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    第20章点的轨迹-初升高数学衔接课程(含答案解析)

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    第20章点的轨迹-初升高数学衔接课程(含答案解析)

    1、第第 20 章章 点的轨迹点的轨迹 【知识衔接】 初中知识回顾 初中阶段的动点问题主要为“动态几何问题”。 所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点:一是“动态”,常以图形或图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换)为重要的构图背景;二是“综合”,主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合 解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动,根据题意画一些不同运动时刻的图形,想像从头到尾的整个运动过程,对整个运动过程有一个初步的理解,理清运动过程中的各

    2、种情形;然后是做到动中取静,画出运动过程中各种情形的瞬间图形,寻找变化的本质,或将图中的相关线段代数化,转化为函数问题或方程问题解决 高中知识链接 高中动点问题主要为求曲线的轨迹方程问题。 求点轨迹方程的方法 (1)直接法:从条件中直接寻找到的关系,列出方程后化简即可 (2)代入法:所求点与某已知曲线上一点存在某种关系,则可根据条件用表示出,然后代入到所在曲线方程中,即可得到关于的方程 (3)定义法:从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形,则可先判定轨迹形状,再通过确定相关曲线的 要素,求出曲线方程常见的曲线特征及要素有: 圆:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角圆:若,则点在以为直径的

    3、圆上 确定方程的要素:圆心坐标,半径 椭圆:平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹 确定方程的要素:距离和,定点距离 双曲线:平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹 , x y,P x y00,0F x y00,Q x y, x y00,x yQ, x yABACABC, a br2a2c注:若只是到两定点的距离差为常数(小于定点距离),则为双曲线的一支 确定方程的要素:距离差的绝对值,定点距离 抛物线:平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹 确定方程的要素:焦准距:若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线),

    4、则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 【经典题型】 初中经典题型 1、如图,在ABC 中,AB=BC=8,AO=BO,点 M 是射线 CO 上的一个动点,AOC=60 ,则当ABM 为直角三角形时,AM 的长为 【答案】4 3或4 7或 4 【分析】分三种情况讨论:当 M 在 AB 下方且AMB=90 时,当 M 在 AB 上方且AMB=90 时,当ABM=90 时,分别根据含 30 直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理,进行计算求解即可 三角形,AM=AO=4; 如图 3,当ABM=90 时,BOM=AOC=60 ,BMO=30 ,MO=2BO=2 4=8,RtBOM 中,

    5、BM=22MOOB=4 3,RtABM 中,AM=22ABBM=4 7 综上所述,当ABM 为直角三角形时,AM 的长为4 3或4 7或 4故答案为:4 3或4 7或 4 2a2cp 【方法归纳】从点动的特殊情形入手,进行推理或判断,再对一般情形作出猜想或判断并证明 2、如图,在等腰ABC 中,AB=AC=4cm,B=30 ,点 P 从点 B 出发,以3cm/s 的速度沿 BC 方向运动到点 C 停止,同时点 Q 从点 B 出发,以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C 停止,若BPQ 的面积为y(cm2),运动时间为 x(s),则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是(

    6、) A B C D 【答案】D 【分析】 作 AHBC 于 H, 根据等腰三角形的性质得 BH=CH, 利用B=30 可计算出 AH=12AB=2, BH=3AH=2 3,则 BC=2BH=4 3,利用速度公式可得点 P 从 B 点运动到 C 需 4s,Q 点运动到 C 需 8s,然后分类讨论:当 0 x4 时,作 QDBC 于 D,如图 1,BQ=x,BP=3x,DQ=12BQ=12x,利用三角形面积公式得到234yx;当 4x8 时,作 QDBC 于 D,如图 2,CQ=8x,BP=4 3,DQ=12CQ=12(8x),利用三角形面积公式得38 3yx , 于是可得 0 x4 时, 函数图

    7、象为抛物线的一部分, 当 4x8 时,函数图象为线段,则易得答案为 D BDQ 中 ,DQ=12CQ=12(8 x), y=1212(8 x)4 3,即383yx , 综上 所述,23(04)438 3(48)xxyxx故选 D 【方法归纳】从点动的特殊情形入手,进行推理或判断,再对一般情形作出猜想或判断并证明 3、如图,矩形 AOCB 的顶点 A、C 分别位于 x 轴和 y 轴的正半轴上,线段 OA、OC 的长度满足方程15130 xy(OAOC),直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点,将 BCN 沿直线 BN 折叠,点 C 恰好落在直线 MN 上的点 D 处,且 t

    8、anCBD=34 (1)求点 B 的坐标; (2)求直线 BN 的解析式; (3)将直线 BN 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移, 求直线 BN 扫过矩形 AOCB 的面积 S 关于运动的时间 t(0t13)的函数关系式 【答案】(1)B(15,13);(2)183yx;(3)215 (08)33996(813)2ttSttt 【分析】(1)由非负数的性质可求得 x、y 的值,则可求得 B 点坐标;(2)过 D 作 EFOA 于点 E,交 CB 于点F,由条件可求得 D 点坐标,且可求得OMON=34,结合 DEON,利用平行线分线段成比例可求得 OM 和ON 的长,则可求得 N

    9、 点坐标,利用待定系数法可求得直线 BN 的解析式;(3)设直线 BN 平移后交 y 轴于点N,交 AB 于点 B,当点 N在 x 轴上方时,可知 S 即为 BNNB的面积,当 N在 y 轴的负半轴上时,可用 t表示出直线 BN的解析式,设交 x 轴于点 G,可用 t 表示出 G 点坐标,由 S=S四边形BNNBS OGN,可分别得到 S 与 t 的函数关系式 【解答】 (3)设直线 BN 平移后交 y 轴于点 N,交 AB 于点 B,分两种情况讨论: 当点 N在 x 轴上方,即 0t8 时,如图 2,由题意可知四边形 BNNB为平行四边形,且 NN=t,S=NNOA=15t; 【方法归纳】按

    10、线动的位置进行分类,画出各状态图形,利用这些等量关系转化为方程来解决 4、如图 1,在平面直角坐标系中, ,直线 MN 分别与 x 轴、y 轴交于点 M(6,0),N(0,2 3),等边 ABC的顶点 B 与原点 O 重合,BC 边落在 x 轴正半轴上,点 A 恰好落在线段 MN 上,将等边 ABC 从图 l 的位置沿 x 轴正方向以每秒 l 个单位长度的速度平移, 边 AB, AC 分别与线段 MN 交于点 E, F(如图 2 所示), 设 ABC平移的时间为 t(s)学-科网 (1)等边 ABC 的边长为_; (2)在运动过程中,当 t=_时,MN 垂直平分 AB; (3)若在 ABC 开

    11、始平移的同时点 P 从 ABC 的顶点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 BAAC运动当点 P 运动到 C 时即停止运动 ABC 也随之停止平移 当点 P 在线段 BA 上运动时,若 PEF 与 MNO 相似求 t 的值; 当点 P 在线段 AC 上运动时,设PEFSS,求 S 与 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值及此时点 P 的坐标 【答案】(1)3;(2)3;(3)t=1 或34或32;S=233 388tt,当 t=32时, PEF 的面积最大,最大值为9 332,此时 P(3,3 32) 【分析】(1)根据,OMN=30 和 ABC 为等边三角形,求证 OAM 为直角三

    12、角形,然后即可得出答案 (2)易知当点 C 与 M 重合时直线 MN 平分线段 AB,此时 OB=3,由此即可解决问题; (3)如图 1 中, 由题意 BP=2t, BM=6t, 由 PEF 与 MNO 相似, 可得PEEF=2 36或EFPE=2 36, 即53232tt=33或32532tt =33,解方程即可解决问题; 当 P 点在 EF 上方时,过 P 作 PHMN 于 H,如图 2 中,构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题; BAC=60 ,EF=3AE=32t,当点 P 在 EF 下方时,PE=BEBP=352t,由0235302ttt ,解得 0t65,PEF 与 MNO

    13、相似,PEEF=2 36或EFPE=2 36,53232tt=33或32532tt=33,解得 t=1或 t=34 当点 P 在 EF 上方时, PE=BEBP=52t-3, PEF 与 MNO 相似, PEEF=2 36或EFPE=2 36, 53232tt=33或32532tt =33,解得 t=32或 30t32,且52t-30,即65t32,t=32 综上所述,t=1 或34或32 当 P 点在 EF 上方时, 过 P 作 PHMN 于 H, 如图 2 中, 由题意, EF=32t, FC=MC=3t, PFH=30 ,PF=PCCF=(62t)(3t)=3t,PH=12PF=32t,

    14、S=12EFPH=1232t 【方法归纳】根据题意画一些不同运动时刻的图形,想象从头到尾的整个运动过程,对整个运动过程有一个初步的理解,理清运动过程中的各种情形;然后是做到动中取静,画出运动过程中各种情形的瞬间图形,寻找变化的本质,或将图中的相关线段代数化,转化为函数问题或方程问题解决 高中经典题型 例 1如图,已知线段上有一动点(异于),线段,且满足(是大于且不等于 的常数),则点的运动轨迹为( ) A 圆的一部分 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 【答案】B ABD DA B、CDAB2CDAD BD01C 例2 设点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形

    15、C的距离 已知点A(1, 0), 圆C: x2+2x+y2=0,那么平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹是( ) A 双曲线的一支 B 椭圆 C 抛物线 D 射线 【答案】D 【解析】圆的标准方程为, 如图所示,设圆心坐标为,满足题意的点为点,由题意有: ,则, 设,结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线 本题选择 D 选项 例 3动点在曲线上移动,点和定点连线的中点为,则点的轨迹方程为( ) A B C D 【答案】B 2211xyAP11PAPA 2PAPAAA2,0BAB例 4点是圆上的动点,定点,线段的垂直平分线与直线的交点为,则点的轨迹方程是_ 【答案】 【解

    16、析】由垂直平分线的性质有,所以, 又,根据双曲线的定义,点 Q 的轨迹是 C,F 为焦点,以 4 为实轴长的双曲线, , , 所以点 Q 的轨迹方程是 例 5 已知直线 过抛物线: 的焦点, 与交于, 两点, 过点, 分别作的切线,且交于点,则点的轨迹方程为_ 【答案】 ,故原抛物线 C 相应的点 P 的轨迹方程为,故答案为 例 6已知抛物线:的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点 (I)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 ARFQ; (II)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程 【答

    17、案】(I)详见解析;(II) 【解析】由题设设,则,且 记过两点的直线为,则的方程为 (I)由于在线段上,故 记的斜率为,的斜率为,则 lC24yxlCABABCPP1x1y x1 x1 当与轴不垂直时,由可得而,所以 当与轴垂直时,与重合所以,所求轨迹方程为 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 如图 1,抛物线213yxbxc经过 A(2 3,0)、B(0,2)两点,点 C 在 y 轴上, ABC 为等边三角形,点 D 从点 A 出发,沿 AB 方向以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动,设运动时间为 t 秒(t0),过点 D 作 DEAC 于点 E,以 DE 为边作矩形 D

    18、EGF,使点 F 在 x 轴上,点 G 在 AC 或 AC 的延长线上学科/-网 (1)求抛物线的解析式; (2)将矩形 DEGF 沿 GF 所在直线翻折,得矩形 DEGF,当点 D 的对称点 D落在抛物线上时,求此时点 D的坐标; (3)如图 2,在 x 轴上有一点 M(2 3,0),连接 BM、CM,在点 D 的运动过程中,设矩形 DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为 S,直接写出 S 与 t 之间的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围 【答案】(1)213233yxx;(2)D(4 33,109);(3)2242 3 (0)35 3412 38 3(2)23ttSttt 【分

    19、析】(1)把 A、B 的坐标代入抛物线的解析式求解即可; (2)由等边三角形的性质可知BAC=60 ,依据特殊锐角三角函数值可得到 AE=t,DE=3t,AF=2 3t,然后再证明 AD=DF=2t,过点 D作 DHx 轴与点 H,接下来,再求得点 D的坐标,最后将点 D的坐标代入抛物线的解析式求解即可; (3)当 0t43时,S=EDDF;当43t2 时,S=矩形 DEGF 的面积 CGN 的面积 DFH=AFD=30 ,DH=12DF=t,FH=3DH=3t,AH=AF+FH=3 3t,OH=AHAO=3 32 3t ,D(3 32 3t ,t) 当 0t43时,S=EDDF=22 3t

    20、当43t2 时,如图 3 所示: CG=AGAC,CG=3t4,GN=3 34 3t ,S=EDDF12CGGN=22 3t12(3t4)3(3t4)=25 312 38 32tt 综上所述,S 与 t 的函数关系式为2242 3 (0)35 3412 38 3(2)23ttSttt 2、如图,已知抛物线2yxbxc的图象经过点A(1,0),B(-3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD (1)求抛物线的解析式 (2)若点P在直线BD上,当PE=PC时,求点P的坐标 (3)在(2)的条件下,作PFx轴于F,点M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,G为抛物线

    21、上一动点,当以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形时,求点M的坐标 【答案】 (1)223yxx; (2)P(2, 2); (3)点 M 的坐标为(1212 , 0), (1212 , 0), (3132 ,0),(3132 ,0) 【分析】(1)利用待定系数法即可得出结论; (2)先确定出点 E 的坐标,利用待定系数法得出直线 BD 的解析式,利用 PC=PE 建立方程即可求出 a 即可得出结论; (3)设出点 M 的坐标,进而得出点 G,N 的坐标,利用 FM=MG 建立方程求解即可得出结论 (1,0),设直线 BD 的解析式为 y=mx+n,304mnmn ,26mn ,直线 BD

    22、 的解析式为 y=2x6,设点 P(a,2a6)C(0,3),E(1,0),根据勾股定理得,PE2=(a+1)2+(2a6)2,PC2=a2+(2a6+3)2PC=PE,(a+1)2+(2a6)2=a2+(2a6+3)2,a=2,y=2 (2)6=2,P(2,2); (3)如图,作 PFx 轴于 F,F(2,0)设 M(d,0),G(d,d2+2d3),N(2,d2+2d3)以点 F,N, G, M 四点为顶点的四边形为正方形, 必有 FM=MG, |d+2|=|d2+2d3|, d=1212 或 d=3132 ,点 M 的坐标为(1212 ,0),(1212 ,0),(3132 ,0),(3

    23、132 ,0) 3、如图,直线 l 的解析式为 y=x+4,它与 x 轴和 y 轴分别相交于 A,B 两点平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发,沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动它与 x 轴和 y 轴分别相交于 C,D 两点,运动时间为 t 秒(0t4), 以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE(E, O 两点分别在 CD 两侧) 若 CDE 和 OAB的重合部分的面积为 S,则 S 与 t 之间的函数关系的图象大致是( ) A B C D 【答案】C 【分析】分别求出 0t2 和 2t4 时,S 与 t 的函数关系式即可爬判断 4、将一个直角三角形纸片 ABO 放置

    24、在平面直角坐标系中,点 A(3,0),点 B(0,1),点 O(0,0)P 是边AB 上的一点(点 P 不与点 A,B 重合),沿着 OP 折叠该纸片,得点 A 的对应点 A (1)如图,当点 A在第一象限,且满足 ABOB 时,求点 A的坐标; (2)如图,当 P 为 AB 中点时,求 AB 的长; (3)当BPA=30时,求点 P 的坐标(直接写出结果即可) 【答案】(1)(2,1);(2)1;(3)点 P 的坐标为(332,332)或(2 332,32) 【分析】(1)由点 A 和 B 的坐标得出 OA=3,OB=1,由折叠的性质得:OA=OA=3,由勾股定理求出 AB的值,即可得出点

    25、A的坐标为(2,1);(2)由勾股定理求出 AB=2,证出 OB=OP=BP,得出 BOP 是等边三角形,得出BOP=BPO=60 ,求出OPA=120 ,由折叠的性质得:OPA=OPA=120 ,PA=PA=1,证出 OBPA,得出四边形 OPAB 是平行四边形,即可得出 AB=OP=1;(3)分两种情况:点 A在 y 轴上,由 SSS 证明 OPAOPA,得出AOP=AOP=12AOB=45 ,得出点 P 在AOB 的平分线上,由待定系数法求出直线 AB 的解析式,即可得出点 P 的坐标;由折叠的性质得:A=A=30 ,OA=OA,作出四边形 OAPA是菱形, 得出 PA=OA=3, 作

    26、PMOA 于 M, 由直角三角形的性质求出 PM 的长, 把32y 代入313yx 求出点 P 的纵坐标即可 【解答】(1)点 A(3,0),点 B(0,1),OA=3,OB=1,由折叠的性质得:OA=OA=3,ABOB,ABO=90 ,在 Rt AOB 中,AB=22OAOB=2,点 A的坐标为(2,1); 如图所示: 点 A在 y 轴上, 在 OPA和 OPA 中, OA=OA, PA=PA, OP=OP, OPAOPA(SSS),AOP=AOP=12AOB=45 , 点P在AOB的平分线上, 设直线AB的解析式为y=kx+b, 把点A(3,0),点 B(0,1)代入得:301kbb,解得

    27、:331kb ,直线 AB 的解析式为313yx ,P(x,y),313xx ,解得:x=332,P(332,332); 如图所示: 由折叠的性质得: A=A=30 , OA=OA, BPA=30 , A=A=BPA, OAAP,PAOA,四边形 OAPA是菱形,PA=OA=3,作 PMOA 于 M,如图所示:学/科+-网 A=30 ,PM=12PA=32,把 y=32代入313yx 得:32 =313x,解得:x=2 332,P(2 332,32); 综上所述:当BPA=30时,点 P 的坐标为(332,332)或(2 332,32) 再战高中题 能力提升 B 组组 1到两坐标轴的距离相等的

    28、动点的轨迹方程是( ) A B C D 【答案】D 2 斜率为的直线过抛物线焦点, 交抛物线于, 两点, 点为中点, 作, 垂足为, 则下列结论中不正确的是( ) A为定值 B为定值 C点的轨迹为圆的一部分 D点的轨迹是圆的一部分 【答案】C 【解析】由题意知抛物线的焦点为,故直线的方程为, 由消去 y 整理得, 设,则, 选项 A 中, ,为定值故 A 正确 选项 B 中,为定值,故 B 正确 选项 C 中,由消去 k 得,故点的轨迹不是圆的一部分,所以 C 不正确 选项 D中,由于,直线过定点,所以点 Q 在以为直径的圆上,故 D 正确 综上选 C 3点 P(4,2)与圆 x2y24 上任

    29、一点连线的中点的轨迹方程是( ) A (x2)2(y1)21 B (x2)2(y1)24 C (x4)2(y2)24 D (x2)2(y1)21 【答案】D 4设为椭圆上任意一点, , ,延长至点,使得,则点的轨迹方程为( ) A B C D 【答案】B 【解析】 为椭圆上任意一点,且 A,B 为焦点, , 又,所以点的轨迹方程为 5 ABC 的顶点 A(5,0),B(5,0), ABC 的周长为 22,则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) A B C D 【答案】D 6已知坐标平面上两个定点, ,动点满足: (1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (2)记(1)中的轨迹为,过点的直线被所截得的线段的长为,求直线的方程 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】分析:(1)直接利用,列出方程即可求出点 M 的轨迹方程,然后说明轨迹的形状; (2)设出直线方程,利用圆心到直线的距离,半径与半弦长满足的勾股定理,求出直线 l 的方程 详解:(1) 由得 化简得: ,轨迹为圆 (2)当直线的斜率不存在时,直线 符合题意; 当直线的斜率存在时,设的方程为: 由圆心到直线的距离等于得 此时直线的方程为:


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