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    初二数学秋季讲义 第13讲 几何综合(教师版)

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    初二数学秋季讲义 第13讲 几何综合(教师版)

    1、第第 13 讲讲 几何综合几何综合 全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一, 是今后学习其他知识的基础。 判断三角形全 等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL(直角三角形),如果所给条件充足,则可直接根据 相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析, 先推导出所缺的条件,引出相应的辅助线然后再证明。 一、常见辅助线的作法有以下几种: 1. 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换 中的“对称”; 2. 若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利 用的思维模式是全等变换

    2、中的“旋转”; 3. 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对称”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理; 4. 过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠”; 5. 截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条 线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于 证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 二、常见模型 1.最值问题:“将军饮马”模型; 2. 全等三角形经典模型:三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模

    3、型等。 三、尺规作图 部分地区会考察尺规作图,难点在于构造轴对称图形解决几何问题。 【例1】 如下左图,把ABC 沿 EF 对折,叠合后的图形如图所示若A=60 , 1=95 ,则2 的度数为( ) (2013 海淀期末) A24 B25 C30 D35 思路导航思路导航 典题精练典题精练 题型一:题型一:全等三角形与轴对称全等三角形与轴对称 长为 20,宽为 a 的矩形纸片(10a20) ,如上右图那样折一下,剪下 一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作) ;再把剩下的矩形如图 那样折一下, 剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形 (称为第二次操作) ; 如此反复操作下去, 若在第 n

    4、次操作后, 剩下的矩形为正方形, 则操作停止 当 n=3 时,a 的值为 【解析】A=60 , AEF+AFE=180 -60 =120 , FEB+EFC=360 -120 =240 , 由折叠可得:BEF+EFC=FEB+EFC=240 , 1+2=240 -120 =120 , 1=95 , 2=120 -95 =25 , 故选:B 由题意,可知当 10a20 时, 第一次操作后剩下的矩形的长为 a,宽为 20-a, 所以第二次操作时剪下正方形的边长为 20-a,第二次操作以后剩下的矩形 的两边分别为 20-a,2a-20 此时,分两种情况: 如果 20-a2a-20, 即 a 40 3

    5、 , 那么第三次操作时正方形的边长为 2a-20 则 2a-20=(20-a)-(2a-20) ,解得 a=12; 如果 20-a2a-20,即 a 40 3 ,那么第三次操作时正方形的边长为 20-a 则 20-a=(2a-20)-(20-a) ,解得 a=15 当 n=3 时,a 的值为 12 或 15 故答案为:12 或 15 【例2】 如图所示,在长方形 ABCD 称轴 l 上找点 P,使得PAB、PBC 均为等腰三角形, 则满足条件的点 P 有( ) A1 个 B3 个 C5 个 D6 个 2 1 C B F E C B A 第二次操作 第一次操作 l DC BA 【解析】C 已知,

    6、横线和竖线相交的点叫做格点,P、A、B 为格 点上的点,A、B 的位置如图所示,若此三点能够构成等 腰三角形,P 点有 种不同的位置? 【解析】12 种,如下图所示: 【例3】 如图 1,在等边三角形 ABC 中,AB=2,点 E 是 AB 的中点,AD 是高,在 AD 上找 一点 P,使 BP+PE 的值最小; 如图 2,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点,在 AC 上找一点 P,使 PB+PE 的值最小; 如图 3,O 的半径为 2,点 A、B、C 在O 上,OAOB,AOC=60 ,P 是 OB 上一动点,求 PA+PC 的最小值; 如图 4,在四边形 ABCD 的对角

    7、线 AC 上找一点 P,使APB=APD保留作图痕 迹,不必写出作法 【解析】 作点 B 关于 AD 的对称点,恰好与点 C 重合,连接 CE 交 AD 于一点,则这点就是所 求的点 P,故 BP+PE 的最小值为 22 3BCBE; 连接 BD,由正方形对称性可知,B 与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P,则 PB+PE 的最小值是 22 5ADAE; 作 A 关于 OB 的对称点 A,连接 AC,交 OB 于 P,PA+PC 的最小值即为 AC 的长, AOC=60 ,AOC=120 ,作 ODAC 于 D,则AOD=60 ,OA=OA=2, AD=3,AC=2 3 如

    8、图 4,首先过点 B 作 BBAC 于 O,且 OB=OB,连接 DB并延长交 AC 于 P,由 AC 是 BB的垂直平分线,可得APB=APD 图4图3图2图1 P D C B A O P C B A P E D C B A P E D CB A B A 【例4】 如图 1, 在ABC中,2ACBB ,BAC的平分线AO 交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线 lAO于H,分别交直线ABACBC、于点NEM、 、. 当直线l经过点C时(如图 2) ,证明:BNCD; 当M是BC的中点时,写出CE和CD之间的等量关 系,并加以证明; 请直接写出BNCECD、之间的等量关系. (海淀期末

    9、考试) 【解析】 证明:连接ND. AO平分BAC, 12 . 直线lAO于H, 4590 . 67 . ANAC. NHCH. AH是线段NC的中垂线. DNDC. 89 . ANDACB . 3ANDB ,2ACBB , 3B . BNDN. BNDC. 如图,当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为2CDCE. B D A 图4图3图2图1 P D C B A OP C B A P E D C B A P E DCB A 证明:过点C作CNAO交AB于N. 由(1)可得BNCD,ANAC,ANAE. 43,NNCE . 过点C作CGAB交直线l于G. 42 ,1B . 23 . CG

    10、CE. M是BC中点, BMCM. 在BNM和CGM中, 1, , , B BMCM NMBGMC BNMCGM. BNCG. BNCE. 2CDBNNNBNCE. BNCECD、之间的等量关系: 当点M在线段BC上时,CDBNCE; 当点M在BC的延长线上时,CDBNCE; 当点M在CB的延长线上时,CDCEBN. 一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余; 2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积,即 ab=ch; 4. 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即 222 cba; 5. 在直角三角形中,

    11、30 角所对的直角边等于斜边的一半(或含 30 的直角三角形三边之比 为 1:3:2) ; 6. 含 45 角的直角三角形三边之比为 1:1:2 二、直角三角形的判定 1. 有一个角为 90 的三角形是直角三角形; 思路导航思路导航 题型题型二二:直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形; 3. 勾股定理的逆定理:在以 a、b、c 为边的三角形中,若 222 cba,则这个三角形是 以 c 为斜边的直角三角形; 4. 一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边 的直角三角形 【例5】 在给定的图形内作一条折线 AB1C1

    12、D1E, 使 AB1AB, B1C1BC, C1D1CD, D1EDE,且 A,B,C,D,E,B1,C1,D1都是格点 【解析】 【例6】 如图,AC=AB,DC=DB,CAB=60 ,CDB=120 ,E 是 AC 上一点,F 是 AB 延长线上一点,且 CE=BF E D C B A D1 C1 B1 E D C B A 典题精练典题精练 思考验证: 求证:DE=DF; 在图 1 中,若 G 在 AB 上且EDG=60 ,试猜想 CE、EG、BG 之间的数量 关系并证明; 探究应用: 运用解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图 2,ABC=90 , CAB=CAD=30 ,E 在 AB

    13、 上,DEAB,且DCE=60 ,若 AE=3,求 BE 的长 【解析】A+C+CDB+ABD=360 ,A=60 ,CDB=120 , C+ABD=180 , ABD+DBF=180 , C=DBF, 在 DEC 和 DFB 中, CEBF CDBF CDBD DECDFB, DE=DF CE+BG=EG, 证明:连接 DA, 在 ACD 和 ABD 中 ACAB ADAD CDDB ACDABD, CDA=BDA=60 , EDG=EDA+ADG=ADG+ GDB=60 , CDE=ADG,EDA=GDB, BDF=CDE, GDB+BDF=60 ,即GDF=60 图1 C A E G B

    14、 F D 图2 D A B C E 图1 C A E G B F D 在 DGF 和 DGE 中 DEDF EDGGDF DGDG DGFDEG, FG=EG, CE=BF, CE+BG=EG 过 C 作 CMAD 交 AD 的延长线于 M, 在 AMC 和 ABC 中 AMCABC DACBAC ACAC AMCABC, AM=ABCM=CB, 由可知:DM+BE=DE, AE=3,AED=90 ,DAB=60 , AD=6, 由勾股定理得:DE=3 3 DM=AB-6=BE+3-6=BE-3, BE-3+BE=3 3, 即 BE= 1 33 3 2 【例7】 已知等腰三角形 ABC 中,

    15、ACB=90 , 点 E 在 AC 边的延长线上, 且DEC=45 , 点 M、N 分别是 DE、AE 的中点,连接 MN 交直线 BE 于点 F当点 D 在 CB 边的延长线上时,如图 1 所示易证:MF+FN= 1 2 BE 当点 D 在 CB 边上时,如图 2 所示,上述结论是否成立?若成立,请给与 证明;若不成立,请写出你的猜想,并说明理由 当点 D 在 BC 边的延长线上时,如图 3 所示,请写出你的结论,并说明理 由 M 图2 D A B C E 【解析】答:不成立, 猜想:FN-MF= 1 2 BE, 理由如下: 证明:如图 2,连接 AD, M、N 分别是 DE、AE 的中点,

    16、 MN= 1 2 AD, 又在ACD 与BCE 中, ACBC ACBBCE DCCE ACDBCE(SAS) , AD=BE, MN=FN-MF, FN-MF= 1 2 BE; 图 3 结论:MF-FN= 1 2 BE, 证明:如图 3,连接 AD, M、N 分别是 DE、AE 的中点, MN= 1 2 AD, 在ACD 与BCE 中, ACBC ACDBCE CDCE ACDBCE(SAS) , AD=BE, M 图3图2 图1 N E D E M B F C A F N D C B A E F N M D B C A A B C D N F E 图2 M A C F B M E D N

    17、图3 N M DC B A MN= 1 2 BE, MN=FM-FN, MF-FN= 1 2 BE 训练1. 如图所示,EFGH是一个台球桌面,有黑白两球分别置于AB、两点的位置上,试 问怎样撞击黑球A,经桌面HEEF、连续反弹后,准确击中白球B?(写出作法并画 图) 如图,在锐角 ABC 中,4 245ABBAC,BAC的平分线交BC 于点 D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是_ 【解析】 如图所示:分别作点AB,关于HEEF,的对称点AB,连 结A B与HEEF,交于MN,两点.折线AMMNNB就是白 球的运动路径.(可由对称证明角度相等,类似于物理中的

    18、镜面反 射问题) 过B作BEAC,与AD交点即为M,过M作MNAB,垂 足即为N,BMMNBE, 又垂线段最短, BE为最短距离, 长为4. 训练2. 如图, 在 ABC中, ACBC, ACB90 . 将 ABC绕点C逆时针旋转角, 得到 A1B1C, 连结 BB1,设 B1C 交 AB 于 D,A1B1分别交 AB、AC 于 E、F. 当090 时,如图 1,请在不添加任何线段的情况下,找出一对全等三角形,并 加以证明( ABCA1B1C 除外) ; 在的条件下,当 BB1D 是等腰三角形时,求; 当90180 时, 如图 2, 求证: A1CF BCD. (三帆期中) HG FE A B

    19、 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) B A EF GH N M B A 【解析】 答案不唯一,例如: 1 ACFBCD, 1 BCFACD 由题意得 11 1 90 2 CB BCBB 1 1 45 2 DBB,又 1 45BDB 在 1 BDB中,只能有 11 BDBBB D,即 1 9045 2 解得30 111 CBCABCDACFBA,, A1CF BCD. 训练3. 已知如图,AB=AC,PB=PC,PDAB,PEAC,垂足分别为 D、E . 求证:PD=PE; 若BPAB , o 45DBP,2AP,求四边形ADPE的面积. 【解析】 证明:连接AP,在ABP和ACP中

    20、, ABAC,PBPC,AP=AP, ABPACP(SSS) CAPBAP,AP是A的平分线; 又PDAB,PEAC,垂足分别为 D、E PDPE(角平分线上点到角的两边距离相等) 解:PDAB, o 45DBP, BDP是等腰直角三角形. 设xDP ,则xBP2,在直角ADP中, 由勾股定理421 2 2 xx,整理得:4224 2 x, 22 2 2 x . 图2 图1 A B C A1 B1 E F D D FE B1 A1 CB A P ED CB AA BC DE P 四边形ADPE的面积=2ADP的面积 = 2 22 2 2121 xx 训练4. 如图,等腰直角三角形ABC分别沿着

    21、某条直线对称得到图形 b、c、d若上述对称关系保持不变平移ABC,使得四个 图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形, 此时点C的坐标和正 方形的边长为( ) (海淀期末) A 11 2 22 , B(11)2, C(11)2, D 11 2 22 , 如图, ABC 中,ABBC,B120 ,AB 的垂直平分线交 AC 于 D. 试猜想 AD 与 DC 间的数量关系,并证明. 【解析】 D 连结 BD,证90DBC,可得 1 2 ADDC 【练习1】 如图,正方形纸片ABCD的边长为 1,M,N分别是AD、 BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使点A落在MN上, 落点记为 A ,折痕交

    22、AD于点E若M、N分别是AD、BC边的中点, 则A N_;若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等 分点(2n,且n为整数) ,则A N_(用含有n的式子表示) (北京中考) 如图,D为ABC内一点,CD平分ACB, BDCD,AABD , 若5AC ,3BC ,则BD的长为( ) A1 B1.5 C2 D2.5 复习巩固复习巩固 D E CA B 图 3 1 1 -1 -1 O A BC d c b a y x D C B A 【解析】 3 2 , 21n n (2n,且n为整数) A(提示:延长 BD) 【练习2】 如图,ABC是等腰三角形,ABAC,AD是角平分线, 以AC为边向外作等边三角形ACE,BE分别与AD、AC交于点F、 点G,连接CF 求证:FBDFCD ; 若1FD ,求线段BF的长 (实验期末) 【解析】 ABAC,AD是角平分线 ADBC,D是BC中点 BFCF FBCFCB ABAC,ABCACB FBCFCB ,ABEACF 由题意ABAEACCE ABEAEBACF 60EFCCAE 60BFDCFD 22BFFD G F E D CB A


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