1、3.4 实际问题与一元一次方程第 3 课时 体育赛事与一元一次方程情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 我们来看两张图片(教师出示课件)图 347(1)你知道它们蕴含的是我们数学中的什么问题吗？(2)路程、速度、时间这三个量之间有怎样的等量关系？说明与建议 说明：通过图片的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问题追及问题，激发学生的好奇心，引起每位同学的兴趣，唤醒学生的思维和问题意识，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题建议：教学时注意引导学生关注路程公式的变形，让学生熟练掌握路程、速度、时间之间的关系复习导入 问题导入：1.若小明每分钟走 60 米，那么他 4
2、 分钟能走_240_米(路程速度时间)2小明用 4 分钟绕学校操场跑了两圈(每圈 400 米) ，那么他的速度为 _200_米/分( 速度 )路 程时 间3已知小明家距离火车站 2400 米，他以 4 米/秒的速度骑车到达车站需要_10_分钟( 时间 )路 程速 度说明与建议 说明：通过几个简单的问题，引入路程、时间、速度概念及其之间的关系，复习了相关知识，同时降低了学生对于此类问题的畏惧感，便于新知识的学习建议：从基本题目入手，让学生熟悉路程公式，并引导学生对公式灵活变形，为新课学习做好铺垫教材母题教材第 112 页第 5，6 题来源:Z&xx&k.Com1(我国古代问题)跑得快的马每天走
3、240 里，跑得慢的马每天走 150 里慢马先走 12天，快马几天可以追上慢马？2运动 场的跑道一圈长 400 m小健 练习骑自行车，平均每分骑 350 m；小康练习跑步，平均每分跑 250 m，两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？又经过多少时间再次相遇？【模型建立】行程问题中常见的是追及问题和相遇问题解决此类问题的关键是：(1)熟悉路程、速度、时间三者的关系；(2)理解相遇问题与追及问题的等量关系相遇问题：甲的路程乙的路程甲、乙的距离；追及问题：甲的路程乙的路程甲、乙的距离【变式变形】1小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑 4 米，小强每秒跑 6 米(1)如果他们站在百米跑道的
4、两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？(2)如果小彬站在小强前 10 米处，同时同向起跑，那么几秒后小强追上小彬？解：(1)设 x 秒后相遇，根据题意得：4x6x100，解得 x10.答：10 秒后两人相遇(2)设 x 秒后小强追上小彬，根据题意得：6x4x10，解得 x5.答：5 秒后小强追上小彬2A，B 两地相距 6 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时(1)若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发几小时后与甲相遇？(2)若两人同时同向出发，甲在后，乙在前，问甲用多少时间可以追上乙？来源:学.科.网 Z.X.X.K(3)若两
5、人同时出发，相向而行，经过多长时间两人相距 0.4 千米？(4)若两人同时出发，同向而行，经过多长时间两人相距 1.8 千米？解：(1)乙出发 x 小时后与甲相遇，根据题意得：8 8x 6x6，解得：x .12 17答：乙 出发 小时后与甲相遇17(2)设甲用 x 小时可以追上乙，根据题意得：8x6x6，解得 x3.答：甲用 3 小时可以追上乙(3)设经过 x 小时两人相距 0.4 千米，根据题意得：8x6x 60.4 或 8x6x60.4，解得：x0.4 或 x .答：经过 0.4 小时或 小时两人相距 0.4 千米1635 1635(4)设经过 x 小时两人相距 1.8 千米，根据题意得：
6、8x6x 61.8 或 8x6x61.8.解得：x2.1 或 x3.9.答：经过 2.1 小时或 3.9 小时两人相距 1.8 千米3一架飞机加满油后最多能在空中飞行 11 小时，飞机在无风时的速度是 550 千米/时，风速为 50 千米/时，这架飞机最远飞出多远就应返回？解：设这架飞机最远飞出 x 千米就应返回，根据题意得 11，解得x550 50 x550 50x3000.答：这架飞机最远飞出 3000 千米就应返回命题角度 1 胜、负、平积分问题本类题一般题意会明确胜、负、平某类情况的场次，关键是通过设未知数找到另两类型之间的关系， 而后根据题意求解例 某中学七年级举行足球赛，规定胜一场
7、记 3 分，平一场记 1 分，负一场记 0 分，七年级(九)班在比赛中共积 16 分，其中胜的场数与平的场数相同，负的场数比胜的场数多 1 场，问七年级(九) 班在比赛中共负了多少场？解：设胜了 x 场，同样平了也是 x 场，负了(x1) 场依题意可得 3xx16，x4.所以 x15.答：七年级(九)班比赛中共负了 5 场命题角度 2 环形跑道问题环形跑道问题类似于直线跑道，也涉及同向与反向，同向是追及，反向是相遇例 雅安中考 甲、乙二人在一环形跑道上从 A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的 2.5 倍，4 分钟后两人首次相遇，此时乙还需要跑 300 米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形
8、跑道的长解：设乙的速度为 x 米/分，则甲的速度为 2.5x 米/ 分，根据题意，得2.5x44x4x300，解得 x150.2.5x2.5150375，4x3004150300900.答：甲、乙二人的速度分别为 375 米/分、150 米/ 分，环形跑道的长为 900 米命题角度 3 相遇、追及问题路程问题包括相遇与追及，解决此类问题关键是抓住等量关系相遇问题：甲的路程乙的路程甲、乙之间的距离，追及问题：甲的路程乙的路程甲、乙之间的距离借助线段图分析此类问题，可以化繁为简，便于解决例 A，B 两地相距 200 千米，甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，甲的速度为 60 千米/时，乙的速度为
9、40 千米/时(1)如果甲、乙相向而行，甲先行 50 千米，乙再出发，问：乙出发几小时后与甲相遇？(2)如果甲、乙同向而行，甲在后，乙在前，乙先行驶两小时，甲再出发，问乙在距离B 地多远处被甲追上？解：(1)乙出发 x 小时后与甲相遇，根据题意得：5040x60x200，解得 x1.5.答：乙出发 1.5 小时后与甲相遇(2)设甲出发 x 小时后追上乙，根据题意得：60x40x200402，解得 x14.40(142)640( 千米)答：乙在距离 B 地 640 千米处被甲追上教材习题答案详见光盘内容当堂检测1. 足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分一队打
10、 14 场，负 5 场，共得 19 分，那么这个队共胜了（ ）A6 场 B5 场C4 场 D3 场2. 一份数学试卷，只有 25 个选择题，做对一题得 4 分，做错一题倒扣 1 分，某同学做了全部试卷，得了 70 分，他一共做对了（ ）A17 道 B18 道C19 道 D20 道3. 小 聪 从 家 到 学 校 ， 如 果 每 分 钟 走 100 米 ， 就 会 迟 到 3 分 钟 ； 如 果 每 分 钟 走 150 米 ， 就 会 早 到3 分 钟 ， 问 小 聪 每 分 钟 走 多 少 米 才 能 按 时 到 校 ？ 参考答案：1. B 2. C 3. 解：设 小 聪 按 时 到 校 要
11、分 钟 ， 则 根 据 题 意 可 列 方 程 ：.解得：x=15, 100（15+3）15=120答：小聪每分钟应该走 120 米 来源:学科网 ZXXK如何列一元一次方程解行程类应用问题所谓行程类应用问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的应用问题.在列出一元 一次方程解这类应用题时，我们常用的公式是：路程=速度时间；速度=路程时间；时间=路程速度.当考虑两人或两个物体运动时，就有“相向”、“同向”、“背向”这三种情况.“相向而行”是指两者面对面地行进，其距离越来越近；“同向而行”是指两者的运动方向相同；“背向而行”是指两者背对背行进。如果两人或两个物体相向而行，到一定时间就会相遇；相遇后
12、仍按原方向行进，就会变成背向而行。总之，相向而行与背向而行，其运动方向都是相反的，所以我们可作如下分类：两人（物体）运动 ，如果运动路线方 向 相 同 同 向相 向方 向 相 反 背 向不是直线，而是一个圆圈（比如我们在操场上进行环形赛跑），情况就要复杂一些.这时两人（或物体）如果面对面跑，那么也就是背对背跑，这两人（或物体）的距离会有“增加减少增加减少增加”的现象；如果不是面对面跑，而是同向跑，那么速度快的，就会比速度慢的先多跑 1 圈，然后多跑 2 圈，3 圈，.这两人（或物体）的距离也会有“增加减少增加 减少增加”的现象.对于这些情况，只要到操场上试一试或在纸上画幅图分析一下，就可以明白
13、.在行程问题中还有一类顺逆航行的问题.如果 航行的工具是轮船，那么常用的相等关系是：顺水速度= 静水速度水流速度；逆水速度=静水速 度水流速度 .如果航行的工具是飞机，那么常用的相等关系是：顺风速度无风时飞机速度风速；逆风速度无风时飞机速度风速.例 1 一条环形跑道长 400 米.甲练习骑自行车，平均每分钟行驶 550 米；乙练习长跑，平均每分钟跑 250 米.两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇？分析 本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关系：甲的路程乙的路程环形跑道圆的周长；甲用的时间=乙用的时间.解答 设经过 x 分钟两人首次相遇.根据题意，得 550x250x=400
14、.解这个方程，得 x=1.即经过 1 分钟，甲、乙两人首次相遇.3说明 在追及问题中常用的等量关系是：（1）若甲、乙同地出发，甲先行，则乙追上甲时有：甲所走的路程=乙所走的路程；甲所用的时间=乙所用的时间甲先行的时间.（2）若甲、乙同时不同地出发，甲在乙后面，则甲追上乙时有：甲所走的路程=乙所走的路程甲、乙出发时的距离；甲所用的时间=乙所用的时间.例 2 一架飞机飞行在两城市之间。风速为 24 千米/时，顺风 飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时。求两个城市之间的飞行路程.分析 方法一（设直接未知数）：设两个城市之间的飞行路程为 x 千米，则顺、逆风飞行的路程都是 x 千米，顺
15、风 飞行的速度为 千米/ 时，逆风飞行的速度为 千米/时。所6052x3以，应该在速度这个量上找相等关系：因为顺风机速风速无风机速；逆风机速风速无风机速，所以顺风机速风速=逆风机速风速.即 24= 24.6052x3方法二（设间接未知数）：设无风时的机速为 x 千米/ 时，则顺风机速为（x24）千米/时，逆风机速为（x24）千米/ 时。又因为时间是已知量，有 x 和已知量可表示顺、逆飞行的路程，它们应相等.解法一 设两个城市之间的飞行路程为 x 千米.根据题意， 24= 24.解这个方60523x程，得 x=2448.即两个城市之间的飞行路程为 2 448 千米. 来源:学科网解法二 设无风时飞行的机速为 x 千米/时.根据题意，得 2 （x4）=3（x4）.解这个方程，得 x=840.所以 3（x4）=3（8404 ）=2 448.即两个城市之间的飞行路程为 2 448 千米.说明 有关船只航行问题可仿此分析解决.
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