1、绝密启用前2018-2019 学年度学校 10 月月考卷注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明一、单选题1已知 为实数集，集合 ， ，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A B C D 2已知 .若“ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是A (1，+) B (，3) C (1，3) D 3设集合 ， ，则下列结论正确的是( )A B C D 4设集合 ，集合 ，则 等于 ( )A B C D 5已知 ，命题 p： ， ，则 A p 是假命题， ： ，B p 是假命题， ： ，C p 是真命题， ： ，D
2、 p 是真命题， ： ，6已知集合 ， ，则（ ）A B C D 7集合 ， ,若 ，则 的取值范围是（ ）A B C D 8集合 ， ，则 是（ ）A B C D 9函数 关于直线 对称，则函数 关于（ ）A 原点对称 B 直线 对称 C 直线 对称 D 直线 对称10设 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围为（ ）A B C D 11已知函数 是定义在区间 上的可导函数，满足 且 ( 为函数的导函数)，若 且 ，则下列不等式一定成立的是( )A B C D 12已知定义在 R 上的函数 满足 且在 上是增函数，不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )A B C D 第 I
3、I 卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明二、填空题13已知函数 ，则 _14记 为不超过 的最大整数，如 ，则函数 的所有零点之和为_.15已知函数 为奇函数，若 ，则 的值为_.16给出以下四个命题：（1）命题 ，使得 ，则 ，都有 ； （2）已知函数 f(x)|log 2x|，若 a b，且 f(a) f(b)，则 ab1；（3）若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则平面 平行于平面 ； （4）已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 为奇函数，则函数的图象关于点 对称其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）三、解答题17已知三个集合： ， ，.（I）求 ；（II）
4、已知 ，求实数 的取值范围.18已知函数 .（）讨论函数 的单调性；（）当 时，求证： .19已知函数 （）求函数 的单调区间与极值；（）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；（）求证： .20已知函数 ，(1)分别求 的值:(2)讨论 的解的个数:(3)若对任意给定的 ,都存在唯一的 ,满足 ，求实数的取值范围.21已知函数 , （）当 x0 时， f（ x） h（ x）恒成立，求 a 的取值范围；（）当 x0 时，研究函数 F（ x）= h（ x） g（ x）的零点个数；（）求证： （参考数据：ln1.10.0953）22已知函数 ，其导函数为 当 时，若函数 在 R 上有且只有一
5、个零点，求实数 a 的取值范围； 设 ，点 是曲线 上的一个定点，是否存在实数 使得成立？并证明你的结论参考答案1D【解析】【分析】首先确定集合 A,B，然后结合 Venn 图求解阴影部分表示的集合即可.【详解】求解分式不等式 可得 ，求解二次不等式 可得 ，则 ，韦恩图中阴影部分表示的集合为 ，即 .本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算， Venn 图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2C【解析】【分析】由题意可知命题 p,q 均为真命题，据此求解实数 a 的取值范围即可.【详解】由“ ”是真命题可知命题 p,q 均为真命题，若命题 p
6、 为真命题，则： ，解得： ，若命题 q 为真命题，则： ，即 ，综上可得，实数 a 的取值范围是 ，表示为区间形式即 .本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查复合命题问题，与二次函数有关的命题，与指数函数有关命题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3B【解析】,故选 .4B【解析】【分析】先求出集合 A 和集合 B，由此能求出 AB【详解】集合 A=y|y=log2x，0x4=y|y2，集合 B=x|ex1=x|x0，AB=x|0x2=（0，2故选：B【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和
7、数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍5C【解析】【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果。【详解】，当 时，命题 ： ， ，是真命题命题 ： ， ，则故选【点睛】本题主要考查了命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题。6A【解析】【分析】求出集合 ， ，判断 ， 的关系，即可得到答案.【详解】因为 ， .所以 .故选 A.【点睛】本题考查集合与集合的关系，是基础题.7B【解析】【分析】由题意求出 ， ，要使 ，则 .【详解】根据题意 ，可得 ， ，
8、要使，则，故选 B.【点睛】本题考查集合的综合运算，属中档题.8C【解析】【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合 和集合 ，求出集合 的补集，即可求得 .【详解】集合集合故选 C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力9D【解析】【分析】由题意结合函数图象的变换规律确定函数的对称性即可.【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度即可得到函数 的图象，结合函数 关于直线 对称，可知函数 关于直线 对称.本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查函数的对称性，函数的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10A【解析】【分析】由题意得令
9、 ，即 与 恰有 3 个交点，由 ，利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】恰有 3 个零点，则 恰有 3 个根，令 ，即 与 恰有 3 个交点，当 时， ，所以 在 上是减函数；当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以 在 时增函数，在 时减函数，且 ，所以故选 A【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等11C【解析】构造函数 , ,所以 是 上的减函数.令 ,则,由已知 ,可得 ,下面证明 ,即证
10、明 ,令 ,则 ,即 在 上递减, ,即 ,所以 ,若 ,则 .故选.【点睛】本小题主要考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查大小比较,关键在于构造函数法.问题的关键点在于利用好 ,这是一个含有原函数和它的导函数的式子,故考虑用构造函数法构造函数,构造函数 后,就可以用上已知条件来判断单调性了.12B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】，则函数 关于 对称函数 在 上是增函数函数 在 是减函数，即 在 上是减函数当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出： ，解得 或 ，满足不等式 对任意 恒成立，由此排除 两个选项
11、当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出： ，解得 ，不满足不等式 对任意 恒成立，由此排除综上所述， 选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。134【解析】【分析】根据分段函数对应性，根据自变量大小对应代入解析式，即得结果.【详解】【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量
12、的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14【解析】【分析】由 ，令 ，求导利用函数单调性可证得 在上无零点，只需考虑： ， ， ， 求解即可.【详解】由题意可知： .令 .有： .所以 在 上单调递减，有 ，所以 在 上无零点，只需考虑： ， ， ，可得三个零点分别为 ，故答案为 【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.15 3【解析】【分析】由函数 为奇函数，可得 ，进而可得解.【详解】因为函数 为奇函数，且 ， ，所以 ，所以 所以 【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，属于基础题.16（1）（2）（4）【解析】【分析】（1），根据特称命题的否定
13、是全称命题，判断即可；（2）根据函数与方程的关系，利用对数函数的性质进行运算判断（3）利用线面平行的定义进行判断；（4）利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心.【详解】（1）命题 ，使得 ，则 ，都有 ；正确；（2） ，不妨设 ，则 ，则 ，即，即 ，正确；（3）平面 内存在不共线的三点到 的距离相等，这 3 个点可能在 2 个相交平面的交线的两侧，故不正确（4）函数 是奇函数，其图象关于原点对称又函数 的图象是由 向左平移 个单位长度得到函数 的图象关于点 对称，正确即答案为（1）（2）（4）.【点睛】本题考查特称命题的否定，函数与方程的关系，线面平行，考查函数的奇
14、偶性，对称性等，属基础题.17（1） （2）【解析】【分析】（I）解方程求出集合 、 ，计算 ；（II）根据 ，求出集合 的元素特征，求出实数 的取值范围【详解】(1) , , (2) ,设 ，则即解得所以实数 的取值范围是【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题18(1) 当 时，函数的增区间为 ，减区间为 ， ；当 时，函数无单调区间；当 时，函数的减区间为 ，增区间为 ，(2)见解析.【解析】【分析】（1）函数求导，由 得函数减区间，由 得函数的增区间；（2）欲证 ，只需证 ，设 ， ，即证 ，分别求导求最值即可.【详解】（1）定义域为 ，因为 ， 当 时， ； 或 ，此时函数的
15、增区间为 ，减区间为 ，当 时， ，函数无单调区间当 时， ； 或 ，此时函数的减区间为 ，增区间为 ，（2）欲证 ，即证 ，只需证 ，设 ， ，即证因为 ，令 ，得当 时， ；当 或 时， ，又因为 ，当 时， ，当 时，所以 ，而所以 ，即 成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.19（）见解析；（） ；（）见解析.【解析】【分析】（）函数的定义域为 .且 ，据此列表讨论可知： 的单调递增区间
16、为 ，单调递减区间为 . 的极大值为 ，无极小值.（）由题意可得 恒成立，令 ，由导函数可得当 时函数 有最大值 ，所以.（）由（）知 ，则 ，据此结合不等式的性质利用放缩法即可证得.【详解】（）定义域为 .，令 ，得 .0增 极大值 减由上图表知：的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .的极大值为 ，无极小值.（） ，令 又 ，令 解得 ，当 x 在 内变化时， ， 变化如下表：x) + 0 由表知，当 时函数 有最大值，且最大值为 ，所以 .（）由（）知 ，又，即 .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查
17、都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用20(1)-1,0.(2) 解: 解: 解: 解.(3) .【解析】【分析】（1）直接由分段函数求得 ， 的值；（2）求出函数 的解析式并作出图象，数形结合可得 的解的个数；（3）由题意可得 的取值必须大于 1，然后根据的范围分析关于 的二次函数的值域，从而可得实数 的取值范围【详解】（1
18、） ， ， （2） ，画图 的图象如图，由图可知，当 时，方程 有 0 解；当 时，方程 有 2 解；当 时，方程 有 4 解；当 时，方程 有 3 解（3）要使对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足 ，则 的取值必须大于 1；即当 时， 的值域包含于 ；当 时， ，舍去；当 时， ， ；当 时， ，舍去；综上所述【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把 当作是一个整体，然后再确定数的大小后再把它作为一个关于 的函数求解，是难题21(1) a 的取值范围为（，1；(2)见解析.【解析】【分析】构造辅助函数， ，根据 的取值范围，求导，确定函数的单调性，根据函数的单调性求出 的最小值，即
19、可得到 的取值范围当 在 上变化时，讨论函数 和 的图象公共点的个数，即讨论 的零点的个数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得出结论由 可知当 时， ，对 恒成立，令 ，则 ，即可得证【详解】（）令 H（ x）= h（ x） f（ x）=e x1 aln（ x+1）（ x0）则若 a1，则 ， H（ x）0， H（ x）在0，+）递增，H（ x） H（0）=0，即 f（ x） h（ x）在0，+）恒成立，满足， a1，a 的取值范围（，1；若 a1， 在0，+）递增，H（ x） H（0）=1 a 且 1 a0，且 x+时， H（ x）+，则 x0 （0，+ ）使 H（ x0）=0 进而 H（
20、x）在0， x0）递减，在（ x0，+）递增，所以当 x（0， x0）时 H（ x） H（0）=0，即当 x（0， x0）时， f（ x） h（ x），不满足题意，舍去；综合，知 a 的取值范围为（，1；（）依题意得 ，则 F（ x）=e x x2+a，则 F（ x）=e x2 x0 在（，0）上恒成立，故 F（ x）=e x x2+a 在（，0）递增，所以 F（ x） F（0）=1+ a，且 x时， F（ x）；若 1+a0，即 a1，则 F（ x） F（0）=1+ a0，故 F（ x）在（，0）递减， F（ x） F（0）=0， F（ x）在（，0）无零点；若 1+a0，即 a1，则 使
21、，进而 F（ x）在 递减，在 递增，且 x时， ，F（ x）在 上有一个零点，在 无零点，故 F（ x）在（，0）有一个零点综合，当 a1 时无零点；当 a1 时有一个公共点（）证明：由（）知，当 a=1 时，e x1+ln（ x+1）对 x0 恒成立，令 ，则 即 ；由（）知，当 a=1 时， 对 x0 恒成立，令 ，则 ， ；故有 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题及零点问题，结合导数求出函数的单调性及函数的极值，然后求出结果，还考查了不等式问题，结合已证结果，赋值证明，本题有一定难度。22（1） 或 ；（2）见解析.【解析】【分析】当 ， ，由题意 ，令 ，则 ，解
22、得 ，由此能求出 或 时， 在 R 上有且只有一个零点由 ，得 ，假设存在 ，则 ，利用导数性质推导出不存在实数 使得 成立。【详解】当 时， ， ， ，由题意得 ，即 ，令 ，则 ，解得 ，当 时， ， 单调弟增，当 时， ， 单调递减，当 时， ，当 时， ，则 或 时， 在 R 上有且只有一个零点由 ，得 ，假设存在 ，则有 ，即 ，即 ， ， ，令 ，则 ，两边同时除以 ，得 ，即 ，令 ， ，令 在 上单调递增，且 ，对于 恒成立，即 对于 恒成立，在 上单调递增， ，对于 恒成立，不成立，同理， 时，也不成立不存在实数 使得 成立【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，属于难题。
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