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    2021年中考数学分类专题突破专题25 四边形中的平移综合问题(解析版)

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    2021年中考数学分类专题突破专题25 四边形中的平移综合问题(解析版)

    1、专题专题 25 25 四边形中的平移综合问题四边形中的平移综合问题 1、如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,且 ADBC,连接 BD,现将三角形 ABD 平移到三角形 ECF 的位 置 (1)指出平移的方向和平移的距离; (2)求证:AFAD+BC; (3)若 ADBC,三角形 ABD 的面积为 15,求四边形 ABCF 的面积 解:(1)平移的方向是点 B 到点 C 的方向,平移的距离是线段 BC 的长度; (2)ABD 平移到 ECF 的位置, DFBC, AD+DFAF, AD+BCAF (3)ADBC,三角形 ABD 的面积为 15, 三角形 BDC 的面积为, DFBC, 三角形

    2、 DCF 的面积为, S梯形ABFD15+60 2、如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,且 ADBC,连接 BD,现将三角形 ABD 平移到三角形 ECF 的位 置 (1)指出平移的方向和平移的距离; (2)求证:AFAD+BC; (3)若 ADBC,三角形 ABD 的面积为 15,求四边形 ABCF 的面积 解:(1)平移的方向是点 B 到点 C 的方向,平移的距离是线段 BC 的长度; (2)ABD 平移到 ECF 的位置, DFBC, AD+DFAF, AD+BCAF (3)ADBC,三角形 ABD 的面积为 15, 三角形 BDC 的面积为, DFBC, 三角形 DCF 的面积为,

    3、 S梯形ABFD15+60 3、阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题, 如图 1, 在梯形 ABCD 中, ADBC, 对角线 AC, BD 相交于点 O 若梯形 ABCD 的面积为 1,试求以 AC,BD,AD+BC 的长度为三边长的三角形的面积 小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算 其面积即可他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题他的方法是过 点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E,得到的 BDE 即是以 AC,BD,AD+BC 的长度为三边长的 三角形(如图 2) 参考小伟同学的思考问题的方法,

    4、解决下列问题: 如图 3, ABC 的三条中线分别为 AD,BE,CF (1) 在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD, BE, CF 的长度为三边长的一个三角形 (保留画图痕迹) ; (2)若 ABC 的面积为 1,则以 AD,BE,CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 解: BDE 的面积等于 1 (1)如图以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形是 CFP (2)平移 AF 到 PE,可得 AFPE,AFPE, 四边形 AFEP 为平行四边形, AE 与 PF 互相平分,即 M 为 PF 的中点, 又APFNBC,F 为 AB 的中点, N 为 PC 的中点, E 为 PF

    5、C 各边中线的交点, PEC 的面积为 PFC 面积的 连接 DE,可知 DE 与 PE 在一条直线上 EDC 的面积是 ABC 面积的 所以 PFC 的面积是 1 3 以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 4、操作与探究: (1)点 P 为数轴上任意一点,对点 P 进行如下操作:先把点 P 表示的数乘以,再把所得数对应的点 向右平移个单位,得到点 P 的对应点 P 点 A,B 在数轴上,对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB,其中点 A,B 的对应点分别为 A,B,如图 1,若点 A 表示的数是3,则点 A表示的数是 ;若点 B表示的数是 2,则点 B 表示

    6、的数是 ;已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重合,则点 E 表示的数 是 (2)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的 横、 纵坐标都乘以同一种实数 a, 将得到的点先向右平移 m 个单位, 再向上平移 n 个单位 (m0, n0) , 得到正方形 ABCD及其内部的点,其中点 A,B 的对应点分别为 A,B,已知正方形 ABCD 内部的一个 点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合,请直接写出点 F 的坐标 解:(1)点 A:3 +11+10, 设点 B 表示的数为 a,则a+12,

    7、解得 a3, 设点 E 表示的数为 b,则b+1b, 解得 b; 故答案为:0,3,; (2)根据题意,得:, 解得:, 设点 F 的坐标为(x,y), 对应点 F与点 F 重合, x+x,y+2y, 解得 x1,y4, 所以,点 F 的坐标为(1,4) 5、如图,已知射线 CDOA,点 E、点 F 是 OA 上的动点,CE 平分OCF,且满足FCAFAC (1)若OADC,判断 AD 与 OB 的位置关系,证明你的结论 (2)若OADC60 ,求ACE 的度数 (3)在(2)的条件下左右平行移动 AD,OEC 和CAD 存在怎样的数量关系?请直接写出结果(不 需写证明过程) 解:(1)CDO

    8、A, BCDO, OADC, BCDCDA, ADOB; (2)OADC60 , BCD60 , OCD120 , CDOA, DCACAO, FCAFAC, DCAFCA, CE 平分OCF, OCEFCE, ECF+ACFOCD60 , ACE60 ; (3)CAD+OEC180 , 理由:ADOC, CADOCA, OCAOCE+ACE60 +OCE, AECO+OCE60 +OCE, AECCAD, AEC+OEC180 , CAD+OEC180 6、已知 ABCD,点 C 在点 D 的右侧,ADC60 ,ABC、ADC 的平分线交于点 E (1)若点 B 在点 A 的左侧,如图 1,

    9、ABC,求BED 的大小(用含 的式子表示); 解:过点 E 作 EFAB, ABCD ABCDEF 请完成余下的解答过程 (2)将图 1 中的线段 BC 沿 DC 方向平移,当点 B 移动到点 A 的右侧时,如图 2,设ABC,请直接 写出BED 的大小 解:(1)如图 1,过点 E 作 EFAB, ABCD, ABCDEF, ABEBEF,FEDEDC, BEDBFE+FED, BEDABE+EDC, BE、DE 分别是ABC、ADC 的平分线, , ABC,ADC60 , ; (2), 理由:如图 2 所示,过 E 作 EFAB, ABCD, ABCDEF, ABEBEF,FED+EDC

    10、180 , ABC,ADC60 ,ABC、ADC 的平分线交于点 E, ABE,EDC30 , BEFABE,DEF180 EDC150 , BED360 BEFDEF360 150 210 7、如图 1,将线段 AB 平移至 DC,使点 A 与点 D 对应,点 B 与点 C 对应,连 AD、BC (1)填空:AB 与 CD 的位置关系为 ,BC 与 AD 的位置关系为 ; (2)点 E、G 都在直线 CD 上,AGEGAE,AF 平分DAE 交直线 CD 于 F, 如图 2,若 G、E 为射线 DC 上的点,FAG30 ,求B 的度数; 如图 3,若 G、E 为射线 CD 上的点,FAG,求

    11、C 的度数 解:(1)如图 1 中, ABCD,ABCD, 四边形 ABCD 是平行四边形, BCAD, 故答案为:ABCD,ADBC (2)如图 2 中, ABCD, BAGG, EGEA, GEAG, EAGBAG, FAEFAD, BAD2FAG, FAG30 , BAD60 , BCAD, B+BAD180 , B120 如图 3 中, ABCD, BAGAGE, EGEA, AGEEAG, EAGBAG, FAEFAD, BADEABEAD2(EAGEAF)2, 四边形 ABCD 是平行四边形, CBAD2 8、已知:BCOA,BA100 ,试回答下列问题: (1)如图,OB 与 A

    12、C 平行吗?为什么? (2)如图,若点 E、F 在 BC 上,且满足FOCAOC,并且 OE 平分BOF求EOC 的度数; (3)在(2)的条件下,若平行移动 AC,如图,那么OCB 与OFB 之间的关系并说明理 由 (1)证明:BCOA, B+O180 , O180 B80 , 而A100 , A+O180 , OBAC; (2)解:OE 平分BOF, BOEFOE, 而FOCAOC, EOF+COFAOB 80 40 ; (3)结论为:OFB2OCB; BCOA, OCBAOC,OFBAOF, FOCAOC, AOF2AOC, OFB2OCB 9、已知,BCOA,BA100 ,请解答下列问

    13、题: (1)如图 1 所示,求证:OBAC; (2) 如图 2, 若点 E、 F 在 BC 上, 且满足FOCAOC、 BOEFOE, 则EOC 的度数为 (直 接写结果) (3)在(2)的条件下,若OEBOCA,求OCA 的度数 (4)若如图 3 向左平行移动 AC,当 AC 移动到 OB 时停止运动,在整个移动的过程中,点 E、F 始终在 直线 BC 上,且满足FOCAOC、BOEFOE请问OCB 与OFB 会有怎样的数量关系?请 说明理由 解:(1)BCOA, B+O180 ; AB, A+O180 , OBAC (2)AB100 , 由(1)得BOA180 B80 ; FOCAOC,并

    14、且 OE 平分BOF, EOFBOF,FOC FOA, EOCEOF+FOC(BOF+FOA)BOA40 故答案为:40 ; (3)由(1)知:OBAC,OCABOC, 由(2)可以设:BOEEOF,FOCCOA, OCABOC2+ OEBEOC+ECO+2 OEBOCA 2+2 AOB80 ,20 OCA2+40 +20 60 (4)结论:OCB:OFB1:2理由为: BCOA, FCOCOA, 又FOCAOC, FOCFCO, OFBFOC+FCO2OCB, OCB:OFB1:2 10、如图 1,已知 l1l2,点 A,B 在直线 l1上,点 C,D 在 l2上,连接 AD,BCAE,CE

    15、 分别是BAD, BCD 的平分线,170 ,230 (1)求AEC 的度数; (2)如图 2,将线段 AD 沿线段 CD 方向平移,其他条件不变,求AEC 的度数 解:(1)如图 1,过点 E 作 EFl1, l1l2, EFl2, l1l2, BCD, 170 , BCD70 , CE 是BCD 的角平分线, ECD 70 35 , EFl2, FECECD35 , l1l2, BAD+2180 , 230 , BAD150 , AE 平分BAD, BAE 150 75 , EFl1, BAE+AEF180 , AEF105 , AEC105 +35 140 ; (2)如图 2,过点 E

    16、作 EFl1, l1l2, EFl2, l1l2, BCD1, 170 , BCD70 , CE 是BCD 的角平分线, ECD 70 35 , EFl2, FECECD35 , 同理可求AEF15 , AECAEF+CEF50 11、如图,点 C、M、N 在射线 DQ 上,点 B 在射线 AP 上,且 APDQ,DABC80 ,12, AN 平分DAM (1)试说明 ADBC 的理由; (2)试求CAN 的度数; (3)平移线段 BC 试问AMD:ACD 的值是否发生变化?若不会,请求出这个比值;若会,请找出相应变化规律; 若在平移过程中存在某种位置,使得ANDACB,试求此时ACB 的度数

    17、 解:(1)APDQ, D+DAB180 D80 , DAB100 ABC80 , DAB+ABC180 , ADBC; (2)AN 平分DAM, NAMNADDAM 12, CAMBAM NAM+CAMDAM+BAM, 即:CANDAB DAB100 , CAN50 , (3)不会 APDQ, AMDMAB21,ACD1, AMD:ACD2, APDQ,ADBC, ANDNAB,ACBDAC, ANDACB, NABDAC, NABNACDACNAC, 即:1DAN 12DANMAN25 , ACBDAC75 12、现有一副三角板,如图中,B90 ,A30 ;图中,D90 ,F45 ;图中,

    18、将 DEF 的直角边 DE 与 ABC 的斜边 AC 重合在一起,并将 DEF 沿 AC 方向移动(移动开始时点 D 与点 A 重 合) (1) DEF 在移动的过程中,若 D、E 两点始终在 AC 边上, F、 C 两点间的距离逐渐 ; 连接 FC, FCE 的度数逐渐 (填“不变”、 “变大”或“变小”) FCE 与CFE 度数之和是否为定值,请加以说明; (2) DEF 在移动的过程中,如果 D、E 两点在 AC 的延长线上,那么FCE 与CFE 之间又有怎样的 数量关系,请直接写出结论; (3)能否将 DEF 移动至某位置,使 F、C 的连线与 BC 垂直?求出CFE 的度数 解:(1

    19、)F、C 两点间的距离逐渐变小;连接 FC,FCE 的度数逐渐变大; 故答案为:变小,变大; FCE 与CFE 度数之和为定值; 理由:D90 ,DFE45 , 又D+DFE+FED180 , FED45 , FED 是 FEC 的外角, FCE+CFEFED45 , 即FCE 与CFE 度数之和为定值; (2)如图,FCE 与CFE 度数之和为定值; 理由:FDE90 ,F45 , 又FDE+F+FED180 , FED45 , FEG 是 FEC 的外角, FCE+CFEFEG135 , 即FCE 与CFE 度数之和为定值; (3)要使 FCBC,则需FCEA30 , 又CFE+FCE45

    20、 , CFE45 30 15 13、如图,回答下列问题 (1)将 ABC 沿 x 轴向左移一个单位长度,向上移 2 个单位长度, 则 A1的坐标为 ,B1的坐标为 ,C1的坐标为 (2)若 ABC 与 A2B2C2关于 x 轴对称,则 A2的坐标为 , B2的坐标为 ,C2的坐标为 解:(1)A(3,0),B(2,4),C(0,1), 将 ABC 沿 x 轴向左移一个单位长度,向上移 2 个单位长度,则 A1的坐标为(31,0+2),B1的坐标 为(21,4+2),C1的坐标为(01,1+2), 即:A1的坐标为(2,2),B1的坐标为(3,6),C1的坐标为(1,1), 故答案为:(2,2)

    21、,(3,6),(1,1); (2)若 ABC 与 A2B2C2关于 x 轴对称,则 A2的坐标为(3,0), B2的坐标为(2,4),C2的坐标为(0,1), 故答案为:(3,0),(2,4),(0,1) 14、按要求画图 (1)在图 1 中分别画出点 A、点 B 到直线 CD 的垂线段 AE、BF (2)如图 2,已知三角形 ABC,点 D 为点 A 的对应点,过点 D 作三角形 ABC 平移后的三角形 DEF 解:(1)如图所示; (2) DEF 如图所示 15、 在平面直角坐标系中, A、 B 两点的坐标分别为 A (1, a) 、 B (b, 1) , 且实数 a、 b 满足+ 0 (

    22、1)求 a,b 的值; (2)平移线段 AB 至线段 PQ 处(A 的对应点为 P),使得点 P、Q 正好都在坐标轴上,求点 P,Q 的坐 标; (3)点 C(3,c),c0,D 是 x 轴负半轴上任一点,连接 OC,OM 平分DOC,ONOM,(ON 在 x 轴上方),CECO,交 x 轴正半轴于点 E,当 c 的值发生变化时,探究NOD 与OEC 之间的数量 关系,并说明理由 解:(1)+0, a30,4b0, a3,b4; (2)a3,b4, A(1,3)、B(4,1), x 轴上点的纵坐标为 0,y 轴上点的横坐标为 0, 如果平移线段 AB 至线段 PQ 处(A 的对应点为 P),使得点 P、 Q 正好都在坐标轴上, 可分两种情况: P 在 y 轴上,Q 在 x 轴上, 将线段 AB 先向左平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位,此时 P(0,2),Q(3,0); P 在 x 轴上,Q 在 y 轴上, 将线段 AB 先向下平移 3 个单位,再向左平移 4 个单位,此时 P(3,0),Q(0,2); (3)2NOD+OEC90 理由如下: OM 平分DOC, DOMMOC,设DOMMOC ONOM, NOD90 , EOC180 2, CECO, OCE90 , OEC90 EOC90 (180 2)290 , 2NOD+OEC2(90 )+(290 )90


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