x 5） （ x 2）x 1答案：9解析：因为 x1，所以 x10.设 x1z0，则 xz1，所以 y z 52 59，当且仅当 z2，即 x1 时取（ z 4） （ z 1）z z2 5z 4z 4z z4z等号，所以当 x1 时，函数 y 有最小值 9.3. 若实数 a，b 满足 ，则 ab 的最小值为_1a 2b ab答案：2 2解析：依题意知 a0，b0，则 2 ，当且仅当 ，即 b2a 时等号1a 2b 2ab 22ab 1a 2b成立因为 ，所以 ，即 ab2 ，所以 ab 的最小值为 2 .1a 2b ab ab 22ab 2 24. 已知正实数 x，y 满足
14、 xy2xy4，则 xy 的最小值为_答案：2 36解析：由 xy2xy4，解得 y ，则 xyx2 (x1)4 2xx 1 6x 1 32 3，当且仅当 x1 ，即 x 1 时等号成立所以 xy 的最小6x 1 6 6x 1 6值为 2 3.65. 已知正实数 x，y 满足(x1)(y1)16，则 xy 的最小值为_答案：8解析：由题知 x1 ，从而 xy (y1)2 8，当且仅当 y116y 1 16y 1 16，即 y3 时取等号所以 xy 的最小值为 8.16y 16. 已知正数 x，y 满足 x2y2，则 的最小值为_x 8yxy答案：9解析： (x2y) (28 16) (102
15、) 189，当且x 8yxy 12(1y 8x) 12 xy yx 12 16 12仅当 4，x2y2，即 y ，x 时等号成立xy 13 437. 若 x0，y0，则 的最小值为_xx 2y yx答案： 212解析：(解法 1)设 t (t0)，则yx t 2 ，当且仅当 t ，即 xx 2y yx 11 2t 12(t 12) (t 12) 12 12 12 2 12 2 12 yx时等号成立. 2 12(解法 2)设 t (t0)，令 f(t)，则 f(t) ，易xy xx 2y yx tt 2 1t （ t 2） 2 8t2（ t 2） 2知当 t22 时，f(t) min .2 21
16、28. 已知 x0，y0，若不等式 x3y 3kxy(xy)恒成立，则实数 k 的最大值为_答案：1解析：由题设知 k ，（ x y） （ x2 xy y2）（ x y） xyk 1 恒成立x2 xy y2xy xy yx 1211，当且仅当 xy 时等号成立，从而 k1，即 k 的最大值为 1.xy yx9. 已知正数 x，y 满足 1，则 的最小值为_1x 1y 4xx 1 9yy 1答案：25解析：由 1，得 xyxy， 131x 1y 4xx 1 9yy 1 4（ x 1） 4x 1 9（ y 1） 9y 1 13 9x4y(9x4y) 13 132 25，4x 1 9y 1 9x 4
17、y 13xy x y 1 (1x 1y) 4yx 9xy 36当且仅当 时等号成立xy 2310. 若不等式 x22y 2cx(yx)对任意满足 xy0 的实数 x，y 恒成立，则实数 c的最大值为_答案：2 42解析：由题意可得 c ，令 t，则 00，xN)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为 3 (a0)万元(a3x50)(1) 在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求 x 的取值范围；(2) 在(1)的条件下，要使 100 户农民中从事蔬菜加工的
18、农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数 a 的最大值解：(1) 由题意得 3(100x)(12x%)3100，即 x250x0，解得 0x50.因为 x0，所以 00，所以 a 1 恒成立，而 15(当且x225 100x x25 100x x25仅当 x50 时取等号)，所以 a 的最大值为 5.第 4 课时 不等式的综合应用一、 填空题1. 已知 log2xlog 2y1，则 xy 的最小值为_答案：2 2解析：由 log2xlog 2y1 得 x0，y0，xy2，xy2 2 .xy 22. 若 2x2 y1，则 xy 的取值范围是_答案：(，2解析： 2 x2 y
19、2 ，且 2x2 y1， 2 xy ， xy2.2x y143. 设实数 x，y 满足 x22xy10，则 x2y 2的最小值是_答案：5 12解析：由 x22xy10，得 y .故 x2y 2x 2 1 x22x x4 2x2 14x2 14(5x2 1x2) 12.5 124. 已知实数 x，y 满足 则 z 的取值范围是_x 2y 1 0，x y 1 0，x y 1 0， ) yx 1答案： 1，12解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，z 的几何意义为区域内的点与yx 1点 P(1，0)的连线的斜率 k，由图象，得1k .125. 在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条
20、直线与函数 f(x) 的图象交于2xP，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是_答案：4解析：P，Q 两点关于原点 O 对称，设 P(m，n)为第一象限内的点，则m0，n0，n ，所以 PQ24OP 24(m 2n 2)4 16，当且仅当 m2 ，即 m2m (m2 4m2) 4m2时取等号故线段 PQ 长的最小值是 4.26. 若实数 a，b 满足 ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_答案：27解析： ab4ab10， b ，ab4ab1. (a1)(b2)4a 1a 1ab2ab26a2b16a 216a 16a84a 1a 1 4（ a 1） 32a 116(a1) 15
21、. a1， a10. 原式6(a1) 1526a 1 6a 1 6a 11527.当且仅当(a 1) 21，即 a2 时等号成立 (a1)(b2)的最小值66为 27.7. 已知 x，y 为正实数，则 的最大值为_4x4x y yx y答案：43解析：设 m4xy0，nxy0，则 x ，y ， m n3 4n m3 4x4x y yx y 83 13 .(4nm mn) 83 43 438. 若二次函数 f(x)ax 2bxc(ab)的值域为0，)，则 的最大值是b aa b c_答案：13解析：由题意可得 b24ac0，且 ba0，则 .ca b24a2令 y ，则 y ，令 t ，则 t1
22、，则 yb aa b c b aa b cba 1ca ba 1ba 1(b2a)2 ba 1 ba，再令 t1u，则 y ，当 u0 时，y ，当且仅当4（ t 1）t2 4t 4 4uu2 6u 9 4u 9u 6 412 13u3 时等号成立，即 的最大值是 .b aa b c 139. 已知函数 f(x)|x|x2|，则不等式 f(x26)f(5x)的解集是_答案：(，4)(1，2)(3，)解析：因为当 x2 时，f(x)单调递增，当 xf(5x)等价于 2(x 26)3 或 x2， )实数 m 的取值范围是_答案： 14， 1解析：函数 f(x) 当 x2 时，f(x)(x1) 21
23、1；当 x2x2 2x 2， x 2，log2x， x2， )时，f(x)log 2x1，故函数 f(x)的最小值为 1，所以 5m4m 21，解得 m1.14二、 解答题11. 已知二次函数 f(x) ax2bxc(a，b，cR)满足：对任意实数 x，都有 f(x)x，且当 x(1，3)时，有 f(x) (x2) 2成立18(1) 求证：f(2)2；(2) 若 f(2)0，求 f(x)的解析式(1) 证明：由条件知 f(2)4a2bc2 恒成立，又取 x2 时，f(2)4a2bc(22) 22 恒成立，18 f(2)2.(2) 解： 4ac2b1，4a 2b c 2，4a 2b c 0， )
24、 b ，c14a.又 f(x)x 恒成立，即 ax2(b1)xc0 恒成立 12a0， 4a(14a)0，解得 a ，b ，c ， f(x) x2 x .(12 1)2 18 12 12 18 12 1212. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 w(单位：百千克)与肥料费用 x(单位：百元)满足如下关系：w4 ，且投入的肥料费用不超过 5 百元此外，还需要投入其3x 1他成本(如施肥的人工费等)2x 百元已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元/千克(即 16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为 L(x)(单位：百元)(1) 求利润 L(x)的函数解析式，并写出
25、定义域(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x)16 x2x64 3x(0x5)(43x 1) 48x 1(2) L(x)64 3x 67 672 43.当48x 1 48x 1 3（ x 1） 48x 13（ x 1）且仅当 3(x1)，即 x3 时取等号故 L(x)max43.48x 1答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是 4 300 元13. 如图，某机械厂要将长 6 m，宽 2 m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪已知点 F 为 AD的中点，点 E 在边 BC 上，裁剪时先将四边形 CDFE
26、 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处(点 C，D 分别落在直线 BC 下方点 M，N 处，FN 交边 BC 于点 P)，再沿直线 PE 裁剪(1) 当EFP 时，试判断四边形 MNPE 的形状，并求其面积； 4(2) 若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由解：(1) 当EFP 时，由条件得EFPEFDFEP . 4 4所以FPE .所以 FNBC，四边形 MNPE 为矩形 2所以四边形 MNPE 的面积 SPNMN2 m 2.(2) (解法 1)设EFD ，由条件，知EFPEFDFEP.(0 2)所以 PF ，NPNFPF3 ，ME3 .2sin（ 2 ） 2si
27、n 2 2sin 2 2tan 由 得3 2sin 2 0，3 2tan 0，0 2， ) sin 2 23，tan 23， （ *）0 2. )所以四边形 MNPE 的面积 S (NPME)MN 2612 12(3 2sin 2 ) (3 2tan ) 6 6 622tan 2sin 2 2tan 2（ sin2 cos2 ）2sin cos (tan 3tan )62 .tan 3tan 3当且仅当 tan ，即 tan ， 时取等号此时，(*)式成立3tan 3 3故当EFD 时，沿直线 PE 裁剪，四边形 MNPE 面积最大，最大值为(62 )m2. 3 3(解法 2)设 BEt m，
28、3t6，则 ME6t.因为EFPEFDFEP，所以 PEPF，即 tBP.（ 3 BP） 2 22所以 BP ，NP3PF3PE3(tBP)3t .13 t22（ 3 t） 13 t22（ 3 t）由 得 (*)3 t 6，13 t22（ 3 t） 0，3 t 13 t22（ 3 t） 0， ) 3 t 6，t 13，t2 12t 31 0.)所以四边形 MNPE 的面积 S (NPME)MN 3t (6t)212 12 13 t22（ 3 t）6 (t3) 62 .3t2 30t 672（ 3 t） 32 2t 3 3当且仅当 (t3) ，即 t3 时取等号此时，(*)式成立故当点 E 距 B32 2t 3 233点 m 时，沿直线 PE 裁剪，四边形 MNPE 面积最大，最大值为(62 )m2.(3233) 3
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