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    2022年中考数学复习试题:图形的旋转(含答案解析)

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    2022年中考数学复习试题:图形的旋转(含答案解析)

    2022 年中考数学复习新题:年中考数学复习新题:图形的旋转图形的旋转 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1 (2021垦利区一模)随着人们健康生活理念的提高,环保意识也不断增强,以下是回收、绿色包装、节 水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( ) ABCD 2 (2021河北模拟)如图是由边长均相等的两个正方形和六个等边三角形组成的图案,现有两个正方形和 一个等边三角形被涂黑,若再有 n 个等边三角形被涂黑,使所有涂黑的新图案既是中心对称图形又是轴 对称图形,则 n 的值是( ) A4 或 5 B3 或 5 C2 或 3 D1 或 3 3 (2021通城县模拟)在平面直角坐标系中,将点 P(1,2)向右平移 3 个单位长度得到点 P1,则点 P1关于原点的对称点 P2的坐标为( ) A (2,2) B (2,2) C (2,2) D (3,2) 4(2021春聊城期末) 如图, 在ABC中, BAC138, 将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC 若 点 B刚好落在 BC 边上,且 ABCB,则C 的度数为( ) A13 B14 C15 D16 5 (2021 春万山区期末)如图所示,将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到AOB,若AOB 15,那么AOB的度数是( ) A15 B30 C45 D60 6 (2021福建模拟)已知ABC 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90,点 B 的对应点为 B,连接 BB、CB、AB 与 CB交于点 D则经过 C、A、B三点的圆的圆心在以下哪个区域 ( ) A B C D以上都错 7 (2021碑林区校级开学)如图,直线 AB 与坐标轴交于 A、B 两点,OA3,OB1若将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 45后交 x 轴于点 C,则点 C 到直线 AB 的距离是( ) A210 B4 C3 4 10 D4 5 10 8 (2021 春南山区期中)如图,四边形 ABCD 中,DAB30,连接 AC,将ABC 绕点 B 逆时针旋转 60,点 C 的对应点与点 D 重合,得到EBD,若 AB5,AD4,则线段 AC 的长度为( ) A5 B6 C26 D41 9 (2021岑溪市模拟)如图,已知点 C 在以 AB 为直径,O 为圆心的半圆上,AB4,以 BC 为边作等边 BCD,则 AD 的最大值是( ) A23 B4 + 23 C2 + 23 D43 10 (2021九龙坡区校级开学)如图,已知平面直角坐标系中的ABCD,点 A(1,4) ,C(3,0) ,坐标系 内存在直线 l:ykx+b(k0)将ABCD 分成面积相等的两部分,且这条直线与两坐标轴围成的三角形 的面积为 1,则 k 的值为( ) A4 或1 4 B1 3或 3 C2 或1 2 D4 或1 2 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 11 (2021青白江区模拟)如图,在 RtABC 中,BAC90,分别以 A,B 为旋转中心,把边 AC,BA 逆时针旋转 60, 得到线段 AE, BD, 连接 BE, CD 相交于点 P, 已知 AB3, AC23, APB120, 则 PA+PB+PC 的大小为 12 (2021洪洞县三模)如图所示,在 RtABC 中,ABC90,AB8,BC6,将ABC 绕点 C 逆 时针旋转 90得到ABC,连接 AA,BB,并延长 BB交 AA于点 D,则 BD 的长为 13 (2021宣州区校级开学)四边形 ABCD 是正方形,点 E 是对角线 AC 上一点,EFDC,垂足为 F (1)如图,连接 BE、DE,若 EF4,BE5,求 AB (2) 如图, 将 RtCEF 绕点 C 顺时针旋转 45, 顶点 E 恰好落在 BC 上, 连接 AE, 取 AE 边中点 G, 连接 GF、DF,则 = 14 (2021沙坪坝区校级开学)如图 1,一副直角三角板ABC 和DEF,BACEDF90,B 45,F30,点 B、D、C、F 在同一直线上,点 A 在 DE 上如图 2,ABC 固定不动,将EDF 绕点 D 逆时针旋转 (0135)得EDF,当直线 EF与直线 AC、BC 所围成的三角形为 等腰三角形时, 的大小为 15 (2021芜湖模拟)如图 1,含 30和 45角的两块直角三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起,边 BC 与 EF 重合,BCEF12cm (1)阴影部分的周长为 cm(结果保留根号) ; (2)如图 2,点 P 为边 EF(BC)的中点,现将直角三角板 ABC 绕点 P 按逆时针方向旋转角度 ,设边 AB 与 EF 相 交 于 点 Q , 则 在 0 90 的 变 化 过 程 中 , 点 Q 移 动 的 路 径 长 度 为 cm(结果保留根号) 三解答题(共三解答题(共 5 小题)小题) 16 (2021太原二模)综合与实践 问题背景 数学小组在一次课外学习交流时,组内一同学提出如下问题:在ABC 中,ACB90,D 为 BC 边 上一点, 但不与点 B, 点 C 重合, 过点 D 作 DEAB 于点 E 连接 AD, M 为 AD 的中点, 连接 EM, CM 观察发现 (1)如图 1,EM 与 CM 之间的数量关系是 ; 思考分享 (2)如图 2,将BDE 绕点 B 顺时针旋转,其他条件不变,则(1)中的结论还成立,请证明 小明是这样思考的:延长 DE 至点 D,使得 EDDE,连接 AD运用三角形中位线定理,按照他 的思路或采用其他方法证明; 探究计算 (3)若ABC30,AC4,DE2,在BDE 绕点 B 旋转一周的过程中,当直线 DE 经过点 A 时, 线段 AD 的长为 17 (2021碑林区校级开学)在菱形 ABCD 中,BAD120,E 是对角线 BD 上的一点,连接 AE (1)当 E 在 AB 的中垂线上时,把射线 EA 绕点 E 顺时针旋转 90后交 CD 于 F,连接 BF如图, 若 AB4,求 EF 的长; (2)在(1)的条件下,连接 BF,把BEF 绕点 B 顺时针旋转得到BHK,如图,连接 CH,点 N 为 CH 的中点,连接 AN,求 AN 的最大值 18 (2021太原一模)综合与探究 问题情境 在 RtABC 中,BAC90,ABAC,点 D 是射线 BC 上一动点,连接 AD,将线段 AD 绕点 A 逆时 针旋转 90至 AE,连接 DE,CE 探究发现: (1)如图 1,BDCE,BDCE,请证明; 探究猜想 (2)如图 2,当 BD2DC 时,猜想 AD 与 BC 之间的数量关系,并说明理由; 探究拓广 (3)当点 D 在 BC 的延长线上时,探究并直接写出线段 BD,DC,AD 之间的数量关系 19 (2021碑林区校级开学)如图 1,在ABC 中,A120,ABAC,点 D、E 分别在边 AB、AC 上, ADAE,连接 BE,点 M、N、P 分别为 DE、BE、BC 的中点,连接 NM、NP (1)图 1 中,线段 NM、NP 的数量关系是 ,MNP 的度数为 ; (2)将ADE 绕点 A 顺时针旋转到如图 2 所示的位置,连接 MP,你认为NMP 是什么特殊三角形, 请写出你的猜想并证明你的结论; (3)把ADE 绕点 A 在平面内旋转,若 AD3,AB5,请写出MNP 面积的最大值 20 (2021沙坪坝区校级开学)如图,ABC 和MBN 均为等腰直角三角形,ABCMBN90,AB BC,MBNB现将MBN 绕点 B 旋转 (1)如图 1,若 A、M、N 三点共线,AM= 10,求点 C 到直线 BN 的距离; (2)如图 2,连接 AN、CM,点 H 为线段 CM 的中点,连接 BH求证:ANBH; (3)如图 3,若点 P 在线段 AC 上,且 AB82,AP14,在ABP 内部有一点 O,请直接写出 1 2OB+OA+ 5 2 OP 的最小值 2022 年中考数学复习新题速递之图形的旋转(年中考数学复习新题速递之图形的旋转(中考新题汇编中考新题汇编) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1 (2021垦利区一模)随着人们健康生活理念的提高,环保意识也不断增强,以下是回收、绿色包装、节 水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( ) A B C D 【解答】解:选项 A、C、D 不能找到这样的一个点,使这些图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重 合,所以它们不是中心对称图形; 选项 B 能找到这样的一个点,使这个图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合,所以它是中心对称 图形; 故选:B 2 (2021河北模拟)如图是由边长均相等的两个正方形和六个等边三角形组成的图案,现有两个正方形和 一个等边三角形被涂黑,若再有 n 个等边三角形被涂黑,使所有涂黑的新图案既是中心对称图形又是轴 对称图形,则 n 的值是( ) A4 或 5 B3 或 5 C2 或 3 D1 或 3 【解答】解:如图所示,再涂黑 1、2、3 号正三角形,或涂黑 1、2、3、4、5 号正三角形都可使它们和 原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形,又是中心对称图形, 故选:B 3 (2021通城县模拟)在平面直角坐标系中,将点 P(1,2)向右平移 3 个单位长度得到点 P1,则点 P1关于原点的对称点 P2的坐标为( ) A (2,2) B (2,2) C (2,2) D (3,2) 【解答】解:将点 P(1,2)向右平移 3 个单位长度得到点 P1, 点 P1的坐标为: (2,2) , 点 P1关于原点的对称点 P2的坐标为(2,2) 故选:B 4(2021春聊城期末) 如图, 在ABC中, BAC138, 将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC 若 点 B刚好落在 BC 边上,且 ABCB,则C 的度数为( ) A13 B14 C15 D16 【解答】解:ABCB, CCAB, ABBC+CAB2C, 将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC, CC,ABAB, BABB2C, B+C+CAB180, 3C180138, C14, 故选:B 5 (2021 春万山区期末)如图所示,将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到AOB,若AOB 15,那么AOB的度数是( ) A15 B30 C45 D60 【解答】解:将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到AOB, AOA45,AOBAOB15, AOBAOAAOB451530, 故选:B 6 (2021福建模拟)已知ABC 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90,点 B 的对应点为 B,连接 BB、CB、AB 与 CB交于点 D则经过 C、A、B三点的圆的圆心在以下哪个区域 ( ) A B C D以上都错 【解答】解:如图,分别画出 AC,AB的垂直平分线,交点为 O, 根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等, OAOCOB, 则点 O 即为经过 C、A、B三点的圆的圆心, 故选:D 7 (2021碑林区校级开学)如图,直线 AB 与坐标轴交于 A、B 两点,OA3,OB1若将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 45后交 x 轴于点 C,则点 C 到直线 AB 的距离是( ) A210 B4 C3 4 10 D4 5 10 【解答】解:过点 B 作 BDAB,交 AC 于点 D,过点 D 作 DEx 轴于 E, BAC45,故ABD 为等腰直角三角形,则 ABBD, ABC+BAO90,ABC+DBE90, BAODBE, 在AOB 与BED 中, = = = 90 = , AOBBED(AAS) , OABE3,OBDE1, OE312, 点 D 的坐标为(2,1) , 设直线 AC 的表达式为 ykx+3, 把点 D 的坐标代入得 2k+31,解得 k2, 直线 AC 的表达式为 y2x+3, 令 y0,则2x+30,解得 x= 3 2, C(3 2,0) , BC= 5 2, AB= 2+ 2= 32+ 12= 10, 设 C 点到直线 AB 的距离为 h, 1 2ABh= 1 2BCOA, h= = 5 23 10 = 310 4 , 故选:C 8 (2021 春南山区期中)如图,四边形 ABCD 中,DAB30,连接 AC,将ABC 绕点 B 逆时针旋转 60,点 C 的对应点与点 D 重合,得到EBD,若 AB5,AD4,则线段 AC 的长度为( ) A5 B6 C26 D41 【解答】解:EBD 是由ABC 旋转得到, EBDABC, BABE,ABE60,ACDE, ABE 是等边三角形, EAB60, BAD30, EAD90, AEAB5,AD4, DE= 2+ 2= 52+ 42= 41, ACDE= 41, 故选:D 9 (2021岑溪市模拟)如图,已知点 C 在以 AB 为直径,O 为圆心的半圆上,AB4,以 BC 为边作等边 BCD,则 AD 的最大值是( ) A23 B4 + 23 C2 + 23 D43 【解答】解:如图,将ABD 绕点 B 逆时针旋转 60得CBE, ADCE,ABBE,ABE60, ABE 是等边三角形, 连接 EO 并延长交半圆于点 C,此时 EC 最大, O 为 AB 的中点, EOAB, 在 RtAOE 中,EO= 2 2= 42 22= 23, EC 的最大值为:EO+OC23 +2, AD 的最大值为 23 +2, 故选:C 10 (2021九龙坡区校级开学)如图,已知平面直角坐标系中的ABCD,点 A(1,4) ,C(3,0) ,坐标系 内存在直线 l:ykx+b(k0)将ABCD 分成面积相等的两部分,且这条直线与两坐标轴围成的三角形 的面积为 1,则 k 的值为( ) A4 或1 4 B1 3或 3 C2 或1 2 D4 或1 2 【解答】解:直线 l:ykx+b(k0) , 令 x0,yb,令 y0,x= , 与两坐标轴围成的三角形的面积为 1, 所以1 2 |b| |1, 化简得,b22|k|, 因为点 A(1,4) ,C(3,0)的中点 O(2,2) , 直线 l:ykx+b(k0)将ABCD 分成面积相等的两部分, 所以直线 l:ykx+b 过点 O(2,2) , 所以 2k+b2, 所以 b22k, b22|k|, (22k)22|k|, (22k)22k, 解得 k2 或 k= 1 2, 或(22k)22k, 解得此方程无解, 则 k 的值为 2 或1 2, 故选:C 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 11 (2021青白江区模拟)如图,在 RtABC 中,BAC90,分别以 A,B 为旋转中心,把边 AC,BA 逆时针旋转 60, 得到线段 AE, BD, 连接 BE, CD 相交于点 P, 已知 AB3, AC23, APB120, 则 PA+PB+PC 的大小为 39 【解答】解:连接 AD,CE, 以 A,B 为旋转中心,把边 AC,BA 逆时针旋转 60,得到线段 AE,BD, ADAB,ACAE,ABDCAE60, ABD 和ACE 为等边三角形, BADCAE60, DACBAE, 在ADC 和ABE 中, = = = , ADCABE(SAS) , AEBACD, 在 PE 上截取 PHPA,连接 HA,则PAH 为等边三角形, HAPA,PAH60, PACHAE, 在CPA 和EHA 中, = = = , CPAEHA(AAS) , PCEH, PB+PC+PAPB+EH+PHBE 过点 E 作 EGBA,交 BA 的延长线于点 G, BAC90,CAE60, EAG30, EG= 1 2AE= 3, AG3, BG6, BE= 2+ 2= 39 PA+PB+PC= 39 故答案为39 12 (2021洪洞县三模)如图所示,在 RtABC 中,ABC90,AB8,BC6,将ABC 绕点 C 逆 时针旋转 90得到ABC,连接 AA,BB,并延长 BB交 AA于点 D,则 BD 的长为 2 【解答】解:如图,由ABC90,以 B 为坐标原点,建立平面直角坐标系, AB8,BC6, A(0,8)B(0,0) ,C(6,0) , 由旋转可知:ABAB8,BCBC6,ABCABC90, A(14,6) ,B(6,6) , 设直线 AA的解析式为:yk1x+b1, 1 = 8 141+ 1= 6, 解得1 = 1 7 1= 8 , 直线 AA的解析式为:y= 1 7x+8; 设直线 BB的解析式为:yk2x, 6k26, 解得 k21, 直线 BB的解析式为:yx, = 1 7 + 8 = , 解得 = 7 = 7 , D(7,7) , BD= 72+ 72=72,BB= 62+ 62=62, BDBDBB= 2 故答案为:2 13 (2021宣州区校级开学)四边形 ABCD 是正方形,点 E 是对角线 AC 上一点,EFDC,垂足为 F (1)如图,连接 BE、DE,若 EF4,BE5,求 AB 7 (2) 如图, 将 RtCEF 绕点 C 顺时针旋转 45, 顶点 E 恰好落在 BC 上, 连接 AE, 取 AE 边中点 G, 连接 GF、DF,则 = 2 【解答】解: (1)如图所示:过点 E 作 EGBC 于 E 四边形 ABCD 为正方形, AC 平分DCB EFDC,EGBC, EFGE 又EFCFCGEGC90, 四边形 EFCG 为正方形, CGEGEF4 在 RtBEG 中,依据勾股定理得:BG= 2 2= 52 42=3, ABBC4+37; (2)如图,连接 BG、BF, AC 是正方形 ABCD 的对角线, ABAD,DACBAC, AFAF, AFDAFB(SAS) , DFBF, 四边形 ABCD 是正方形, ABC90, 将 RtCEF 绕点 C 顺时针旋转 45, AFE90, ABCAFE90, 点 G 是 AE 中点, AGFG,AGBG, GAFAFG,BAGABG, EGFGAF+AFG2GAF, BGEBAG+ABG2BAG, BGF2BAC, BAC45, BGF2BAC90, 在 RtABE 中,BG= 1 2AE, 在 RtAFE 中,FG= 1 2AE, BGFG, BGF90, BGF 为等腰直角三角形, BF= 2FG, DFBF, DF= 2FG, =2, 故答案为:2 14 (2021沙坪坝区校级开学)如图 1,一副直角三角板ABC 和DEF,BACEDF90,B 45,F30,点 B、D、C、F 在同一直线上,点 A 在 DE 上如图 2,ABC 固定不动,将EDF 绕点 D 逆时针旋转 (0135)得EDF,当直线 EF与直线 AC、BC 所围成的三角形为 等腰三角形时, 的大小为 7.5或 75或 97.5或 120 【解答】解:设直线 EF与直线 AC、BC 分别交于点 P、Q, CPQ 为等腰三角形, PCQ 为顶角或CPQ 为顶角或CQP 为顶角, 当PCQ 为顶角时,CPQCQP,如图 1, BACEDF90,B45,F30, EDF90,ACB45,EFD30, CPQ+CQPACB45, CQP22.5, EFDCQP+FDQ, FDQEFDCQP3022.57.5, 7.5; 如图 2,CPQ 为等腰三角形中,PCQ 为顶角, CPQCQP67.5, EDF90,F30, E60, EDQCQPE67.5607.5, EDE90+7.597.5; 当CPQ 为顶角时,CQPPCQ45, CPQ90,如图 3, DEFCQP+QDE, QDEDEFCQP604515, 901575; 如图 4,当CQP 为顶角时,CPQPCQ45, CQP90, QDF90DFE60, QDEEDFQDF30, EDEEDQ+QDE90+30120; 综上所述, 的大小为 7.5或 75或 97.5或 120 故答案为:7.5或 75或 97.5或 120 15 (2021芜湖模拟)如图 1,含 30和 45角的两块直角三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起,边 BC 与 EF 重合,BCEF12cm (1)阴影部分的周长为 (6 + 63 + 122) cm(结果保留根号) ; (2)如图 2,点 P 为边 EF(BC)的中点,现将直角三角板 ABC 绕点 P 按逆时针方向旋转角度 ,设边 AB 与 EF 相交于点 Q,则在 090的变化过程中,点 Q 移动的路径长度为 23 cm(结果保 留根号) 【解答】解: (1)在 RtABC 中,ABC30,BC12cm, AC6cm,ABtan60AC63(cm) , 在 RtDEF 中,DEF45,EF12cm, DEDFsin45EF= 2 2 1262(cm) , 阴影部分的周长为:BD+AB+DF+AC62 +63 +62 +66+63 +122(cm) ; 故答案为: (6+63 +122) ; (2)当 060时,点 Q 从 E 开始向 F 运动,且当 60时,此时 ABEF, 在 RtBQP 中,B30,BP6cm, PQ= 1 2BP3cm, EQ3cm, 当 6090时,点 Q 向点 E 作回头运动,当 90时,点 Q 停止运动, 在 RtBQP 中,B30,BP6cm, PQtan30BP23(cm) , EQEPPQ623(cm) , 点 Q 返回运动的路径长为 3(623)23 3(cm) , 点 Q 的运动路径为 3+23 323(cm) , 故答案为:23 三解答题(共三解答题(共 5 小题)小题) 16 (2021太原二模)综合与实践 问题背景 数学小组在一次课外学习交流时,组内一同学提出如下问题:在ABC 中,ACB90,D 为 BC 边 上一点, 但不与点 B, 点 C 重合, 过点 D 作 DEAB 于点 E 连接 AD, M 为 AD 的中点, 连接 EM, CM 观察发现 (1)如图 1,EM 与 CM 之间的数量关系是 EMCM ; 思考分享 (2)如图 2,将BDE 绕点 B 顺时针旋转,其他条件不变,则(1)中的结论还成立,请证明 小明是这样思考的:延长 DE 至点 D,使得 EDDE,连接 AD运用三角形中位线定理,按照他 的思路或采用其他方法证明; 探究计算 (3)若ABC30,AC4,DE2,在BDE 绕点 B 旋转一周的过程中,当直线 DE 经过点 A 时, 线段 AD 的长为 2132 或 213 +2 【解答】解: (1)在ABC 中,ACB90,M 为 AD 的中点, CMMD, DEAB, AED 是直角三角形, EMMD, CMEM, 故答案为 CMEM; (2)成立,理由如下: 如图 1,延长 DE 到点 D,使得 DEDE,延长 AC 到点 A,使得 ACAC,分别连接 DA,DB,AB、 AD, DEBE, BE 为 DD的垂直平分线, BDBD, DBD2DBE, 同理可得,BABA,ABA2ABC, DBEABC, DBDABA DBD+ABDABA+ABD, DBADBA, 在DBA 和DBA 中, = = = , DBADBA(SAS) , DADA, DEDE,AMDM,ACAC, ME、MC 分别是DDA 和ADA的中位线, EM= 1 2DA,CM= 1 2DA, EMCM; (3)如图 2,当旋转角小于 180时, ABC30,AC4,ED2, AB8,BC43,BD4,BE23, BEED, ABE 是直角三角形, AE2AB2BE2,即 AE2641252, AE213, AD213 +2; 如图 3,当旋转角大于 180时, BEED, ABE 为直角三角形, AE2AB2BE2,即 AE2641252, AE213, AD213 2; 综上所述,AD 的长为 213 2 或 213 +2, 故答案为 213 2 或 213 +2 17 (2021碑林区校级开学)在菱形 ABCD 中,BAD120,E 是对角线 BD 上的一点,连接 AE (1)当 E 在 AB 的中垂线上时,把射线 EA 绕点 E 顺时针旋转 90后交 CD 于 F,连接 BF如图, 若 AB4,求 EF 的长; (2)在(1)的条件下,连接 BF,把BEF 绕点 B 顺时针旋转得到BHK,如图,连接 CH,点 N 为 CH 的中点,连接 AN,求 AN 的最大值 【解答】解: (1)如图,连接 AC 交 BD 于 O, 菱形 ABCD 中,BAD120,AB4, AOB90,OBOD,ADBCAB4,BAODAO60, ABOADB30, 在 RtABO 中,OBABsinBAO4sin6023, BD2OB43, E 在 AB 的中垂线上, EAEB, BAEABO30, DAEBADBAE90, DE= = 4 30 = 83 3 , 射线 EA 绕点 E 顺时针旋转 90后交 CD 于 F, AED+DEF90, AED90ADE60, DEF30, DBCABD30, DEFDBC, EFBC, = ,即 4 = 83 3 43 , EF= 8 3; (2)如图,过点 A 作 AGBC 于 G,连接 AC,GN, 四边形 ABCD 是菱形,BAD120, ABC60,ABBC, ABC 是等边三角形, AGBC, BGCG2, AG= 2 2= 42 22=23, 由旋转得:BHBEBDDE43 83 3 = 43 3 , 点 G,N 分别是 BC,CH 的中点, GN= 1 2BH= 1 2 43 3 = 23 3 , ANAG+GN23 + 23 3 = 83 3 ; AN 的最大值为83 3 18 (2021太原一模)综合与探究 问题情境 在 RtABC 中,BAC90,ABAC,点 D 是射线 BC 上一动点,连接 AD,将线段 AD 绕点 A 逆时 针旋转 90至 AE,连接 DE,CE 探究发现: (1)如图 1,BDCE,BDCE,请证明; 探究猜想 (2)如图 2,当 BD2DC 时,猜想 AD 与 BC 之间的数量关系,并说明理由; 探究拓广 (3)当点 D 在 BC 的延长线上时,探究并直接写出线段 BD,DC,AD 之间的数量关系 【解答】 (1)证明:在 RtABC 中,ABAC, BACB45, 由旋转知,ADAE,DAE90, BAC90, BACDAE, BADCAE, ABAC, BADCAE(SAS) , BDCE,BACE45, BCEACB+ACE90, BCE90, BDCE; (2) = 10 6 ,理由: 设 DCx, BD2DC, DC2x, BCBD+DC3x, x= 1 3BC, 由(1)知,CEBD2x,BCE90, 在 RtDCE 中,根据勾股定理得,DE= 2+ 2= 2+ (2)2= 5x 在 RtADE 中,ADAE, AD= 2 2 DE= 10 2 x= 10 2 1 3BC= 10 6 BC, = 10 6 ; (3)2AD2DC2+BD2.理由:如备用图, 在 RtABC 中,ABAC, BACB45, 由旋转知,ADAE,DAE90, BAC90, BACDAE, BADCAE, ABAC, BADCAE(SAS) , BDCE,BACE45, BCEACB+ACE90, BCE90, DCE90,根据勾股定理得,DE2DC2+CE2, DE2DC2+BD2, 在 RtADE 中,ADAE, DE22AD2, 2AD2DC2+BD2 19 (2021碑林区校级开学)如图 1,在ABC 中,A120,ABAC,点 D、E 分别在边 AB、AC 上, ADAE,连接 BE,点 M、N、P 分别为 DE、BE、BC 的中点,连接 NM、NP (1)图 1 中,线段 NM、NP 的数量关系是 MNNP ,MNP 的度数为 60 ; (2)将ADE 绕点 A 顺时针旋转到如图 2 所示的位置,连接 MP,你认为NMP 是什么特殊三角形, 请写出你的猜想并证明你的结论; (3)把ADE 绕点 A 在平面内旋转,若 AD3,AB5,请写出MNP 面积的最大值 【解答】解: (1)ABAC,ADAE, BDCE, 点 M、N、P 分别为 DE、BE、BC 的中点, MN= 1 2 ,PN= 1 2CE,MNAB,PNAC, MNPN,ENMEBA,ENPAEB, MNE+ENPABE+AEB, ABE+AEB180BAE60, MNP60, 故答案为:MNNP,MNP60 (2)MNP 是等边三角形,理由如下: 由旋转得:BADCAE, 又ABAC,ADAE, ABDACE(SAS) , BDCE,ABDACE, 点 M、N、P 分别为 DE、BE、BC 的中点, MN= 1 2 ,PN= 1 2CE,MNBD,PNCE, MNPN,ENMEBD,BPNBCE, ENPNBP+NPBNBP+ECB, EBDABD+ABEACE+ABE, MNPMNE+ENPACE+ABE+EBC+EBCECB180BAC60, MNP 是等边三角形; (3)由三角形三边关系可知:BDAB+AD, 即 BD8, BD 的最大值为 8, 由(2)知:MNP 是等边三角形,MN= 1 2BD, MN4 时,SMNP最大, SMNP最大为: 3 4 4 4 =43 20 (2021沙坪坝区校级开学)如图,ABC 和MBN 均为等腰直角三角形,ABCMBN90,AB BC,MBNB现将MBN 绕点 B 旋转 (1)如图 1,若 A、M、N 三点共线,AM= 10,求点 C 到直线 BN 的距离; (2)如图 2,连接 AN、CM,点 H 为线段 CM 的中点,连接 BH求证:ANBH; (3)如图 3,若点 P 在线段 AC 上,且 AB82,AP14,在ABP 内部有一点 O,请直接写出 1 2OB+OA+ 5 2 OP 的最小值 【解答】解: (1)如图 1,设 AN 交 BC 于点 K,作 CFBN,交 BN 的延长线于点 F,则F90, 由旋转得,CNAM= 10,BCNBAM, ABC90,CKNAKB, BCN+CKNBAM+AKB90, ANC90; MBNB,MBN90, BNMBMN45, FNCFCN45, CFNF, CF2+NF2CN2, 2CF2(10)2, CF= 5, 点 C 到直线 BN 的距离是5 (2)证明:如图 2,设 AN 交 BH 于点 I,延长 BH 到点 D,使 DHBH,连接 DC, CHMH,CHDMHB, CHDMHB(SAS) , CDMBNB,DHBM, CDBM, BCD+CBM180, ABN+CBMMBN+ABM+CBMMBN+ABC180, BCDABN, BCAB, BCDABN(SAS) , CBDBAN, BAN+ABDCBD+ABDABC90, AIB90, ANBH (3)如图 3,在直线 BC 下方作 PQOP,PGAP,使 PQ2PO,PG2PA,连接 OQ、QG、BG, OPQAPG90, QPGOPA90APQ, = =2, PQGPOA, = =2, QG2OA; OQ= 2+ 2= 2+ (2)2= 5PO, 1 2OB+OA+ 5 2 OP= 1 2(OB+2OA+5OP)= 1 2(OB+QG+OQ) , OB+QG+OQBG, 当 OB+QG+OQBG 时,OB+QG+OQ 的值最小,此时1 2OB+OA+ 5 2 OP 的值最小; 则点 O、点 Q 落在 BG 上,如图 4,设 BG 交 AC 于点 L,作 BRAC 于点 R, AC2AB2+BC22AB2,AB82, AC22(82)2, AC16, ARCR= 1 2AC8, BR= 1 2AC8, AP14, PR1486,GP2AP21428, GPBR, GPLBRL, = = 28 8 = 7 2, RL= 2 9PR= 2 9 6= 4 3,PL= 7 9PR= 7 9 6= 14 3 , BRLGPL90, BL= 2+ 2=82+ (4 3) 2 = 437 3 ,GL= 2+ 2=282+ (14 3 )2= 1437 3 , BGBL+GL= 437 3 + 1437 3 = 637, OB+QG+OQ 的最小值为637, 此时,1 2OB+OA+ 5 2 OP= 1 2(OB+QG+OQ)= 1 2 637 = 337, 1 2OB+OA+ 5 2 OP 的最小值为337

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