1、分类思想在解决一类“质点运动”问题中的运用分类思想在解决一类“质点运动”问题中的运用 【专题综述】 “质点运动”中图形重叠面积问题对学生来说是难点，解决这类问题的关键是，根据几何图形的点和线出 现不同位置的情况，分类讨论解决问题，下面举例说明分类讨论思想在解决此类问题中的运用 【方法解读】 例 1 如图 1， 矩形 ABCD 中， AB6， BC23， 点 O 是 AB 的中点， 点 P 在 AB 的延长线上， 且 BP3 一 动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动，到达 A 点后立即以原速度沿 OA 返回； 另一动点 F 从 P 点出发，以每秒一个单位的速度
2、沿射线 PA 匀速运动点 E、F 同时出发，当两点相遇时停 止运动，在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边三角形EFG，使EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的 同侧设运动的时间为 t 秒(t0)；在整个运动过程中，设等边三角形EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积 为 S请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及相应的自变量的取值范围 分析 利用 “动中求静 “来分类 当 0t3 时， 相当于形状大小不改变的等边三角形从 O 点向 A 点运动 重 叠部分的图形形状分为两种情况： (i)当 0t1 时，重叠部分是直角梯形（如图 3 所示）S23t43； (ii)当 1t3 时
3、，重叠部分是五边形（如图 4 所示） 2 37 3 3 3 22 Stt 再继续运动，E 点将返回，这时 EF 的长度将越来越短，AEFG 的形状将发生变化，越来越小，重叠部分的 图形是等腰梯形和等边三角形 (iii)当 3t4 时，重叠部分是等腰梯形（如图 5），S20343 (iv)当 4t6 时，重叠部分是等边三角形（如图 6），S3(6t)2 例 2 如图 7，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1x 与 l2x6 相交于点 M，直线 l2与 x 轴相交 于点 N在矩形 ABCD 中，已知 AB1，BC2，边 AB 在戈轴上，矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒 1 个单位长
4、度的速度移动，设矩形 ABCD 与OMN 重叠部分的面积为 S，移动的时间为 t（从点 B 与点 O 重 合时开始计时，到点 A 与点 N 重合时计时结束）直接写出 S 与自变量 t 之间的函数关系式（不需给出解 答过程） 分析 分类时要考虑矩形 ABCD 与直线 l1和 l2相交的情况首先是矩形与 l1相交的情况 (1)当 0t1 时，重叠部分是三角形（如图 8）， SOBE 2 111 224 ttt； (2)当 1t4 时，重叠部分是直角梯形（如图 9）， S梯形 ABEF 1 111 1 2 222 tt t 1 4 ； (3)当 4t5 时，矩形与两条直线都相交，重叠部分是五边形（如
5、图 10），此时， 2 31349 424 Stt； (4)当 5t6 时，矩形只与 l2相交，重叠部分又是直角梯形（如图 11），此时， 1 2 1 2 S13 2 t； (5)当 6t7 时，重叠部分又是一个直角三角形（如图 12），此时， 2 149 7 22 Stt； 本题的分类比较复杂，要考虑的点很多，所以只有把握住“动中求静”的方法，画出正确的图形，方能顺 利求解 【强化训练】 1.（2017 四川省达州市）甲、乙两动点分别从线段 AB 的两端点同时出发，甲从点 A 出发，向终点 B 运动， 乙从点 B 出发，向终点 A 运动已知线段 AB 长为 90cm，甲的速度为 2.5cm/
6、s设运动时间为 x（s），甲、 乙两点之间的距离为 y（cm），y 与 x 的函数图象如图所示，则图中线段 DE 所表示的函数关系式为 （并 写出自变量取值范围） 【答案】y=4.5x90（20 x36） 【解析】 考点：1一次函数的应用；2动点型；3分段函数 2. （2017 辽宁省葫芦岛市）如图，点 A（0，8），点 B（4，0），连接 AB，点 M，N 分别是 OA，AB 的中 点，在射线 MN 上有一动点 P若ABP 是直角三角形，则点 P 的坐标是 【答案】（2 52 ，4）或（12，4） 【解析】 考点：1勾股定理；2坐标与图形性质；3动点型；4分类讨论；5综合题 3. （2017
7、 黑龙江省龙东地区）如图，在ABC 中，AB=BC=8，AO=BO，点 M 是射线 CO 上的一个动点， AOC=60 ，则当ABM 为直角三角形时，AM 的长为 【答案】4 3或4 7或 4 【解析】 考点：1勾股定理；2等腰三角形的性质；3分类讨论；4动点型；5综合题 4. （2017 四川省攀枝花市）如图 1，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，点 P 从点 B 出发沿折线 BE-ED-DC 运动到点 C 停止，点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止，它们运动的速度都是 1cm/s若点 P、点 Q 同 时开始运动，设运动时间为 t（s），BPQ 的面积为 y（ 2 cm
8、），已知 y 与 t 之间的函数图象如图 2 所示 给出下列结论：当 0t10 时，BPQ 是等腰三角形； ABE S=48 2 cm；当 14t22 时，y=110-5t； 在运动过程中，使得ABP 是等腰三角形的 P 点一共有 3 个；BPQ 与ABE 相似时，t=14.5 其中正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】 ABP 为等腰直角三角形需要分类讨论：当 AB=AP 时，ED 上存在一个符号题意的 P 点，当 BA=BO 时， BE 上存在一个符合同意的 P 点，当 PA=PB 时，点 P 在 AB 垂直平分线上，所以 BE 和 CD 上各存在一个符 号题意的 P 点，共有 4 个点满
9、足题意，故错误； BPQ 与ABE 相似时，只有；BPQBEA 这种情况，此时点 Q 与点 C 重合，即 3 4 PCAE BCAB ， PC=7.5，即 t=14.5 故正确 综上所述，正确的结论的序号是 故答案为： 考点：1动点问题的函数图象；2分类讨论；3综合题 5. （2016 广东省）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则 APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系图象大致是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】分 P 在 AB、BC、CD、AD 上四种情况，表示出 y 与 x 的函数解析式，确定出大致图
10、象即可 当 P 在 AD 边上运动时，y= 1 2 a（4ax）= 2 1 2 2 axa，大致图象为： 故选 C 【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代 表的实际意义，理解动点的完整运动过程 考点：1动点问题的函数图象；2动点型；3分段函数；4分类讨论；5函数思想 6. （2016 浙江省舟山市）如图，在直角坐标系中，点A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为（1，0）， ABO=30 ，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿OBA 的边按 OBAO 运动一周，同时另一端点 Q 随 之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 PQ=
11、3，那么当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为 【答案】4 【分析】首先根据题意正确画出从 OBA 运动一周的图形，分四种情况进行计算：点 P 从 OB 时， 路程是线段 PQ 的长；当点 P 从 BC 时，点 Q 从 O 运动到 Q，计算 OQ 的长就是运动的路程；点 P 从 CA 时， 点 Q 由 Q 向左运动， 路程为 QQ； 点 P 从 AO 时， 点 Q 运动的路程就是点 P 运动的路程； 最后相加即可 【解析】在 RtAOB 中，ABO=30 ，AO=1，AB=2，BO= 22 21=3； 当点 P 从 OB 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的路程为3； 当点 P 从
12、 BC 时， 如图 3 所示， 这时 QCAB， 则ACQ=90 ABO=30 ， BAO=60 ， OQD=90 60 =30 ，cos30 = CQ AQ ，AQ= cos30 CQ =2，OQ=21=1，则点 Q 运动的路程为 QO=1； 当点 P 从 CA 时，如图 3 所示，点 Q 运动的路程为 QQ=23； 当点 P 从 AO 时，点 Q 运动的路程为 AO=1，点 Q 运动的总路程为：3 1 23 1 =4 故答案为：4 【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线 段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题 考点：
13、1解直角三角形；2动点型；3分段函数；4分类讨论 7（2016 辽宁省沈阳市）如图，在 RtABC 中，A=90 ，AB=AC，BC=20，DE 是ABC 的中位线，点 M 是边 BC 上一点，BM=3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN，ME，DN 与 ME 相交于点 O若OMN 是直角三角形，则 DO 的长是 【答案】 25 6 或 50 13 【分析】分两种情形讨论即可MNO=90，根据 EDDO MNO N 计算即可； MON=90 ，利用DOEEFM，得 DOED EFEM 计算即可 【解析】如图作 EFBC 于 F，DNBC 于 N交 EM 于点 O，此时MNO=90，
14、DE 是ABC 中位线， DEBC，DE= 1 2 BC=10，DNEF，四边形 DEFN是平行四边 形，EFN=90，四边形 DEFN 是矩形，EF=DN，DE=FN=10，AB=AC，A=90 ，B=C=45 ，BN=DN=EF=FC=5， EDDO MNO N ，10 25 DO DO ，DO= 25 6 当MON=90 时， DOEEFM， DOED EFEM ， EM= 22 EFMF=13， DO= 50 13 ， 故答案为： 25 6 或 50 13 【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 解题的关键是学会分类讨论，学会添加常
15、用辅助线，属于中考常考题型 考点：1三角形中位线定理；2相似三角形的判定与性质；3分类讨论；4动点型 8. （2016 四川省雅安市）已知 RtABC 中，B=90 ，AC=20，AB=10，P 是边 AC 上一点（不包括端点 A、 C），过点 P 作 PEBC 于点 E，过点 E 作 EFAC，交 AB 于点 F设 PC=x，PE=y （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）是否存在点 P 使PEF 是 Rt？若存在，求此时的 x 的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1） 1 2 yx（0 x20）；（2）当 x=10 或 x=16，存在点 P 使PEF 是 Rt 【分析】（1）在 R
16、tABC 中，根据三角函数可求 y与 x 的函数关系式； （2）分三种情况：如图 1，当FPE=90 时，如图 2，当PFE=90 时，当PEF=90 时，进行讨论 可求 x 的值 如图 2， 当PFE=90 时， RtAPFRtABC， ARP=C=30 ， AF=402x， 平行四边形 AFEP 中， AF=PE， 即：402x= 1 2 x，解得 x=16； 当PEF=90 时，此时不存在符合条件的 RtPEF 综上所述，当 x=10 或 x=16，存在点 P 使PEF 是 Rt 【点评】考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，注意分类思 想的运用，综合
17、性较强，难度中等 考点：1相似三角形的判定与性质；2平行四边形的性质；3矩形的性质；4解直角三角形；5动点 型；6存在型；7分类讨论 9.（2017 四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 yaxbxc（a0）与 y 轴交与点 C（0， 3），与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为 x=1 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发，在 线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动， 其中一个点到达终点时， 另一个点也停止运动， 设M
18、BN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值； （3）在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值；若不存在， 请说明理由 【答案】 （1） 2 33 3 84 yxx ； （2）S= 2 99 105 tt，运动 1 秒使PBQ 的面积最大，最大面积是 9 10 ； （3）t= 24 17 或 t= 30 19 【解析】 （3）根据余弦函数，可得关于 t 的方程，解方程，可得答案 试题解析：（1）点 B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为 x=1，A（2，0），把点 A（2，0）、 B（4，0）、
19、点 C（0，3），分别代入 2 yaxbxc（a0），得： 4230 16430 ab ab ，解得： 3 8 3 4 3 a b c ， 所以该抛物线的解析式为： 2 33 3 84 yxx ； （2）设运动时间为 t 秒，则 AM=3t，BN=t，MB=63t由题意得，点 C 的坐标为（0，3）在 RtBOC 中， BC= 22 34=5 如图 1， 过点 N 作 NHAB 于点 H， NHCO， BHNBOC， HNBN OCBC ， 即 35 HNt ，HN= 3 5 t，SMBN= 1 2 MBHN= 1 2 （63t） 3 5 t，即 S= 2 99 105 tt = 2 99 (
20、1) 1010 t，当 PBQ 存在时，0t2，当 t=1 时，S PBQ 最大= 9 10 答：运动 1 秒使PBQ 的面积最大，最大面积是 9 10 ； （3）如图 2，在 RtOBC 中，cosB= 4 5 OB BC 设运动时间为 t 秒，则 AM=3t，BN=t，MB=63t 当MNB=90 时，cosB= 4 5 BN MB ，即 4 635 t t ，化简，得 17t=24，解得 t= 24 17 ； 当BMN=90 时，cosB= 634 5 t t ，化简，得 19t=30，解得 t= 30 19 综上所述：t= 24 17 或 t= 30 19 时，MBN 为直角三角形 考
21、点：1二次函数综合题；2最值问题；3二次函数的最值；4动点型；5存在型；6分类讨论；7压 轴题 10.（2017 山东省潍坊市）如图 1，抛物线cbxaxy 2 经过平行四边形 ABCD 的顶点 A（0，3）、B（ 1，0）、D（2，3），抛物线与 x 轴的另一交点为 E经过点 E 的直线 l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相 等两部分，与抛物线交于另一点 F点 P 在直线 l 上方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 t （1）求抛物线的解析式； （2）当 t 何值时，PFE 的面积最大？并求最大值的立方根； （3）是否存在点 P 使PAE 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在
22、，说明理由 【答案】（1） 2 23yxx ；（2）t= 13 10 时，PEF 的面积最大，最大值的立方根为17 10 ；（3）t 的值 为 1 或1 5 2 【解析】 （3）由题意可知有PAE=90 或APE=90 两种情况，当PAE=90 时，作 PGy 轴，利用等腰直角三角形 的性质可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；当APE=90 时，作 PKx 轴，AQPK，则可证得PKE AQP，利用相似三角形的性质可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值 试题解析： （1）由题意可得： 3 0 423 c abc abc ，解得： 1 2 3 a b c ，抛物线解析式为 2 23yxx
23、 ； （2）A（0，3），D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段 AC 的中点为（ 1 2 ， 3 2 ），直线 l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相等两部分，直线 l 过平行四边形的对称中心，A、D 关于对称轴对称，抛物线对称轴为 x=1，E（3，0），设直线 l 的解析式为 y=kx+m，把 E 点和对称中心 坐标代入可得： 13 22 30 km km ，解得： 3 5 9 5 k b ，直线 l 的解析式为 39 55 yx ，联立直线 l 和抛物 线解析式可得： 2 39 55 23 yx yxx ，解得： 3 0 x y 或 2 5 51 25 x y
24、，F（ 2 5 ， 51 25 ），如图 1，作 PHx 轴， 交 l 于点 M， 作 FNPH， P 点横坐标为 t， P （t， 2 23tt） ， M （t， 39 55 t） ， PM= 2 23tt （ 39 55 t）= 2 136 55 tt，S PEF =SPFM+SPEM= 1 2 PMFN+ 1 2 PMEH= 1 2 PM（FN+EH）= 1 2 （ 2 136 55 tt）（3+ 2 5 ）= 2 171328917 () 101010010 t，当 t= 13 10 时，PEF 的面积最大，其最大值为 28917 10010 ，最大值的立方根为3 289 17 100
25、10 =17 10 ； （3）由图可知PEA90，只能有PAE=90 或APE=90 ： 当PAE=90 时， 如图 2， 作 PGy 轴， OA=OE， OAE=OEA=45 ， PAG=APG=45 ， PG=AG， t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得 t=1 或 t=0（舍去）； 当APE=90 时，如图 3，作 PKx 轴，AQPK，则 PK=t2+2t+3，AQ=t，KE=3t，PQ=t2+2t+3 3=t2+2t， APQ+KPE=APQ+PAQ=90 ， PAQ=KPE， 且PKE=PQA， PKEAQP， PKKE AQPQ ，即 2 2 233 2 ttt ttt ，即 t2t1=0，解得 t=1 5 2 或 t=1 5 2 5 2 （舍去） 综上可知存在满足条件的点 P，t 的值为 1 或1 5 2 考点：1二次函数综合题；2动点型；3最值问题；4存在型；5分类讨论；6压轴题
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