1、7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 7.5 7.5 三角形三角形的内角和的内角和定理定理 （第第2 2课时）课时） 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（的地方都转了一个角度（1，2，3），那么回到原），那么回到原 来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 导入新知导入新知 想一想想一想 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理
2、/ / 1.了解并掌握三角形的了解并掌握三角形的外角的定义外角的定义 2. 能利用三角形内角和定理及其两个推论进行能利用三角形内角和定理及其两个推论进行 简单的简单的计算和证明计算和证明. 素养目标素养目标 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / B D C A O 40 70 ？ 问题问题 发现发现懒羊羊独自在懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方处游玩后，灰太狼打算用迂回的方 式，先从式，先从A前进到前进到C处，然后再折回到处，然后再折回到B处截住处截住懒羊羊懒羊羊返回羊返回羊 村的去路，红太狼则直接在村的去路，红太狼则直接在A处拦截处拦截懒羊羊懒羊羊，已知，已知
3、 BAC=40 ， ABC=70. .灰太狼从灰太狼从C处要转多少度角才处要转多少度角才 能直达能直达B处？处？ 探究新知探究新知 知识点 1 三角形的外角的概念三角形的外角的概念 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 利用利用“三角形的内角和为三角形的内角和为180”来求来求BCD，你会吗？，你会吗？ 思考思考 像像BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. . 这节课让我们一起来探讨吧这节课让我们一起来探讨吧. . B D C A O 40 70 ？ 由三角形内角和易得由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70， 所以所以BCD=
4、180BCA=110. . 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 定义定义 如如图，把图，把ABC的一边的一边BC 延长延长，得到，得到ACD，像，像 这样，三角形的一边与另一边的这样，三角形的一边与另一边的延长线延长线组成的角，叫做组成的角，叫做 三角形的外角三角形的外角. ACD是是ABC的一个的一个外角外角. C B A D 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 问题问题1 如如图，延长图，延长AC到到E,BCE是不是是不是ABC的一个外角？的一个外角？ DCE是不是是不是ABC的一个外角？的一个外角？ E
5、在三角形每个顶点处都有两个外角在三角形每个顶点处都有两个外角. ACD 与与BCE为对顶角为对顶角，ACD =BCE； C B A D BCE是是ABC的一个的一个 外角，外角，DCE不是不是ABC 的一个外角的一个外角. 问题问题2 如如图，图，ACD与与BCE有什么关系？在三角形的每有什么关系？在三角形的每 个顶点处有多少个外角？个顶点处有多少个外角？ 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / A B C 画一画画一画 画出画出ABC的所有外角，共有几个呢的所有外角，共有几个呢? ? 每每一个三角形都一个三角形都 有有6个外角个外角 每每一个顶点相对一个
6、顶点相对 应的外角都有应的外角都有2个，个， 且这且这2个角个角为对顶角为对顶角. . 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 三角形的外角应具备的条件：三角形的外角应具备的条件： 角的顶点是三角形的顶点；角的顶点是三角形的顶点； 角的一边是三角形的一边；角的一边是三角形的一边； 另一边是三角形中一边的延长线另一边是三角形中一边的延长线. . ACD是是ABC的一个外角的一个外角 C B A D 每一个三角形都有每一个三角形都有6个外角个外角 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / F A B C D
7、 E 如图如图, ,BEC是哪个三角形的外角？是哪个三角形的外角？AEC是哪是哪 个三角形的外角？个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？是哪个三角形的外角？ BEC是是AEC的外角的外角; ; AEC是是BEC的外角的外角; ; EFD是是BEF和和 DCF的外角的外角. . 巩固练习巩固练习 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 三角形的外角三角形的外角 A C B D 相邻的内角相邻的内角 不相邻的内角不相邻的内角 三角形内角和定理的推论（一）三角形内角和定理的推论（一） 问题问题1 如图，如图，ABC的外角的外角BCD与其相邻的内角与其相邻的内角ACB 有什么关
8、系？有什么关系？ BCD与与ACB互补互补. 探究新知探究新知 知识点 2 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 问题问题2 如图，如图，ABC的外角的外角BCD与其不相邻的两内角与其不相邻的两内角(A， B)有什么关系？有什么关系？ 三角形的外角三角形的外角 A C B D 相邻的内角相邻的内角 不相邻的内角不相邻的内角 A+B+ACB=180，BCD+ACB=180， A+B=BCD. 你能用作平行线的方法你能用作平行线的方法 证明此结论吗？证明此结论吗？ 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / D 证明：证明：过过C作作CE平行
9、于平行于AB， A B C 1 2 1= B，（，（两直线平行，两直线平行， 同位角相等同位角相等）. 2= A ，（，（两直线平两直线平 行行， 内错角内错角相等）相等） ACD= 1+ 2= A+ B. E 已知：如图，已知：如图，ABC，求证：，求证：ACD=A+B. 探究新知探究新知 验证结论验证结论 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 三角形内角和定理的三角形内角和定理的推论（一）推论（一） A B C D 三角形三角形的一个外角等于和它的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和. . 应用格式：应用格式： ACD是是ABC的一个外角的一个外角
10、 ACD= A+ B. 探究新知探究新知 知识要点知识要点 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 说出下列图形中说出下列图形中1和和2的度数：的度数： A B C D 80 60 2 1 (1) A B C ( 2 1 50 32 (2) 1=40 , 2=140 1=18 , 2=130 探究新知探究新知 做一做做一做 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 已知已知: :如图如图, ,在在ABC中中, ,AD平分外角平分外角EAC, , B=C. . 求证求证: :ADBC. . A C D B E 例题是运用例题是运用 了定理了定理“内内 错角相
11、等错角相等, ,两两 直线平行直线平行” 得到了证实得到了证实. . 探究新知探究新知 分析分析: :要证明要证明ADBC, ,只需要证明“同位角相等”只需要证明“同位角相等” 或“内错角相等”或“同旁内角互补”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. . 证明证明: :EAC=B+C ( (三角形的一个外角等于和三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和它不相邻的两个内角的和),),B=C ( (已知已知),), AD平分平分EAC( (已知已知).). DAC=C( (等量代换等量代换).). ADBC( (内错角相等内错角相等, ,两直线平行两直线平行).). C= EAC( (等式的性
12、质等式的性质).). 1 2 DAC= EAC( (角平分线的定义角平分线的定义).). 1 2 你还有其他证明方法吗？你还有其他证明方法吗？ 例 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / A C D B E 探究新知探究新知 还可以有如下证法：还可以有如下证法： 证明证明: :推理可得推理可得: :DAC=C ( (已证已证),), BAC+B+C =180( (三角形内角和定理三角形内角和定理).). BAC+B+DAC =180 ( (等量代换等量代换).). ADBC( (同旁内角互补同旁内角互补, ,两直线平行两直线平行).). 该方法是运用该方法是运用 了定理了定
13、理“同旁同旁 内角互补内角互补, ,两直两直 线平行线平行”得到得到 了证实了证实. . 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如如图图,A=42,ABD=28,ACE=18,求求BFC的的 度数度数. BEC是是AEC的一个外角，的一个外角， BEC= A+ ACE. A=42 ，ACE=18， BEC=60. BFC是是BEF的一个外角，的一个外角， BFC= ABD+ BEF. ABD=28 ，BEC=60， BFC=88. 解：解： F A C D E B 巩固练习巩固练习 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 例例 如如图，图，P为为ABC
14、内一点，内一点，BPC150， ABP20， ACP30，求，求A的度数的度数 解析：解析：延长延长BP交交AC于于E或连接或连接AP并延长，构造三角形并延长，构造三角形 的外角，再利用外角的性质即可求出的外角，再利用外角的性质即可求出A的度数的度数 E 通过作辅助线求角的度数通过作辅助线求角的度数 素养素养考点考点 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 解：解：延长延长BP交交AC于点于点E， 则则BPC，PEC分别为分别为PCE，ABE的外角的外角， BPCPECPCE， PECABEA. PECBPCPCE 15030=120. APECABE12
15、020100. 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如图，求证：如图，求证：BOCABC. 证明：证明：延长延长BO交交AC于点于点D, 因为因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 所以所以BDCAB，BOCBDCC， 所以所以BOCABC. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 D 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如图如图 ，试比较，试比较2 、1的大小；的大小； 如图如图 ，试比较，试比较3 、2、 1的大小的大小. 图图 图图 解：解：2=1+B, 21. 解：解：
16、2=1+B, 3=2+D, 321. 探究新知探究新知 知识点知识点 3 三角形内角和定理的推论（二）三角形内角和定理的推论（二） 定理：三角形定理：三角形的的 一个外角大于任一个外角大于任 何一个和它不相何一个和它不相 邻的内角邻的内角. B C E D A A C B D 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如如图图, ,P是是ABC内一点，连接内一点，连接PB，PC.B=C. . 求求 证证: :BPCA. . 证明证明: :如图，延长如图，延长BP，交，交AC于点于点D. . BPC是是PDC的一个外角的一个外角( (外角定义外角定义),), A B C P D
17、 还有其他还有其他 证明方法证明方法 吗？吗？ 探究新知探究新知 BPCPDC( (三角形的一个外角三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角大于和它不相邻的任何一个内角).). PDC是是ABD的一个外角的一个外角 ( (外角定义外角定义),), PDCA( (三角形的一个外角大于和它三角形的一个外角大于和它 不相邻的任何一个内角不相邻的任何一个内角).). BPCA .（不等式的性质）（不等式的性质） 例 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如如图，图，A，1，2的大小关系是的大小关系是( ( ) ) AA12 B21A CA21 D2A1 B 巩固练习巩固练习
18、 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如如图，点图，点D在在BC的延长线上，的延长线上，DEAB于点于点E，交，交AC于点于点F 若若A35，D15，则，则ACB的的度数为（度数为（ ） A65 B70 C75 D85 连接中考连接中考 B 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 1.判断下列命题的对错判断下列命题的对错. （1）三角形的一个外角等于两个内角的和）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （3）三角形的一个外角大于任何一个内角）
19、三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 2.如图，如图，ACD是是ABC的外角，的外角，CE平分平分ACD，若 ，若 A=60，B=40，则，则ECD等于（等于（ ） A40 B45 C50 D55 3.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30角的三角的三 角板的一条直角边和含角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边放
20、在同角的三角板的一条直角边放在同 一条直线上，则一条直线上，则的度数是（的度数是（ ） A45 B60 C75 D85 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 C C 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 4.如图，点如图，点D在在ABC边边AB的延长线上，的延长线上，DEBC若若 A=35，C=24，则，则D的度数是（的度数是（ ） A24 B59 C60 D69 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 B 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / (1)如如图，图，BDC是是_ 的外角的外角, 也是也是 的外角；的外角
21、； (2)若若B=45 ， BAE=36 , BCE=20 ,试求试求AEC 的度数的度数. A B C D E ADE ADC 解：解：ADC= B+ BCE, AEC= ADC+ BAE. AEC= B+BCE+ BAE=45 +20 +36 =101 . 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / A B C D E 1 2 F G 解：解：1是是FBE的外角的外角, 1=B+ E, 同理同理2=A+D. 在在CFG中中, C+1+2=180 , A+ B+C+ D+E = 180 . 如图，求如图，求A+ B+ C
22、+ D+ E的度数的度数. 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 三角三角 形的形的 外角外角 定义定义 角一边必须是三角形的一边，另一角一边必须是三角形的一边，另一 边必须是三角形另一边的延长线边必须是三角形另一边的延长线 性 质性 质 三角形的一个外角等于与它不相邻三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和的两个内角的和 三 角 形 的三 角 形 的 外角和外角和 三角形的外角和等于三角形的外角和等于360 课堂小结课堂小结 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
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