1、20202021学年广东广州越秀区初三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. x2+2xy1B. x2+x+1C. x24D. ax2+bx+c03. 某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元，已知第一季度的总营业额共218万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为（ ）A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）A. B. C. D. 5. 设A(2，y1)，B(
2、1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=x2-2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )A. B. C. D. 6. 用半径为3cm，圆心角是120扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）A. B. 1.5cmC. D. 1cm7. 关于x的方程（a1）x2+2ax+a10，下列说法正确的是（）A. 一定是一个一元二次方程B. a1时，方程的两根x1和x2满足x1+x21C. a3时，方程的两根x1和x2满足x1x21D. a1时，方程无实数根8. 如图，线段AB是O的直径，弦CDAB，CAB=30，OD=2，那么DC的长等于（）A. 2B. 4C. D. 9. 如图，在
3、菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF若AB=2，B=60，则阴影部分的面积为()A. B. C. 2D. 210. 已知两点A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线yax2+bx+c（a0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是（）A x05B. x01C. x03D. 5x01二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 若一元二次方程有一个根为，则=_12. 若与关于原点对称，则的值为_13. 二次函数的最小值是_14. 二次函数y1ax2+bx+c与一次函数y2mx+n的图象如图所示，则
4、满足ax2+bx+cmx+n的x的取值范围是_15. 如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为_16. 如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，半圆与直线相切，设半圆，半圆，半圆的半径分别是，则当直线与轴所成锐角为，且时，_三、解答题（本大题共9小题，共72分）17. 解方程：18. 如图，三个顶点的坐标分别为，（1）请画出绕原点逆时针旋转后得到的（2）求旋转过程中点运动轨迹的长度19. 如图，为的直径，点在上（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点 （不
5、写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论20. 已知：如图，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABC，点E对应点C恰在D的延长线上，若BCAE求证：ABD为等边三角形21. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元(1)若生产某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？22.
6、 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5当ABC是等腰三角形时，求k的值23. 如图，抛物线交x轴于点和点B(1,0)，交y轴于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且，求点M的坐标24. 如图，是O的直径，是圆上一点，弦于点，且过点作O的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点（1）连接，猜想的形状，并说明理由；（2）求证：与O相切；（3）连接，若O的半径为，求的长25. 如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接（1
7、）直接写出值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标（3）点是抛物线上的动点，连接，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处求当点恰好落在直线上时点的横坐标20202021学年广东广州越秀区初三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据轴对称和中心对称图形的概念进行分析判断即可【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，排除；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，排除；C、既是轴对称
8、图形，也是中心对称图形，当选；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，排除.故选：C.【点睛】本题主要考查中心对称与轴对称的概念判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. x2+2xy1B. x2+x+1C. x24D. ax2+bx+c0【答案】C【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解【详解】A、x2+2xy1属于二元二次方程，故本选项不符合题意B、x2+x+1不是方程，故本选项不符合题意C、方程x24符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意D、当a0时，方
9、程ax2+bx+c0不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意故选：C【点睛】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为03. 某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元，已知第一季度的总营业额共218万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=218万元，把相关数值代入即可【详解】解：一月份的营业额为50万元，平均每月增长率为，二月份的营业额为，三月份的营业额为，可列方程为，故选：B【点睛】此题考查了由
10、实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于掌握其一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，再向下平移2个单位长度，得到，整理得，故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键5. 设A(2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=x2-2x+2上的三点，则y1，y2，y
11、3的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把点的坐标分别代入可求得的值，之后比较大小便可【详解】因为，是抛物线上的三点；所以：=2；所以故答案为A选项【点睛】本题主要考查抛物线上点坐标之间的x或y对应的值的大小比较，把具体的x或y代入求值比大小即可6. 用半径为3cm，圆心角是120的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）A. B. 1.5cmC. D. 1cm【答案】D【解析】【详解】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，解得：r=1故选D7. 关于x的方程（a1）x2+2ax+a10，下列说法正确的是（）A
12、. 一定是一个一元二次方程B. a1时，方程的两根x1和x2满足x1+x21C. a3时，方程的两根x1和x2满足x1x21D. a1时，方程无实数根【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系逐一判断可得答案【详解】解：A当a1时，此方程为2x0，是一元一次方程，此选项错误，不符合题意；B当a1时，方程为2x22x20，即x2+x+10，此时30，此方程无解，故此选项错误，不符合题意；Ca3时，方程为2x2+6x+20，即x2+3x+10，方程的两根x1和x2满足x1x21，故此选项正确，符合题意；Da1时，方程为2x0，此方程有一个实数根，为x0，此选项错误
13、，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系8. 如图，线段AB是O的直径，弦CDAB，CAB=30，OD=2，那么DC的长等于（）A. 2B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图，连接OC，设AB交CD于E首先证明CE=DE，解直角三角形求出EC即可解决问题【详解】解：如图，连接OC，设AB交CD于EABCD，AB是直径，EC=DE，OA=OC，OAC=OCA=30，COE=60，EC=OCsin60=，CD=2DE=2，故选D【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的
14、关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题9. 如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF若AB=2，B=60，则阴影部分的面积为()A. B. C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】连接AC，根据菱形的性质求出BCD和BCAB2，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可【详解】解：连接AC，四边形ABCD是菱形，ABBC2，B60，E为BC的中点，CEBE1CF，ABC是等边三角形，ABCD，B60，BCD180B120，由勾股定理得：AE=SAEB=SAEC= SACF =，阴影部分面积S= SA
15、EC+SACF-S扇形CEF=，故选：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出AEC、AFC和扇形ECF的面积是解此题的关键10. 已知两点A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线yax2+bx+c（a0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是（）A. x05B. x01C. x03D. 5x01【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可知该函数开口向上，有最小值，从而可得关于x0的不等式，进而可得答案【详解】解：两点A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线yax2+bx+c（a0）上，点C（x0，y0）是该
16、抛物线的顶点，若y1y2y0，则此函数开口向上，有最小值，x01或x01，解得：x03故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，明确题意、找出所求问题需要的条件、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 若一元二次方程有一个根为，则=_【答案】-1【解析】【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，解得k的值【详解】解：把x=0代入一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，得k2-1=0，解得k=-1或1；又k-10，即k1；所以k=-1故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相
17、等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零12. 若与关于原点对称，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据关于原点对称点的性质可得x3，y1y，解出y的值，然后可得答案【详解】M（3，y）与N（x，y1）关于原点对称，x3，y1y，解得：x3，y，xy，故答案为：【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反13. 二次函数的最小值是_【答案】-72【解析】【分析】对二次函数进行配方，然后根据平方数0的性质可以得到解答【详解】解：原二次函数的最小值是-72【点睛】本题考查二次函数的最小值，对二次函数解析式进行准确配方是解题关
18、键14. 二次函数y1ax2+bx+c与一次函数y2mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+cmx+n的x的取值范围是_【答案】3x0【解析】【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可【详解】解：由图可知，-3x0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax2+bx+cmx+n的x的取值范围是3x0故答案为：3x0【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键15. 如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关
19、于x的方程为_【答案】（92x）（52x）=12【解析】【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（92x），宽为（52x），然后根据底面积是12cm2即可列出方程【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得（92x）（52x）=12，故答案为：（92x）（52x）=1216. 如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，半圆与直线相切，设半圆，半圆，半圆的半径分别是，则当直线与轴所成锐角为，且时，_【答案】32017【解析】【分析】根据题意作出垂线段，表示出直线原点O与圆心之间的线段关系，然后寻找规律得出答案【详解】解：分别过半圆O1，半圆O2，半圆On的圆心作O1Al，
20、O2Bl，O3Cl，如图，半圆O1，O2，O3，On与直线l相切，O1Ar1，O2Br2，O3Cr3，当直线l与x轴所成锐角为30时，OO12O1A2，在RtOBO2中，OO22BO2，即21r22r2，r23，在RtOCO3中，OO32CO3，即2123r32r3，r3932，同理可得，r42733，r201832017，故答案为：32017【点睛】本题考查了规律型、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，找出规律是解题的关键三、解答题（本大题共9小题，共72分）17. 解方程：【答案】【解析】【详解】分析：把方程化成x2=a的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.详解： 原方程的解为 点
21、睛：考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为一般形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根18. 如图，三个顶点的坐标分别为，（1）请画出绕原点逆时针旋转后得到的（2）求旋转过程中点运动轨迹的长度【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出的对应点即可；（2）根据旋转的轨迹是一段圆弧，计算弧长即可【详解】（1）如图，即为所求
22、；（2）连接，点运动轨迹是以为半径的圆弧，l【点睛】本题考查了作图旋转变换，弧长公式，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形19. 如图，为直径，点在上（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点 （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论【答案】（1）如图所示；见解析；（2），理由见解析.【解析】【分析】（1）利用基本作图作AD平分BAC，然后连接OD得到点E；（2）由AD平分BAC得到BAD=BAC，由圆周角定理得到BAD=BOD，则BOD=BAC，再证明OE为ABC的中位线，从而得到OEAC，OE=AC【详解】解：（1）
23、如图所示；（2），理由如下：平分，【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了圆周角定理20. 已知：如图，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABC，点E对应点C恰在D的延长线上，若BCAE求证：ABD为等边三角形【答案】证明见解析【解析】【分析】由旋转的性质可得，可得，由平行线的性质可得，可得，则可求，可得结论【详解】解：由旋转知：ADEABC，ACBE，ACAE，EACE，又BCAE，BCE+E180，即ACB+ACE+E180，E60，又ACAE，ACE 为等边三角形，
24、CAE60又BACDAEBADCAE60又ABADABD为等边三角形【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，求出是本题的关键21. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【答案】(1) 第3档次；(2) 第5档次【解析】【详解】试题分析：（1）
25、根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论试题解析：（1）（1410）2+1=3（档次）答：此批次蛋糕属第3档次产品（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：（2x+8）（76+44x）=1080，整理得：x216x+55=0，解得：x1=5，x2=11（舍去）答：该烘焙店生产的是第5档次的产品考点：一元二次方程应用22. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若ABC的两边AB、AC
26、的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5当ABC是等腰三角形时，求k的值【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）先计算出=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时ABC为等腰三角形，然后求出k的值【详解】解：（1）证明：=（2k+1）2-4（k2+k）=10，方程有两个不相等的实数根；（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，kk+1，ABAC当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，ABC是等腰三角形，则k=5
27、；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，所以k的值为5或4【点睛】1根的判别式；2解一元二次方程-因式分解法；3三角形三边关系；4等腰三角形的性质23. 如图，抛物线交x轴于点和点B(1,0)，交y轴于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且，求点M的坐标【答案】（1） （2）（0，2）或（1，2）或（，2）或（，2）【解析】【分析】（1）把A（2，0），B(1,0)，C（0，2）代入抛物线的解析式求解即可；（2）设然后依据列方程求解即可.【详解】（1）把A（2，0），B(1,0)，C（0，2）代入抛物线得，解得抛物线的解析式为
28、 （2）设然后依据列方程可得：，解得，符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（1，2）或（，2）或（，2）【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式.24. 如图，是O的直径，是圆上一点，弦于点，且过点作O的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点（1）连接，猜想的形状，并说明理由；（2）求证：与O相切；（3）连接，若O的半径为，求的长【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）先根据垂径定理可得AB垂直平分CD，再根据垂直平分线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）如
29、图（见解析），先根据等边三角形外接圆的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；（3）先根据等边三角形的性质、勾股定理求出，从而可得，再根据圆的切线的性质可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得【详解】（1）为等边三角形理由如下：是的直径，弦，垂直平分CD，为等边三角形；（2）如图，连接，由（1）得，为等边三角形，（等边三角形外接圆的性质），又为的半径，与相切；（3）的半径为，在中，与相切，四边形为平行四边形，在中，由勾股定理得：【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定
30、与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），利用平行四边形的判定与性质得出是解题关键25. 如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标（3）点是抛物线上的动点，连接，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处求当点恰好落在直线上时点的横坐标【答案】（1）a；对称轴为直线x2；A（6，0）；（2）（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，2）；（3）或【解析】【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；（2）分三种情况：直接利用
31、等腰三角形的性质，即可得出结论；（3）先判断出PQEPQE（AAS），得出PQPQ，EQEQ，进而得出PQn，EQQEm2，确定出点P（n2，2m），将点P的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论【详解】解：（1）抛物线ya（x6）（x2）过点C（0，2），2a（06）（02），a，抛物线的解析式为y（x6）（x2）（x2）2，抛物线的对称轴为直线x2；针对于抛物线的解析式为y（x6）（x2），令y0，则（x6）（x2）0，x2或x6，A（6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x2，E（2，0），C（0，2），OCOE2，CEOC2，C
32、ED45，CME是等腰三角形，当MEMC时，ECMCED45，CME90，M（2，2），当CECM时，MM1CM2，EM14，M1（2，4），当EMCE时，EM2EM32，M2（2，2），M3（2，2），即满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，2）；（3）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y（x6）（x2）（x2）2，D（2，），令y0，则（x6）（x2）0，x6或x2，点A（6，0），设直线的解析式为，则，解得，直线AD的解析式为yx4，过点P作PQx轴于Q，过点P作PQDE于Q，EQPEQP90，由（2）知，CEDCEB45，由折叠知，EPEP，CEPCEP，PQEPQE（AAS），PQPQ，EQEQ，设点P（m，n），OQm，PQn，PQn，EQQEm2，点P（n2，2m），点P直线AD上，2m（n2）4，点P在抛物线上，n（m6）（m2），联立解得，m或，即点P的横坐标为或【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键
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