1、2021 年江苏省宿迁市泗洪县中考数学二模试卷年江苏省宿迁市泗洪县中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 15 的相反数是（ ） A5 B5 C D 2下列计算中，正确的是（ ） A3a+2a25a3 B （a+b）2a2+b2 Ca6a3a2 D （3x3）29x6 3肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.0007mm，0.0007 用科学记数法表示为（ ） A0.710 3 B710 3 C710 4 D710 5 4 如图， 直线 ab， 在 RtABC 中， 点 C 在直线 a 上， 若158， 224， 则A
2、的度数为 （ ） A56 B34 C36 D24 5若一次函数 yx+m 的图象经过点（1，2） ，则不等式x+m2 的解集为（ ） Ax0 Bx0 Cx1 Dx1 6如图，AD 为ABC 的外接圆O 的直径，若BAD58，则ACB 等于（ ） A32 B36 C48 D52 7已知点 M（m，2021） ，N（n，2021）是二次函数 yax2+bx+2020 图象上的两个不同的点，则当 xm+n 时，其函数值等于（ ） A2022 B2021 C2020 D2019 8如图，在ABC 中，ABAC5，BC4，D 为边 AC 上一动点（C 点除外） ，把线段 BD 绕着点 D 沿着顺时针的方
3、向旋转 90至 DE，连接 CE，则CDE 面积的最大值为（ ） A16 B8 C32 D10 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9不等式组的解集是 10在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 11将抛物线 yx2的图象向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的函数表达式为 12在一次投篮比赛中，某小组 8 名同学的成绩（单位：分）分别是：6，10，7，7，8，6，9，6，则这组 数据的中位数是 13用半径为 6，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 14已知数轴上两点 A、B 到原点的距离
4、是和 2，则 AB 15已知 a+b2，则 a2b2+4b 的值为 16如图，曲线 C2是双曲线 C1：y（x0）绕原点 O 逆时针旋转 45得到的图形，P 是曲线 C2上任 意一点，点 A 在直线 l：yx 上，且 PAPO，则POA 的面积为 17如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE4，AF6，则 AC 的长为 18面积为 2 的ABCD 的边 AB 和 CD 被分为 3 等份，边 AD 和 BC 被分为 4 等份，按如图所示的方式连接 分点，则图中形成的小平行四边形的面积 S 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4
5、题，每题题，每题 8 分，共分，共 32 分）分） 19 （8 分）计算：2cos45+（2021）0|2| 20 （8 分）先化简，再求值： （1）（2） ，其中 a+1 21 （8 分）如图，已知 ABDC，ACDB求证：12 22 （8 分）有四张正面分别标有数字2，0，2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们 背面朝上洗均匀 （1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为 2 的卡片概率为 ； （2）随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法， 求两次抽出的卡片上的数字之和是 0 的概率 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 4
6、 题，每题题，每题 10 分，共分，共 40 分）分） 23 （10 分）如图，某学校数学兴趣社团成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树 顶 B 的仰角为 60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 8m，DE 的长为 4m，则树 AB 的高度是多少米 24 （10 分）如图，以 BD 为直径的O 经过点 A连接 AB、AD（ABAD） （1）尺规作图：在 BD 的延长线上作出点 C，使CADABD； （要求保留作图痕迹，不写作法） （2）请判断直线 AC 与O 的位置关系，并说明理由 25 （10 分）如图，已知反比例函数 y
7、（x0）的图象经过点 A（4，2） ，过 A 作 ACy 轴于点 C点 B 为反比例函数图象上的一动点， 过点 B 作 BDx 轴于点 D， 连接 AD 直线 BC 与 x 轴的负半轴交于点 E （1）求 k 的值； （2）若 BD3OC，求四边形 ACED 的面积 26 （10 分）阳光小区计划对面积为 1200m2的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成已 知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的 2 倍，如果两队各自独立完成面积为 400m2 区域的改造时，甲队比乙队少用 4 天 （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造； （2）若甲队每天改造费用是 1.
8、2 万元，乙队每天改造费用为 0.5 万元，社区要使这次改造的总费用不超 过 13 万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？ 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 题，每题题，每题 12 分，共分，共 24 分）分） 27 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（4，0） ，点 B 坐标为（4，0） ，点 C 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AC、BC 为边在 x 轴上方作正方形 ACDE 和正方形 BCGF，连接 EF 交直线 CG 于 点 P，设 P 点坐标为（x，y） （1）当 C 运动到点（2，0）时，求 P 点坐标； （2）当点 C 从点 A 运动到点 B 的
9、过程中（包含 A、B 两点） ，试求出点 P 运动路径图象的函数表达式， 并写出自变量的取值范围； （3）连接 CE、CF，在点 C 的运动过程中，是否存在PDE 和CEF 相似，若存在，试求出 P 点坐标， 若不存在，请说明理由 28 （12 分） 【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互 垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边 证明：如图 1 所示内接于圆的四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相垂直，垂足为点 G，过点 G 的直线垂 直于 AD， 垂足为点 E， 与边 BC 交于点 F， 由垂直关系得EGD+FGC90， EGD+ED
10、G90， 所以EDGFGC， 由同弧所对的圆周角相等得ADBACB， 所以FGCFCG， 则 FGFC， 同理，FGFB，故 BFFC； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边” 为 （填“真命题” ， “假命题” ） ； 【探究】 （1）如图 2，AGB 和DGC 为共顶点的等腰直角三角形，AGBDGC90，过点 G 的 直线垂直于 AD，垂足为点 E，与边 BC 交于点 F证明：点 F 是 BC 的中点； （2）如图 3，AGB 和DGC 为共顶点的等腰直角三角形，AGBDGC90，点 F 是 BC 的中 点，连接 FG 交 AD 于点 E
11、，若 GF2，求 AD 的长 2021 年江苏省宿迁市泗洪县中考数学二模试卷年江苏省宿迁市泗洪县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 15 的相反数是（ ） A5 B5 C D 【分析】根据相反数的概念解答即可 【解答】解：5 的相反数是 5 故选：B 2下列计算中，正确的是（ ） A3a+2a25a3 B （a+b）2a2+b2 Ca6a3a2 D （3x3）29x6 【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判 断即可 【
12、解答】解：A、3a 与 2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、 （a+b）2a2+2ab+b2，故本选项不合题意； C、a6a3a3，故本选项不合题意； D、 （3x3）29x6，故本选项符合题意； 故选：D 3肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.0007mm，0.0007 用科学记数法表示为（ ） A0.710 3 B710 3 C710 4 D710 5 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0007710 4，
13、 故选：C 4 如图， 直线 ab， 在 RtABC 中， 点 C 在直线 a 上， 若158， 224， 则A 的度数为 （ ） A56 B34 C36 D24 【分析】先根据对顶角的定义得出3 的度数，再由三角形内角与外角的关系求出A 的度数 【解答】解：如图， 154，ab， 3158 224，A32， A582434 故选：B 5若一次函数 yx+m 的图象经过点（1，2） ，则不等式x+m2 的解集为（ ） Ax0 Bx0 Cx1 Dx1 【分析】先把（1，2）代入 yx+m 中求出 m，然后解不等式x+m2 即可 【解答】解：把（1，2）代入 yx+m 得 1+m2，解得 m1，
14、所以一次函数解析式为 yx+1， 解不等式x+12 得 x1 故选：D 6如图，AD 为ABC 的外接圆O 的直径，若BAD58，则ACB 等于（ ） A32 B36 C48 D52 【分析】连接 BD，根据圆周角定理的推论得到ABD90，根据直角三角形的性质求出ADB，根据 圆周角定理解答即可 【解答】解：连接 BD， AD 为ABC 的外接圆O 的直径， ABD90， BAD58， ADB905832， 由圆周角定理得，ACBADB32， 故选：A 7已知点 M（m，2021） ，N（n，2021）是二次函数 yax2+bx+2020 图象上的两个不同的点，则当 xm+n 时，其函数值等于
15、（ ） A2022 B2021 C2020 D2019 【分析】根据二次函数的对称性用 m、n 表示出二次函数图象的对称轴，可得 xm+n，然后代入 解析式求解即可 【解答】解：当 xm 和 xn 时，y 的值相等， x， m+n， 当 xm+n 时，则 ya（）2+b（）+20202020， 当 xm+n 时，二次函数 y 的值是 2020 故选：C 8如图，在ABC 中，ABAC5，BC4，D 为边 AC 上一动点（C 点除外） ，把线段 BD 绕着点 D 沿着顺时针的方向旋转 90至 DE，连接 CE，则CDE 面积的最大值为（ ） A16 B8 C32 D10 【分析】如图，过点 E
16、作 EFAC 于 F，作 BHAC 于点 H，由勾股定理可求可求 AH3，由旋转的性 质可求 BDDE，BDE90，由 AAS 可证BDHDEF，可得 EFDH，由三角形面积公式和二 次函数的性质可求解 【解答】解：如图，过点 E 作 EFAC 于 F，作 BHAC 于点 H， EFDBHD90， BH2BC2CH2，BH2AB2AH2， 80（5+AH）225AH2， AH3， 将线段 BD 绕 D 点顺时针旋转 90得到线段 ED， BDDE，BDE90， BDF+EDF90，且EAF+AEF90， AEFBDF， 在BDH 和DEF 中， ， BDHDEF（AAS） ， EFDH， CD
17、E 面积CDEFCD（8CD）（CD4）2+8， 当 CD4 时，CDE 面积的最大值为 8， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9不等式组的解集是 1x3 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解 【解答】解：， 解得 x1， 解得 x3 故不等式组的解集是1x3 故答案为：1x3 10在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】根据分母不能为零，可得答案 【解答】解：由题意，得 x+10， 解得 x1， 故答案为：x1 11将抛物线 yx2的图象向上平移 3 个单位
18、，则平移后抛物线的函数表达式为 yx2+3 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物线 yx2的图象向上平移 3 个单位后得到新的图象，那么平移后抛物线的函数表达 式为 yx2+3， 故答案为：yx2+3 12在一次投篮比赛中，某小组 8 名同学的成绩（单位：分）分别是：6，10，7，7，8，6，9，6，则这组 数据的中位数是 7 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数 【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：6，6，6，7，7，8，9，10， 由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（7+7）27 故答案为：7 13
19、用半径为 6，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 2 【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案 【解答】解：扇形的弧长4， 圆锥的底面圆的周长4， 圆锥的底面圆半径2， 故答案为：2 14已知数轴上两点 A、B 到原点的距离是和 2，则 AB 或 【分析】由于到原点的距离实际表示这个数的绝对值，由此得到数轴上两点间距离的公式便可解答 【解答】解：到原点的距离实际表示这个数的绝对值， 而 A、B 到原点的距离是和 2， 点 A 表示的数为或，点 B 表示的数为 2 或2 那么 AB2，或 AB2（）2+，或 AB（2）2+，AB（2）
20、2 故答案为：或 15已知 a+b2，则 a2b2+4b 的值为 4 【分析】把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可 【解答】解：a+b2， a2b2+4b， （a+b） （ab）+4b， 2（ab）+4b， 2a+2b， 2（a+b） ， 22， 4 故答案为：4 16如图，曲线 C2是双曲线 C1：y（x0）绕原点 O 逆时针旋转 45得到的图形，P 是曲线 C2上任 意一点，点 A 在直线 l：yx 上，且 PAPO，则POA 的面积为 6 【分析】将双曲线逆时针旋转使得 l 与 y 轴重合，等腰三角形PAO 的底边在 y 轴上，应用反比例函数 比例系数 k 的性质解答
21、问题 【解答】解：如图，将 C2及直线 yx 绕点 O 逆时针旋转 45，则得到双曲线 C3，直线 l 与 y 轴重合 双曲线 C3，的解析式为 y， 过点 P 作 PBy 轴于点 B， PAPO， B 为 OA 中点 SPABSPOB， 由反比例函数比例系数 k 的性质，SPOB3， POA 的面积是 6 故答案为 6 17如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE4，AF6，则 AC 的长为 2 【分析】连接 AE，CF，首先证明AFOCEO，然后求出 AB 的长度，再求出 AC 的长度即可 【解答】解：连接 FC，AE， 若 A
22、C，EF 交于点 O， EF 为 AC 的中垂线， AFFC，AEEC，AOOC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，B90， FACECA， 在AFO 和CEO 中， AFOCEO（AAS） ， AFEC， AFECFCAE6， BCBE+EC4+610， 在 RtABE 中，AB2AE2BE220， 在 RtABC 中，AC2 故答案为：2 18面积为 2 的ABCD 的边 AB 和 CD 被分为 3 等份，边 AD 和 BC 被分为 4 等份，按如图所示的方式连接 分点，则图中形成的小平行四边形的面积 S 【分析】根据平行四边形的性质解答即可 【解答】解：如图，总个数为 34+
23、113， 即可求出单个小平行四边形的面积 S 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 题，每题题，每题 8 分，共分，共 32 分）分） 19 （8 分）计算：2cos45+（2021）0|2| 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式2+1（2） +12+ 21 20 （8 分）先化简，再求值： （1）（2） ，其中 a+1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 ， 当 a+1 时， 原式 21 （8 分）如图，已知 ABDC，ACDB求证：12 【分析】探究思路：因为ABO 与DCO 有一对对
24、顶角，要证12，只要证明AD，把问题 转化为证明ABCDCB，再围绕全等找条件 【解答】证明：在ABC 和DCB 中 ， ABCDCB AD 又AOBDOC， 12 22 （8 分）有四张正面分别标有数字2，0，2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们 背面朝上洗均匀 （1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为 2 的卡片概率为 ； （2）随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法， 求两次抽出的卡片上的数字之和是 0 的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次数字和为 0
25、 的情况数，然后根据概率公式即 可得出答案 【解答】解： （1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为 2 的卡片概率为， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和是 0 的结果有 3 个， 两次抽出的卡片上的数字之和是 0 的概率为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 4 题，每题题，每题 10 分，共分，共 40 分）分） 23 （10 分）如图，某学校数学兴趣社团成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树 顶 B 的仰角为 60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 8m，
26、DE 的长为 4m，则树 AB 的高度是多少米 【分析】先根据 CD8m，DE4m 得出DCE30，故可得出DCB90，再由BDF30可 知DBE60，由 DFAE 可得出BGFBCA60，故GBF30，所以DBC30，再 由锐角三角函数的定义即可得出结论 【解答】解：在 RtCDE 中， CD8m，DE4m， sinDCE， DCE30 ACB60，DFAE， BGF60 ABC30，DCB90 BDF30， DBF60， DBC30， BC8（m） ， ABBCsin60812（m） 答：树 AB 的高度是 12 米 24 （10 分）如图，以 BD 为直径的O 经过点 A连接 AB、AD
27、（ABAD） （1）尺规作图：在 BD 的延长线上作出点 C，使CADABD； （要求保留作图痕迹，不写作法） （2）请判断直线 AC 与O 的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）连接 OA，过点 A 作 ACOA 交 BD 于点 C，点 C 即为所求作 （2）根据作图可知 ACOA，可得结论 【解答】解： （1）如图，点 C 即为所求作 （2）AC 是O 的切线 理由：由作图可知，ACOA， AC 是O 的切线 25 （10 分）如图，已知反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（4，2） ，过 A 作 ACy 轴于点 C点 B 为反比例函数图象上的一动点， 过点 B 作 BDx 轴于点 D
28、， 连接 AD 直线 BC 与 x 轴的负半轴交于点 E （1）求 k 的值； （2）若 BD3OC，求四边形 ACED 的面积 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题 （2）求出直线 BC 的解析式，可得 E 点坐标，求出 DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题 【解答】解： （1）反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（4，2） ， 2， 解得：k8， 反比例函数解析式为：y（x0） （2）ACy 轴，A（4，2） ， OC2， BD3OC， BD326， BDx 轴， 点 B 的纵坐标为 6，代入 y中，得：6， 解得：x， B（，6） ， C（0，2） ， 设直线 BC 的
29、解析式为：ykx+b，则有， 解得：， 直线 BC 的解析式为：y3x+2， 令 y0，得：3x+20， 解得：x， E（，0） ， DE（）2， ACDE， S四边形ACED（AC+DE） OC（4+2）26 26 （10 分）阳光小区计划对面积为 1200m2的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成已 知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的 2 倍，如果两队各自独立完成面积为 400m2 区域的改造时，甲队比乙队少用 4 天 （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造； （2）若甲队每天改造费用是 1.2 万元，乙队每天改造费用为 0.5 万元，社区要使这次
30、改造的总费用不超 过 13 万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？ 【分析】 （1）设乙工程队每天能完成 xm2的改造，则甲工程队每天能完成 2xm2的改造，利用工作时间 工作总量工作效率，结合“两队各自独立完成面积为 400m2区域的改造时，甲队比乙队少用 4 天” ，即 可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设应安排乙工程队改造 m 天，则安排甲工程队改造天，根据社区要使这次改造的总费 用不超过 13 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设乙工程队每天能完成 xm2的改造，则甲工程队每天能完成 2xm2的改造
31、， 依题意得：4， 解得：x50， 经检验，x50 是原方程的解，且符合题意， 2x100 答：甲工程队每天能完成 100m2的改造，乙工程队每天能完成 50m2的改造 （2）设应安排乙工程队改造 m 天，则安排甲工程队改造天， 依题意得：1.2+0.5m13， 解得：m14 答：至少应安排乙工程队改造 14 天 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 题，每题题，每题 12 分，共分，共 24 分）分） 27 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（4，0） ，点 B 坐标为（4，0） ，点 C 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AC、BC 为边在 x 轴上方作正方形
32、ACDE 和正方形 BCGF，连接 EF 交直线 CG 于 点 P，设 P 点坐标为（x，y） （1）当 C 运动到点（2，0）时，求 P 点坐标； （2）当点 C 从点 A 运动到点 B 的过程中（包含 A、B 两点） ，试求出点 P 运动路径图象的函数表达式， 并写出自变量的取值范围； （3）连接 CE、CF，在点 C 的运动过程中，是否存在PDE 和CEF 相似，若存在，试求出 P 点坐标， 若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据坐标可得点 E 和 F 的坐标，根据待定系数法可得直线 EF 的解析式，根据点 P 的横坐 标为2，可得点 P 的坐标； （2）设 C（a，0） （4a4）
33、 ，确定直线 EF 的解析式：yax+4，将 xa 代入可得结论； （3）由（2）知：设 C（a，0） ，分两种情况：当EDPECF 时，当EDPFCE 时，列比 例式可得结论 【解答】解： （1）点 A 坐标为（4，0） ，点 B 坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（2，0） ， AC422，BC4+26， 四边形 ACDE 和四边形 BCGF 都是正方形， AEAC2，BFBC6， E（4，2） ，F（4，6） ， 设直线 EF 的解析式为：ykx+b， 则，解得：， 直线 EF 的解析式为：yx+4， 当 x2 时，y+43， P（2，3） ； （2）设 C（a，0） （4a4） ，
34、ACAEa+4，BCBF4a， E（4，a+4） ，F（4，4a） ， 同理得：EF：yax+4， 当 xa 时，y+4（4a4） ； （3）由（2）知：设 C（a，0） ， 四边形 ACDE 和四边形 BCGF 都是正方形， DCEDCF45， ECF90， EDP90， EDPECF90， 当PDE 和CEF 相似时，有两种情况： 当EDPECF 时， 即， ， a216， 此方程无解； 当EDPFCE 时， ， 解得：a14+4（舍） ，a244， P（44，88） 28 （12 分） 【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互 垂直，则垂直于一边
35、且过对角线交点的直线平分对边 证明：如图 1 所示内接于圆的四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相垂直，垂足为点 G，过点 G 的直线垂 直于 AD， 垂足为点 E， 与边 BC 交于点 F， 由垂直关系得EGD+FGC90， EGD+EDG90， 所以EDGFGC， 由同弧所对的圆周角相等得ADBACB， 所以FGCFCG， 则 FGFC， 同理，FGFB，故 BFFC； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边” 为 真命题 （填“真命题” ， “假命题” ） ； 【探究】 （1）如图 2，AGB 和DGC 为共顶点的等腰直角三角形，A
36、GBDGC90，过点 G 的 直线垂直于 AD，垂足为点 E，与边 BC 交于点 F证明：点 F 是 BC 的中点； （2）如图 3，AGB 和DGC 为共顶点的等腰直角三角形，AGBDGC90，点 F 是 BC 的中 点，连接 FG 交 AD 于点 E，若 GF2，求 AD 的长 【分析】 【思考】结论为真命题，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出FBGFGB，再利 用等量代换计算GAD+EGA90结论可得； （1）过点 B 作 BHGC，交 GF 的延长线于点 H，利用同角的余角相等得出HGCEDG 和BGH EAG，进而得到AGDGBH；再证明GCFHFB，结论可得； （2） 过点
37、 C 作 MHBG， 交 GF 的延长线于点 H， 易证GBFHCF， 得到 GH2GF4， AGCH 再 进一步说明AGDHCG，可得 ADGH，结论可得 【解答】解： 【思考】 “若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另 一边”为真命题 理由如下：如下图， ACBD，F 为 BC 的中点， BFGFFC FBGFGB FBGGAD， FGBGAD AGB90， FGB+EGA1809090 GAD+EGA90 AEG90 即：EGAD 命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命 题 故答案为：真命题 【探究】 （1
38、）如下图，过点 B 作 BHGC，交 GF 的延长线于点 H， BHGC， HHGC DGC90， HGC+EGD90 EGAD， EGD+EDG90 HGCEDG AGB90， BGH+AGE90， EGAD， AGE+EAG90 BGHEAG AGB 为等腰直角三角形， AGBG 在 AGD 和GBH 中， AGDGBH（AAS） GDBH GDGC， GCBH 在GCF 和HFB 中， GCFHFB（AAS） CFBF 即 F 是 BC 的中点 （2）如下图，过点 C 作 MHBG，交 GF 的延长线于点 H， MHBG， BGCGCM，BGFH 在GBF 和HCF 中， GBFHCF（AAS） GBCH，GFGH2 GH2GF4 GBAG， AGCH AGDAGB+CGDBGC180BGC， GCH180GCM AGDGCH 在AGD 和HCG 中， AGDHCG（SAS） ADGH4
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