1、2022年北京中考第三次模拟考试数学试卷一、选择题(共16分，每题2分)。1如图是由8个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，则这个几何体的左视图是ABCD2为阻断新冠疫情传播，我国政府积极开展新冠疫苗接种工作截止到2022年3月5日，全国接种疫苗累计超过31亿剂次把3100000000用科学记数法表示为ABCD3如图所示，量角器的圆心在矩形的边上，直径经过点，则的度数为ABCD4一个十边形的内角和等于ABCD5如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被
2、涂色的概率为ABCD6实数在数轴上的对应点位置如图所示，若实数满足：，则的值可以是ABC3D47数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为A8B6C4D28在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”对于某次投篮
3、而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为，篮框中心点为，他可以选择让篮球在运行途中经过，四个点中的某一点并命中，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是ABCD二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9若分式有意义，则实数的取值范围为 10分解因式：11若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 12下列命题中，正确命题的个数为 所有的正方形都相似所有的菱形都相似边长相等的两个菱形都相似对角线相等的两个矩形都相似13如图，四边形是的内
4、接四边形，弦，则的半径等于 14甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点；乙：随的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 15“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件（肥力、日照、通风不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为：亩，亩，则品种更适合在该村推广（填“甲”或“乙” 16为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按的顺序进行标号
5、第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（5分）计算：18（5分）解不等式组：，在数轴上表示解集并列举出非正整数解19 （5分）先化简，再求值：，其
6、中20（5分）如图，已知求作：的内接等边小丽同学的作法及证明过程如下：作法：作直径；作半径的垂直平分线，垂足为，交于、两点；连接，所以即为的内接等边三角形证明：连接，在中，垂直平分，（）为等边三角形（）为的内接等边三角形（1）在小丽同学的证明过程中，、两处的推理依据分别是 ； （2）请你再给出一种作图方法（尺规作图，保留作图痕迹）21（6分）已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根（2）如果方程的两个实数根为，且与都为整数，求所有可能的值22（6分）如图，点是的边上的动点，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段（1）作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说
7、明理由；（2）若，求以、为邻边的正方形的面积23（5分）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点（1）根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从四边形的面积为2，这两个条件中任选一个作为补充条件，求的值你选择的条件是 （只填序号）24（6分）为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到图表：该地区每周接种疫苗人数统计表周次第1周第2周第3周第4周第5周第6周第7周第8周接种人数（万人）710121825293742根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角
8、坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为，那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势请根据以上信息，解答下列问题：（1）这八周中每周接种人数的平均数为 万人；该地区的总人口约为 万人；（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势估计第9周的接种人数约为 万人；专家表示：疫苗接种率至少达，才能实现全民免疫那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦
9、周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？25（5分）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若（1）求证：是的切线；（2）若的半径为8，求的长26（6分）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上（1）若，求该抛物线的解析式以及它的对称轴；（2）若，点，在该抛物线上若，比较，0的大小，用小于号将他们连接，并说明理由27（7分）在和中，且，将绕点顺时针方向旋转，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接
10、，点是线段的中点，连接，（1）如图1，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当时，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（3）当时，若，请直接写出的值28（7分）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若且，我们称点是线段的“潜点”已知点，（1）在，中是线段的“潜点”是 ；（2）若点在直线上，且为线段的“潜点”，求点横坐标的取值范围；（3）直线与轴交于点，与轴交于点，当线段上存在线段的“潜点”时，直接写出的取值范围为 参考答案一、选择题12345678BBBCBBDB1【分析】根据左视图的定义画出图形即可【解答】解：这个几何体的左视图为：
11、故选：【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题2【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数【解答】解：3100000000用科学记数法表示为，故选：【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值3【分析】根据矩形的性质得到，即可根据平行线的性质求解【解答】解：如图，四边形是矩形，故选：【点评】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题
12、的关键4【分析】根据多边形的内角和等于即可得解【解答】解：根据多边形内角和公式得，十边形的内角和等于：，故选：【点评】此题考查了多边形的内角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键5【分析】直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案【解答】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色的有8个，故取得的小正方体恰有三个面被涂色的概率为故选：【点评】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面被涂色小立方体的个数是解题关键6【分析】直接利用数轴得出的取值范围，再结合绝对值的性质得出的值【解答】解：由数轴可得：，的值可以是：故选：【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握
13、绝对值的性质是解题关键7【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值【解答】解：如果实施5次运算结果为1，则变换中的第6项一定是1，则变换中的第5项一定是2，则变换中的第4项一定是4，则变换中的第3项可能是1，也可能是8此处第3项若是1，则计算结束，所以1不符合条件，第三项只能是8则变换中的第2项只能是16第1项是32或5，则的所有可能取值为32或5，一共2个，故选：【点评】本题考查有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键8【分析】分类讨论投篮线路经过，四个点时篮球上升阶段的水平距离求解【解答】解：，两点，横坐标相同，而点的纵坐标大于点的纵坐标，显然
14、，点上升阶段的水平距离长；，两点，纵坐标相同，而点的横坐标小于点的横坐标，等经过点的篮球运行到与点横坐标相同时，显然在点上方，故点上升阶段的水平距离长；同理可知点路线优于点路线，综上：是被“盖帽”的可能性最大的线路故选：【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解二、填空题9【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再得出答案即可【解答】解：要使分式有意义，必须且，解得：且，故答案为：且【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出且是解此题的关键10【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：
15、【解答】解：，（提取公因式）（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底11【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得且，解得且故答案为且【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根12【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：所有的正方形都相似，正确，符合题意；所有的菱形都相似，错误，不符合题意；边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；
16、对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，正确的有1个，故答案为：1【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大13【分析】连接，由圆内接四边形可求得的度数，由圆周角定理可得，即可证得为等边三角形，进而可求解【解答】解：连接，四边形是的内接四边形，为等边三角形，即的半径为2故答案为：2【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明为等边三角形是解题的关键14【分析】设一次函数解析式为，根据函数的性质得出，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一【解答】解：设一次函数解析式为，函数的图象经过点，随的增大而减小，取，此函数图象不经过第
17、三象限，满足题意的一次函数解析式为：（答案不唯一）【点评】本题考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型15【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案【解答】解：亩，亩，产量稳定，适合推广的品种为乙，故答案为：乙【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定16【分析】根据题意可得每次挑选都是去掉奇数，进而得出需要挑选的总次数进而得出答案【解答】解：将这些金蛋按的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数
18、的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，剩余的数字都是偶数，是2的倍数，；他将剩下的金蛋在原来的位置上又按编了号，又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋，剩余的数字为4的倍数，以此类推：共经历10次重新编号，故最后剩余的数字为：故答案为：1024【点评】此题主要考查了推理与论证，正确得出挑选金蛋的规律进而得出挑选的次数是解题关键三、解答题17【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案【解答】解：原式【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算性质是解答本题的关键1
19、8【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表述出不等式的解集，结合数轴进一步求解即可【解答】解：解不等式得：，解不等式得：，将解集表示在数轴上如下：不等式组的解集为，不等式组的非正整数解为、0【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得【解答】解：原式，当时，原式【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则20【分析】（1）利用垂直平分得到，利用同弧所对圆周角相等得到；（2
20、）先作半径，再以为半径，在圆上依次截取六条相等的弦，这样可将圆六等份，然后连接圆的三等份点得到圆的内接正三角形【解答】解：（1）处的推理依据为垂直平分线的性质；处的推理依据为同弧所对圆周角相等；故答案为垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）如图，即为所求【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理、正多边形和圆21【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（
21、2）解方程求出方程的两根为，得出或，然后利用有理数的整除性确定的整数值；【解答】（1）证明：，无论取何值，方程有两个不相等的实数根（2）解：，即，解得：或一元二次方程的两根为，或，如果为整数，则为1的约数，如果为整数，则为1的约数，则为0或整数的所有可能的值为，0或【点评】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出的整数值22【分析】（1）根据，则，故，即可判断；（2）作于点，在中，已知两角一边，可通过解三角形求出的长度【解答】解：（1）结论：点在直线上，理由如下：，即，线段绕点逆时针旋转落在直线上，即点在直线上，（2
22、）作于点，即以为邻边的正方形面积为【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，解三角形等知识，作辅助线，构造两个特殊的直角三角形是解题的关键23【分析】（1）根据图象可知，再把点和点的横坐标分别代入反比例函数，分别表达出，的值进行验证即可；（2）由（1）可表达点的坐标，进而可得结论【解答】解：（1）根据图象可知，点、在反比例函数的图象上，即（2）选择作为条件；由（1）可得，四边形的面积为2，解得【点评】本题主要考查反比例函数上点的特征，待定系数法求表达式等；第（2）问中选择一个进行计算即可，一般选择难度相对较小的进行计算24【分析】（1）利用平均数的计算公式计算可得结
23、论；用前8周已接种人数的和除以，可得结论；（2）将代入中，计算后可得结论；计算出实现全民免疫所需的接种人数为；设最早到第周，该地区可达到实现全民免疫的标准，依题意列出不等式，通过计算可得结论；（3）依题意计算出第9周的接种人数，进而计算出第周的接种人数，根据题意列出不等式，解不等式得到从第21周开始接种人数低于20万，再依据题意列出完成全部接种时，满足的不等式即可得出结论【解答】解：（1）（万人），这八周中每周接种人数的平均数为22.5万人（万人），该地区的总人口约为800万人故答案为：22.5；800（2）当时，估计第9周的接种人数约为48万人故答案为：48；疫苗接种率至少达，实现全民免疫所
24、需的接种人数为（万人）设最早到第周，该地区可达到实现全民免疫的标准，则由题意可得接种的总人数为化简得：当时，最早到第13周，该地区可达到实现全民免疫的标准（3）由题意得：第9周的接种人数为（万第10周的接种人数为，第11周的接种人数为，第，周的接种人数为，设第周接种人数不低于20万人，即：解得：当周时，接种人数不低于20万人，当周时，低于20万人；从第9周开始周接种人数当时，总接种人数为：解得：当为25周时全部完成接种【点评】本题主要考查了一次函数的应用，平均数，不等式的应用依据已知条件列出相应的不等式是解题的关键25【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可求，可得结论；（2）由余
25、角的性质可求，由锐角三角函数可设，在中，利用勾股定理可求，即可求解【解答】解：（1）如图，连接，是的切线；（2），设，【点评】本题考查了切线的性质和判定，圆的有关性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由余角的性质求出是解题的关键26【分析】（1）将点，代入解析式可得抛物线解析式，再通过配方可得对称轴；（2）由可得，即，分别将，代入分别表达，两两作差进行比较可得出结论【解答】解：（1）将，代入得：，解得，抛物线对称轴为直线；（2）点和点在抛物线上，即，在该抛物线上，【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式27【分析】（1）延长交于，根据证，再证是等腰直角三角形即可得
26、出，；（2）作，交延长线于点，连接、，根据证，再根据证，然后得出是等腰直角三角形即可得出结论；（3）作，交延长线于点，连接、，过点作交延长线于，同得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据得出的值即可【解答】解：（1），理由如下：如图1，延长交于，点是线段的中点，又，又，又，是等腰直角三角形，；（2），理由如下：如图2，作，交延长线于点，连接、，同理（1）可证，当时，在和中，是等腰直角三角形，；（3）如下图，作，交延长线于点，连接、，过点作交延长线于，当时，由旋转可知，即与所成夹角的锐角为，同（2）可得，同（2）可得是等腰直角三角形，在中，又，【点评】本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等
27、三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识是解题的关键28【分析】（1）在坐标系中找到三点，根据坐标系中两点间的距离可直接得出结论；（2）经分析可知，点在以为圆心，半径为2的圆上或圆外，且在线段垂直平分线的下方，点在以为圆心，3为半径的圆内，画出点的范围，找到范围内符合题意的点即可求解；（3）根据点的运动，可找到临界状态，画出图形，求出对应的的值即可【解答】解：（1）在坐标系中找到，三点，如下图：根据“潜力点”的定义，可知、是线段的潜力点，故答案为：、；（2）点为线段的“潜力点”，且，点在以为圆心，半径为2的圆上或圆外，且点在以为圆心，3为半径的圆内，且在线段垂直平分
28、线的下方，又点在直线上，点在如图所示的线段上（不包括点），由题知，和是等腰直角三角形，点横坐标的取值范围；（3）由（2）知，点在以为圆心，半径为2的圆上或圆外，且点在以为圆心，3为半径的圆内，且在线段垂直平分线的下方，点在直线上，即如下图所示，时，直线在两虚线之间时存在符合题意的点，当时，当潜力点和点重合时，即点坐标为，由图知，此时，即，当潜力点为直线的切点时，点在直线上，即，解得，即，此时；当时，如下图，直线在两虚线之间时存在符合题意的点，当点坐标为时，此时，即，当直线过点时，此时，且点的纵坐标为1，即，此时；综上，的取值范围为或，故答案为：或【点评】本题主要考查一次函数的综合题，涉及两点之间距离，“潜力点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
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