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    2019届百色市中考数学《第14课时:二次函数的应用》精讲精练

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    2019届百色市中考数学《第14课时:二次函数的应用》精讲精练

    1、第14课时 二次函数的应用百色中考命题规律与预测(二次函数)详见本书“第13课时”此部分表格.百色中考考题感知与试做二次函数的建模及应用(2016百色中考)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过O,P,A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.(1)建立适当的平面直角坐标系,直接写出O,P,A三点坐标;求抛物线L的解析式;( 2)求OAE与OCE面积之和的最大值.解:(1)如图,以点O为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系.(答案不唯一)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,O(0,0),A(4,0),P(2,2);设抛物线L的解析式为y

    2、ax 2bxc.抛物线L经过O,P,A三点, ,解得0 c,0 16a 4b c2 4a 2b c, ) a 12,b 2,c 0, )抛物线L的解析式为y x22x;12(2)点E是正方形内的抛物线上的动点,设点E的坐标为(m, m22m)(0m4),12S OAE S OCE OAyE OCxEm 24m2m(m3) 29,12 12当m3时,OAE与OCE面积之和最大,最大值为9.核心考点解读二次函数的实际应用1.应用二次函数解决实际问题的解题方法(1)设:设定题目中的两个变量,一般是设x是自变量,y为x的函数;(2)列:根据题目中的等量关系,列出函数解析式;(3)定:根据数学意义和实际

    3、意义确定自变量的取值范围;(4)解:利用相关性质解决问题;(5)答:检验后写出合适的答案.二次函数的综合应用2.二次函数的常见题型(1)抛物线型解决此类问题的关键是选择合理的位置建立直角坐标系.建立直角坐标系的原则:所建立的直角坐标系要使求出的二次函数解析式比较简单;使已知点所在的位置适当(如在x轴、y轴、原点、抛物线上等),方便求二次函数的解析式和之后的计算求解.(2)结合几何图形型解决此类问题一般是根据几何图形的性质,找自变量与该图形面积(或周长)之间的关系,用自变量表示出其他边的长,从而确定二次函数的解析式,再根据题意和二次函数的性质解题即可.(3)最值型列出二次函数的解析式,并根据自变

    4、量的实际意义,确定自变量的取值范围;配方或利用公式求顶点坐标;检查顶点是否在自变量的取值范围内.若在,则函数在顶点处取得最大值或最小值;若不在,则在自变量的取值范围的两端点处,根据函数增减性确定最值.【温馨提示】解决最值问题要注意两点:(1)设未知数,在“当某某为何值时,什么最大(或最小)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;(2)最值的求解,依据配方法或者最值公式,而不是解方程.1.如图,图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.若水面下降1 m,则水面宽度为( A )A.2 m B.2 m6 3C. m D. m6 32.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度16

    5、m,则所围成矩形AB CD的最大面积是( C )A.60 m2 B.63 m2C.64 m2 D.66 m23.(2018贺州中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20x30,且x为整数)出售,可卖出(30x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为 25 元.来源:Zxxk.Com4.(2018百色中考)抛物线yax 2bx的顶点M( ,3)关于x轴的对称点为B,点A为抛物线与x轴的一个3交点,点A关于原点O的对称点为A;已知C为AB的中点,P为抛物线上一动点,作CDx轴,PEx轴 ,垂足分别为D,E.(1)求点A的坐标及抛物线的解析式;(2)当0x2 时,是否存

    6、在点P使以点C,D,P,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标3;若不存在,请说明理由.解:(1)由于抛物线的顶点为M( ,3),则3解得3a 3b 3, b2a 3, ) a 1,b 23, )抛物线的解析式为yx 22 x.3当y0时,x0或2 ,A(2 ,0);3 3(2)存在.点M,B关于x轴对称,点A,A关于原点O对称,A(2 ,0),B( ,3).3 3C为AB的中点,CD |yB| .12 32CDx轴,PEx轴,CDPE.要使四边形CDPE为平行四边形,则CDPE ,即y P ,32 32令x 22 x ,332x ,2362点P的坐标为 或 .(23 62 ,

    7、32) (23 62 , 32)典题精讲精练二次函数的实际应用例1 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 h/m 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论:足球距离地面的最大高度为20 m;足球飞行路线的对称轴是直线t ;足球被踢出9 92s时落地;足球被踢出1.5 s时,距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是( B )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】由表格数据可推知,抛物线经过(0,0),

    8、(9,0),可以假抛物线的解析式为hat(t9),把(1,8)代入解析式可得a值,从而可得解析式,再配方即可一一判断.由表格数据可设抛物线的解析式为hat(t9),把(1,8)代入解析式可得a1,ht 29t(t4.5) 220.25,足球距离地面的最大高度为20.25 m,故错误;抛物线的对称轴是直线t4.5,故正确;当t9时,h0,足球被踢出9 s时落地,故正确;当t1.5时,h11.25,故错误.【点评】本题考查二次函数的应用,求出抛物线的解析式是解题的关键.二次函数与几何的综合例 2 (2017百色中考)以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点,AC所在的直线为x轴,已知A(4,0),B

    9、(0,2),M(0,4),P为折线BCD上一动点, 作PEy轴于点E,设点P的纵坐标为a.(1)求BC边所在直线的解析式;(2)设yMP 2OP 2,求y关于a的函数关系式;(3)当OPM为直角三角形时,求点P的坐标.【解析】(1)先确定出OA4,OB2,再利用菱形的性 质得出O C4,OD2,最 后用待定系数法即可确定出直线BC的解析式;1.(2018连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式ht 224t1.则下列说法中正确的是( D )A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为

    10、139 mD.火箭升空的最大高度为145 m2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅游团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是 55 时,这个旅行 社可以获得最大的营业额.3.(2015玉林中考)某超市对进货价为10元/kg的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(kg)与销售价x(元/kg)存在一次函数关系,如图所示.(1) 求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);来源:学#科#网(2)应怎样确定销售价,使该品种苹果的每天销售利润最大?最大利润是多少?解:(1)设ykxb,由图象可知,解得20k

    11、b 20,30k b 0, ) k 2,b 60, )y2x60;(2)每天销售利润p(x10)y(x10)(2x60)2x 280x600.a20,p有最大值,当x 20时,p 最大值 200.80 22故当销售单价为20元/kg时,每天销售利润最大,最大利润是200元.(2)分两种情况,先表示出点P的坐标,利用勾股定理即可得出函数关系式;(3)分两种情况,利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标.【解答】解:(1)A(4,0),B(0,2),OA4,OB2.来源:学,科,网Z,X,X,K四边形ABCD是菱形,OCOA4,ODOB2,C(4,0),D(0,2).设BC边所在直线的解析式

    12、为ykx2 ,则4k20,k ,12BC边所在直线的解析式为y x2;12(2)由(1)知,C(4,0),D(0,2),直线CD的解析式为y x2.12由(1)知,直线BC的解析式为y x2.12当点P在BC边上时,点P的纵坐标为a,P(2a4,a)(2a0).M(0,4),yMP 2OP 2(2a4) 2(a4) 2(2a4) 2a 210a 224a48;当点P在CD边上时,点P的纵坐标为a,P(42a,a)(0a2).M(0,4),yMP 2OP 2(42a) 2(a4) 2(42a) 2a 210a 240a48.综上所述,y 10a2 24a 48( 2 a 0) ,10a2 40a

    13、 48( 0 a 2) ; )(3)当点P与点C重合时,MOP90,此时点P的坐标为(4,0);当OPM90时,点P在CD边上,此时OM 2MP 2OP 2,由(2)知,MP 2OP 210a 240a48(0a2).M(0,4),OM 216,10a 240a4816,a2 (舍去)或a2 ,255 255P .(455, 2 255)综上所述,点P的坐标为(4,0)或 .(455, 2 255)4.(2015百色中考)抛物线yx 2bxc经过A(0,2),B(3,2)两点,若两动点D,E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动,点E的速度是每秒1个单位长度,点D的速度是每秒2个单位长度.

    14、(1)求抛物线与x轴的交点坐标;(2)若点C为抛物线与x轴的交点,是否存在点D,使A,B,C,D四点围成的四边形是平行四边形?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由;(3)问几秒钟时,B,D,E在同一条直线上?解:(1)抛物线yx 2bxc经过A(0,2),B(3,2)两点, 解得c 2,9 3b c 2, ) b 3,c 2, )抛物线的解析式为yx 23x2.令y0,则x 23x20,解得x 11,x 22,抛物线与x轴的交点坐标是(1,0),(2,0);(2)存在.由已知条件得ABx轴,ABCD,当CDAB3时,以A,B,C,D四点围成的四边形是平行四边形.设D(m,0).当C(1,0)时,CDm1,m13,m4,D(4,0);当C(2,0)时,CDm2,m23,m5,D(5,0).综上所述: 点D的坐标为(4,0)或(5,0);(3)设t s时,B,D,E在同一条直线上,则OEt,OD2t,E(0,t),D(2t,0),来源:Zxxk.Com来源:Zxxk.Com设直线BD的解析式为ykxt,则3k t 2,2tk t 0, )k 或k (不合题意,舍去),12 23当k 时,t ,12 72点D,E运动 s时,B,D,E在同一条直线上.72请 完 成 精 练 本 第 23 25页 作 业


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