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    北京市东城区2021—2022学年度高三上期末统一检测数学试卷(含答案)

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    北京市东城区2021—2022学年度高三上期末统一检测数学试卷(含答案)

    1、北京市东城区20212022学年度高三上期末统一检测数学试卷本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,则(A) (B) (C) (D)(2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(A) (B) (C) (D)(3)在等比数列中,若,则(A) (B) (C) (D)(4)在二项式的展开式中,含项的系数为(A) (B) (C) (D)(5)在平面直角坐标系中,角的终边过点,将的终

    2、边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合,则= (A) (B) (C) (D) (6)人类已进入大数据时代.目前,全球年数据产生量已经从TB 级别跃升到PB,EB乃至ZB级别(1 TB1024 GB,1 PB=1024 TB,1 EB=1024 PB,1 ZB=1024 EB)由国际数据公司IDC的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量(单位:ZB)的散点图.根据散点图,下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量和时间 的函数模型是(A) (B) (C) (D)(7)已知抛物线的焦点为,准线为, 为上一点,过作的垂线,垂足为.若,则(A) (B) (C) (D)(

    3、8)已知直线:,为圆:上一动点,设到直线距离的最大值为,当最大时,的值为(A) (B) (C) (D)(9)已知点,不共线, ,为实数,,则 “”是“点在内(不含边界)”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)已知是各项均为正整数的数列,且,对,与有且仅有一个成立,则的最小值为(A)18 (B)20 (C)21 (D)23第二部分(非选择题 共110分)二、填空题 5小题,每小题5分,共25分 (11)在复平面内,复数对应的点的坐标是,则 . (12)已知双曲线的两条渐近线互相垂直,则_;的离心率为_ _.(13)已知是两条不同

    4、的直线,是两个不同的平面. 写出以之间的部分位置关系为条件(除外),为结论的一个真命题: _(14)函数()的非负零点按照从小到大的顺序分别记为. 若,则_; _. (15)阿基米德螺线广泛存在于自然界中,具有重要作用.如图,在平面直角坐标系中,螺线与坐标轴依次交于点,,,并按这样的规律继续下去. 给出下列四个结论: 对于任意正整数,; 存在正整数,为整数 ; 存在正整数,三角形的面积为2022; 对于任意正整数,三角形为锐角三角形.其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)在中, ,()求证为等腰三角形;() 再

    5、从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一,求的值条件:;条件:的面积为;条件:边上的高为3.注:如果选择的条件不符合要求,第()问得0 分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分(17)(本小题14分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,为线段上的动点()若直线平面,求证:为的中点;()若平面与平面夹角的余弦值为,求的值. (18)(本小题13分)2020年9月22日,中国政府在第七十五届联合国大会上提出:“中国将提高国家自主贡献力度,采取更加有力的政策和措施,二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和. ” 做好垃圾分类和回收工

    6、作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放,助力碳中和. 某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式,随机抽取了200名学生进行调查,样本调查结果如下表:高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834 假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.()从该校学生中随机抽取一人,估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率;()从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生,以 X表示这2人中清楚垃圾分类后处理方式的人数,求X的分布列和数学期望;()从样本中随机抽取一名男生和一名女生,用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式,用“”表示该男生不

    7、清楚垃圾分类后的处理方式,用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式,用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式. 直接写出方差和的大小关系.(结论不要求证明)(19)(本小题15分)已知椭圆过点,其右焦点为.()求椭圆的方程;()设为椭圆上一动点(不在轴上),为中点,过原点作的平行线,与直线交于点.问:直线与斜率的乘积是否为定值?若为定值,求出该值;若不为定值,请说明理由.(20)(本小题15分)曲线在点处的切线交轴于点.()当时,求切线的方程;()为坐标原点 ,记的面积为.求面积以为自变量的函数解析式,写出其定义域,并求单调增区间.(21)(本小题15分)对于给定的正整数和实数,若数列满足如

    8、下两个性质: ;对任意的,,则称数列具有性质.()若数列具有性质,求数列的前10项和;()对于给定的正奇数,若数列同时具有性质和,求数列的通项式;()若数列具有性质,求证:存在自然数,对任意的正整数,不等式均成立.北京市东城区20212022学年度第一学期期末统一检测 高三数学参考答案 2022.1一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)(1)A(2)C(3)B(4)D (5)A (6)D(7)C(8)A(9)B (10)B二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11)(12)1;(13)若,则(答案不唯一)(14)2,(15)三、解答题(共6小题,共85分)(16)(共13分)解

    9、:()在中,设,其中.根据余弦定理,得.整理,得,因为,解得,所以.所以为等腰三角形. 7分()若选择条件:在中,由,得.所以.解得,即. 13分若选择条件:在中,由边上的高为3,得.由,得.解得. 13分(17)(共14分)APDCBMO解:()如图,连结BD,交AC于点O,连结MO. APDCBMOAPDCBMO因为直线平面,又平面平面,APDCBMOxyzAPDCBMOxyz APDCBMOAPDCBMO APDCBMOxyzAPDCBMOxyz平面,所以因为正方形, APDCBMO所以为的中点 所以为的中点5分()因为底面为正方形,平面,所以AB,AD,AP两两垂直.如图建立空间直角坐

    10、标系. 设,可得, ,则设,则设为平面的法向量,则 即令,则,可得又,所以为平面的法向量,解得,所以. 14分(18)(共13分)解:()依题意,参与调查的学生有200人,其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人. 在样本中,学生清楚垃圾分类后的处理方式的频率为. 用样本的频率估计总体的频率,可估计从该校学生中随机抽取一人,该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为. 3分()X的所有可能取值为0,1,2. 记事件为“从样本初中部学生中随机抽取1名学生,该学生清楚垃圾分类后处理方式”,事件为“从样本高中部学生中随机抽取1名学生,该学生清楚垃圾分类后处理方式”,则, . 由题设知,事件,相互独立,所以;

    11、; .所以X的分布列为X012P. 11分(). 2分(19)(共15分)解:()由题可知,则.故椭圆的方程为. 5分()设,则,即.由为的中点,得,所以.因为直线的斜率,且,所以直线的方程为.令,得,则.因为,所以.所以.所以直线与斜率的乘积是为定值-1. 15分(20)(共15分)解:()设函数,的定义域为. 因为,所以. 当时,即.所以切线的方程为,即. 5分 ()由()知,曲线在点处的切线方程为,即.令,得,所以.的定义域为.设, 则 . 令,解得,或. 即 ,或 . 当,或时,. ,得 ,或.当时,. ,得 .所以函数的单调增区间为, . 15分(21)(共15分)解:()依题意,且,所以数列的前10项和为5. 4分()由于数列具有性质和,其中为大于零的奇数, 令,则有,所以.综上为常数列.又因为具有性质,所以.所以. 9分()要证,只需证,即只需证,令数列,由于数列具有性质,则数列具有性质.令,设的最小值为,对,令,,,由于具有性质,所以.所以.所以成立. 15分数学参考答案 第 12 页(共 12 页)


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