1、“整体思想”的主要表现形式分类例析“整体思想”的主要表现形式分类例析 【专题综述】 在数学解题过程中，我们若能善于从大处着眼，由整体（或全局）入手，将一些看似彼此独立实质上又紧 密相关的数学对象视为一个整体去思考与分析，常常可以摆脱常规模式的羁绊，化难为易本文按“整体 思想”的主要表现形式分类例析，供参考 【方法解读】 一、整体代换 例 1 若 x23x10，则 2 42 1 x xx 的值为_ 分析 解出 x，再代入式中求值显然是不可取的观察题设和待求式的联系，可得如下方法： 点评 整体运作，可以减少运算量，法一运用“逐步降次法”，法二运用“取倒数法”，看似玄妙，其实 并非无中生有，都是建立
2、在整体感知已知条件和待求式的基础上完成的其中，法一将已知条件变形得到 一些“工具式”，再调整待求式，分离出这些“工具式”，巧妙代换，达到“降次”的目的，分离“工具 式”还可以采用如下方法：分离 x23x，以1 代换；分离 x21，以 3x 代换；分离 x23x1，以 0 代换； 分离 x2x1，以 4x 代换；分离 3x，以 x21 代换；分离 1，以 3xx2代换 二、整体消元 例 2 如图 1，在 RtABC 中，C90，AC4，BC2，分别以 AC、BC 为直径画半圆，则图中阴 影部分的面积为_（结果保留 ） 分析 利用 S1、a、S3共同构成小半圆，S1、b、S2共同构成大半圆，S1、
3、a、b 共同构成ABC，可得来源:Zxxk.Com S1S3a12； S1S2b22； S1ab 2 4； ，得 S1S2S3 5 2 4 点评 本例借用整体消元，大大减少运算量，使问题巧妙获解此外，还用到了方程这架通过“已知”称 量“未知”的数学天平，并通过对图形合理分割，整体组合，变“不标准图形”成“标准图形”，化难为 易 三、整体运算 例 3 已知 M、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y 1 2x 上，点 N 在直线 yx3 上，设点 M 的坐 标为（a，b），则二次函数 yabx2(ab)x() (A)有最大值，最大值为 9 2 (B)有最大值，最大值为 9 (C)有最小
4、值，最小值为 9 2 (D)有最小值，最小值为 9 分析 由 M(a，b)，知 N（a，b） 又 M 在双曲线上，则 ab； N 在直线上，则 ba3，即 ab3 1 2 1 2 1 2 1 2 于是，二次函数 yabx2(ab)x x23x (x3)2 9 2 ， 它有最大值，为 9 2 点评 本例考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，分别代入对应解析式，整体运算，求得 ab 和 ab 的值，从而构建二次函数式，开展下一步研究 四、整体观察 例 4 如图 2，在矩形 ABCD 中，AB10，BC5，点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折 叠，使点 A、D 分别落
5、在矩形 ABCD 外部的点 A1、D1处，则阴影部分图形的周长为() (A) 15 (B)20 (C)25 (D)30 分析 整体观察图形，由折叠过程可知阴影部分图形的周长为： EA1A1D1BCFCEBD1F EAADBCFCEBDF (EAEB)ADBC(FCDF) ABADBCCD 2(ABBC) 2(105)30 点评 整体观察主要针对图形（或数式）的构造特征，从中发现规律，进而巧妙组合，顺利实现化归，优 化思考，减化运算，本例的周长割补与组合，就源于这一点 五、整体联想 例 5 方程 2222 11111 32567129208xxxxxxxx 的解为_ 分析 把原方程各分母分解因式
6、，可得 1 2 1 2 点评 整体联想是在整体观察的基础上，结合问题的结构特征展开联想“相关”、“相似”、“相近”、 “因果”、“对比”等是联想的“桥梁”，善于联想可以为构造、完善图形（或数式）提供方法支撑，为 转化、变更问题提供突破思路 六、整体转化 例 6 如果三个方程 x22kx2k30，x2（k1）xk20，x2kxk0 中，至少有一个方程有实 根，求 k 的取值范围 分析 分别考虑三个方程实根的情况将难以处理，而如果整体分析，从反面考虑，则问题可以顺利实现转 化，设三个方程都没有实数根，则有： 即当 k3 或 k1 时，三个方程中至少有一个方程有实根 点评 对一些问题，要通过研究问题
7、的整体形式和结构特征，变更命题，整体转化处理，达到突破问题的 目的 七、整体补形 例 7 如图 3(1)，六边形 ABCDEF 的六个内角都相等若 AB1，BCCD3，DE2，则这个六边形的 周长等于_ 分析 题目所给的图形很不“标准”，难以下手！考察题、图特征，就能想到通过整体“补形”来完善原 图，把条件“化分散为集中”，迅速找到解题方法如图 3(2)(3)(4)(5)，易得原六边形周长为 15 点评 “整体补形”，让题目呈现出“统一”、“对称”、“和谐”的特征，达到化生为熟、化繁为简、 化难为易的目的 八 、整 体改造 例 8 如果正实数 a，b，c，d 满足(1)a2b2c2；(2)c
8、22 ada2，求证：abcd 分析 整体考虑题目所给条件，由(1)得到启示，如图 4，可构造 RtABC由条件(2)可联想到作斜边 AB 上的高 CD借助相似三角形的知识，容易证明 a2BDcc 22 ad， 即 a，b，c， d 满足条件， 再把ABC 面积算两次，可得 ABCDACBC，来源:Zxxk.Com 即 abcd 点评 本例通过整体考虑，化代数问题为几何问题，利用直观的形来分析抽象的数，降低了问题的抽象程 度，可谓出奇制胜 九 、整体操作 例 9 印刷一本书， 为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数， 可按如下方法操作： 先将一张整版的纸， 对折一次为 4 页，再对折一次为 8
9、 页，连续对折三次为 16 页，；然后再排页码如果想设计一本 16 页 1 2 1 2 的毕业纪念册，请你按图 5(1)、(2)、(3)(图中的 1，16 表示页码)的方法折叠，在表*中填上按这种折叠方法 得到的各页在该面相应位置上的页码 分析 采用整体操作的策略，把一张纸按图示方法折叠，然后按照要求先写上页码 1，16，再依序写上其它 页码，展开易知填法（见下表） 评注 大部分与几何体表面展开图、视图有关的抽象且不易着手 的数学问题，采取整体操作的方法均较易 获解，此法直观、易用 综上可见，从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、化生为熟、化难为易 【强化训练】 1.（2017 四川省
10、内江市）若实数 x 满足 2 210 xx ，则 32 2742017xxx= 【答案】2020 【解析】 点睛：本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思 想的利用比较重要 考点：1因式分解的应用；2降次法；3整体思想 2.（2016 山东省烟台市）已知220 xyxy，则 22 xy的值为 【答案】4 【解析】 试题分析：220 xyxy，xy+2=0，x+y2=0，xy=2，x+y=2， 22 xy=（x y）（x+y）=4故答案为：4 考点：1因式分解-运用公式法；2非负数的性质：绝对值；3非负数的性质：算术平方根；4整体思 想 3.（201
11、7 贵州省安顺市）已知3xy，6xy ，则 22 x yxy的值为 【答案】3 2 【分析】根据3xy，6xy ，可以求得 22 x yxy的值 【解析】3xy，6xy ， 22 x yxy=xy（x+y）=63 =18=3 2.故答案为：3 2 【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法，利用题目中的已知条件解答 考点：因式分解的应用 4.（2016 四川省眉山市）已知 2 340 xx，则代数式 2 4 x xx 的值是（ ） A3 B2 C 1 3 D 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析：已知等式整理得： 2 43xx，则原式= 3 x xx = 2 x x
12、= 1 2 ，故选 D 考点：1分式的值；2条件求值；3整体代入；4整体思想 5.（2017 浙江省嘉兴市）若二元一次方程组 453 3 yx yx 的解为 by ax ，则 ab=（ ） A1 B3 C 4 1 D 4 7 【答案】D 【解析】 考点：1二元一次方程组的解；2整体思想 6.（2016 宁夏）已知 x，y 满足方程组 612 328 xy xy ，则 x+y 的值为（ ） A9 B7 C5 D3 【答案】C 【解析】 考点：1二元一次方程组的解；2整体思想 7.在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(m，n)，m，n 满足(m21n2)(m23n2)8，则 OP 的长为（） A.
13、 5B. 1C. 5D. 5或 1 【来源】2017-2018 学年九年级数学人教版上册：第 21 章 一元二次方程 单元测试题 【答案】B 【解析】设t=m2+n2则由原方程，得（1+t）（3+t）=8，整理得 t2+4t-5=0，即（t+5）（t-1）=0，解得 t=-5 （舍去）或 t=1P（m，n），OP=m2+n2=1故选 B 8已知 m、n 是方程 x22x1=0 的两根，且（m22m+a）（3n26n7）=8，则 a 的值为（ ） A. 5B. 5C. 3D. 3 【来源】山东省日照市五莲县 2018 届九年级（上）期中数学试卷（word 版含答案解析） 【答案】C 【解析】试题
14、分析：将 m、n 代入方程可得： 22 2m12n1mn，则 2 36n3n ，将其代入所求 方程可得：(1+a)(3-7)=8，解得：a=-3，故选 C 9. 若（x2+ y 2-5）2=4，则 x2+ y2=_ 【来源】人教版初中数学九年级上册第二十一章配方法解一元二次方程练习题 【答案】3 或 7 【解析】解：（x2+ y2-5）2=4，x2+ y2-5= 2，x2+ y2-5=2 或 x2+ y2-5=2，x2+ y2=7或 x2+ y2=3故答案 为：3 或 7 10. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 253 4115 xy xy 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程变
15、形： 4105xyy即2 255xyy 把方程带入得： 2 351yy ， 把1y 代入得4x，方程组的解为 4 1 x y 请你解决以下问题： 1模仿小军的“整体代换”法解方程组 325 9419 xy xy 2已知xy，满足方程组 22 22 321247 2836 xxyy xxyy i求 22 4xy的值； ii求 11 2xy 的值 【来源】首发云南民族大学附属中学 2018 届九年级 12 月月考数学试题 【答案】（1） 3 2 x y ；（2） i17； 5 4ii 试题解析： 1把方程变形： 3 32219xyy， 把代入得： 15219y，即2y ， 把2y 代入得： 3x ， 则方程组的解为 3 2 x y ； 2i由得： 22 34472xyxy，即 22 472 4 3 xy xy ， 把代入得： 472 236 3 xy xy ， 解得： 2xy ， 则 22 417xy； 22 417iixy， 222 (2 )4417825xyxyxy， 25xy 或25xy ， 则 1125 224 xy xyxy
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