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    2021年中考数学分类专题突破专题23 四边形中的旋转综合问题(解析版)

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    2021年中考数学分类专题突破专题23 四边形中的旋转综合问题(解析版)

    1、专题专题 23 23 四边形中的旋转综合问题四边形中的旋转综合问题 1、如图(1),将正方形 ABCD 与正方形 GECF 的顶点 C 重合,当正方形 GECF 的顶点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上时,的值为 如图(2),将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 a 角(0 a45 ),猜测 AG 与 BE 之间的数量关 系,并说明理由 如图(3),将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 a 角(45 a90 )使得 B、E、G 三点在一条直线 上,此时 tanGAC,AG6,求 BCE 的面积 解:(1)如图中, ACBC,CG EC, AGACCGBCECBE, ,

    2、 故答案为: (2)结论: 如图中,所示,连接 CG ACGBCE, ACGBEC, , (3)如图中,连接 CG,、 ACGBEC, GACEBCAGCBEC90 , AG6, BE , tanEBCtanGAC, EBC30 , 在 Rt BEC 中,tanEBC EC , , 2、如图 1, ABC 是等腰直角三角形,BAC90 ,ABAC,四边形 ADEF 是正方形,点 B、C 分别在 边 AD、AF 上 (1)当 ABC 绕点 A 逆时针旋转 (0 90 )时,如图 2,求证:BDCF; (2)当 ABC 绕点 A 逆时针旋转 45 时,如图 3,延长 DB 交 CF 于点 H连接

    3、BF、DF,延长 AB 交 DF 与 M,连接 HM找出所有与MHB 和为 45 度的角 (l)证明:如图 2 中, 由旋转得:ACAB,CAFBAD;AFAD, 在 ABD 和 ACF 中, , ABDACF(SAS), BDCF (2)解:如图 3 中,设 AF 交 DH 于 J ABDACF, AFCADB, FJHAJD, FHJDAJ90 , BADBAF45 ,AFAD, AMDF,NFMD, BFBD, BFMBDM, BMFBHF90 , B,M,F,H 四点共圆, MHBBFM, AFB+DFB45 ,ADB+BDF45 , 与MHB 和为 45 度的角有AFB,ADB,AF

    4、C 3、如图,已知点 A (0,8),B (16,0),点 P 是 x 轴上的一个动点(不与原点 O 重合),连结 AP, 把 OAP 沿着 AP 折叠后,点 O 落在点 C 处,连结 PC,BC,设 P(t,0) (1)如图 1,当 APBC 时,试判断 BCP 的形状,并说明理由 (2)在点 P 的运动过程中,当PCB90 时,求 t 的值 (3)如图 2,过点 B 作 BH直线 CP,垂足为点 H,连结 AH,在点 P 的运动过程中,是否存在 AH BC?若存在,求出 t 的值:若不存在,请说明理由 解:(1)等腰三角形, 理由如下:APBC, APCBCP,APOCBP, OAP 沿着

    5、 AP 折叠, APOAPC, PCBPBC, PCPB, BCP 是等腰三角形; (2)当 t0 时,如图, OAP 沿着 AP 折叠, AOPACP90 ,OPPCt, ACP+BCP180 , 点 A,点 C,点 B 三点共线, 点 A (0,8),B (16,0), OA8,OB16, AB 8, tanABO , , t44; 当 t0 时,如图, 同理可求:t44; (3)OAP 沿着 AP 折叠, ACAO8,ACPAOP90 , BHCP, ACPBHC90 , AHBC,CHCH, Rt ACHRt BHC(HL) ACBH, 四边形 AHBC 是平行四边形, 如图 2,当

    6、0t16 时,点 H 在 PC 上时,连接 AB 交 CH 于 G, 四边形 AHBC 是平行四边形, AGBG4,HGCG,ACBH8, HG4, 在 Rt PHB 中,PB2BH2+PH2, (16t)264+(t8)2 , t8; 如图 3,当 0t16 时,点 H 在 PC 的延长线上时, 四边形 AHBC 是平行四边形, AGBG4,HGCG,ACBH8, HG4, 在 Rt PHB 中,PB2BH2+PH2, (16t)264+(t+8)2 , t ; 如图 4,当 t0 时, 同理可证:四边形 ABHC 是平行四边形, 又AHBC, 四边形 ABHC 是矩形, ACBH8,ABC

    7、H4, 在 Rt PHB 中,PB2BH2+PH2, (16t)264+(t+8)2 , t168; 当 t16 时,如图 5, 四边形 ABHC 是矩形, ACBH8,ABCH8,CPOPt, 在 Rt PHB 中,PB2BH2+PH2, (t16)264+(t8)2 , t16+8 综上所述:当 t8 或或 168或 16+8时,存在 AHBC 4、如图,在 ABC 中,高 AD3,B45 ,tanC,动点 F 从点 D 出发,沿 DA 方向以每秒 1 个单位 长度的速度向终点 A 运动,当点 F 与点 A、D 不重合时,过点 F 作 AB、AC 的平行线,与 BC 分别交于 点 E、G,

    8、将 EFG 绕 FG 的中点旋转 180 得 HGF,设点 F 的运动时间为 t 秒, HGF 与 ABC 重叠 部分面积为 S (1)当 t 秒时,点 H 落在 AC 边上; (2)求 S 与 t 的函数关系式; (3)当直线 FG 将 ABC 分为面积比为 1:3 的两部分时,直接写出 t 的值 解:(1)如图,当点 H 落在 AC 边上时, ADBC,AD3,B45 ,tanC, BD3,CD6, BC9, EFAB,FGAC, , , DEt,DG2t, EG3t, 将 EFG 绕 FG 的中点旋转 180 得 HGF, EFGH,EGFH, 四边形 EFHG 是平行四边形, FHEG

    9、3t,FHEC, 若点 H 落在 AC 边上, AHFC, tanAHF , , t , 故答案为:; (2)当 0t时,S FH DF 3t tt2, 当t3 时,如图,设 FH 与 AC 交于点 N,HG 与 AC 交于点 P,过点 F 作 FMAC 于 M, 四边形 EFHG 是平行四边形, FHBC, 又FGAC, 四边形 FNCG 是平行四边形, FNGC62t, NH3t(62t)5t6, FDt,DG2t, FG t, FGAC, HNPHFG, , NP , FGAC, DACDFG, sinDACsinDFG, , FM(3t), S FM (NP+FG) (3t) (t+)

    10、t2+10t6; (3)如图,延长 GF 交 AB 于 R,过点 R 作 ROBD 于 O, S ABC BC AD, S ABC 9 3, FGDC, tanCtanFGD, OG2RO, BDAD3,ADBC, B45 , 又ROBD, BRO 是等腰直角三角形, ROBO, BG3RO, 直线 FG 将 ABC 分为面积比为 1:3 的两部分, S BRGS ABC或 S BRGS ABC, 当 S BRGS ABC, BG RO, RO , BG3 3+2t, t , 当 S BRGS ABC, BG RO, RO , BG33+2t, t 5、已知线段 AB,如果将线段 AB 绕点

    11、A 逆时针旋转 90 得到线段 AC,则称点 C 为线段 AB 关于点 A 的逆 转点点 C 为线段 AB 关于点 A 的逆转点的示意图如图 1: (1)如图 2,在正方形 ABCD 中,点 为线段 BC 关于点 B 的逆转点; (2)如图 3,在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为(x,0),且 x0,点 E 是 y 轴上一点,点 F 是线段 EO 关于点 E 的逆转点,点 G 是线段 EP 关于点 E 的逆转点,过逆转点 G,F 的直线与 x 轴交于 点 H 补全图; 判断过逆转点 G,F 的直线与 x 轴的位置关系并证明; 若点 E 的坐标为(0,5),连接 PF、PG,设 PF

    12、G 的面积为 y,直接写出 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围 解:(1)由题意,点 A 是线段 AB 关于点 B 的逆转点, 故答案为 A (2)图形如图 3 所示 结论:GFx 轴 理由:点 F 是线段 EF 关于点 E 的逆转点,点 G 是线段 EP 关于点 E 的逆转点, OEFPEG90 ,EGEP,EFEO, GEFPEO, GEFPEO(SAS), GFEEOP, OEOP, POE90 , GFE90 , OEFEFHEOH90 , 四边形 EFHO 是矩形, FHO90 , FGx 轴 如图 41 中,当 0 x5 时, E(0,5), OE5, 四

    13、边形 EFHO 是矩形,EFEO, 四边形 EFHO 是正方形, OHOE5, yFGPH x(5x)x2+x 如图 42 中,当 x5 时, yFGPH x(x5)x2x 综上所述, 6、如图 1,在等腰 Rt ABC 中,BAC90 ,ABAC2,点 M 为 BC 中点点 P 为 AB 边上一动点,点 D 为 BC 边上一动点,连接 DP,以点 P 为旋转中心,将线段 PD 逆时针旋转 90 ,得到线段 PE,连接 EC (1)当点 P 与点 A 重合时,如图 2 根据题意在图 2 中完成作图; 判断 EC 与 BC 的位置关系并证明 (2)连接 EM,写出一个 BP 的值,使得对于任意的

    14、点 D 总有 EMEC,并证明 解:(1)图形如图 2 中所示: 结论:ECBC 理由:ABAC,BAC90 , BACB45 , EADBAC90 , BADCAE, ADAE, BADCAE(SAS), BACE45 , BCEACB+ACE90 , ECBC (2)当 BP时,总有 EMEC 理由:如图 3 中,作 PSBC 于 S,作 PNPS,并使得 PNPS,连接 NE,延长 NE 交 BC 于 Q,连接 EM,EC PDPE,DPESPN90 , DPSEPN, DPSEPN(AAS), PSDN90 , PEQPSQSPN90 , 四边形 PNQS是矩形, PSPN, 四边形

    15、PNQS 是正方形, BP,B45 ,AB2, BSPS,BC2 , BQ2BS,QC , M 是 BC 的中点, MC , MQQC , EQCM, NQ 是 CM 的垂直平分线, EMEC 7、已知,如图, ABC 是等边三角形 (1)如图 1,将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 90 ,得到 AD,连接 BD,BAC 的平分线交 BD 于点 E, 连接 CE 求AED 的度数; 用等式表示线段 AE、CE、BD 之间的数量关系(直接写出结果) (2)如图 2,将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90 ,得到 AD,连接 BD,BAC 的平分线交 DB 的延长线 于点 E,连接 CE 依题

    16、意补全图 2; 用等式表示线段 AE、CE、BD 之间的数量关系,并证明 (1)解:如图 1 中, ABC 是等边三角形, ABAC,BAC60 , AE 平分BAC, BAEBAC30 , 由旋转可知:ADAC,CAD90 ABAD,BAD150 , ABDD15 , AEDABD+BAE45 结论: 理由:作 CKBC 交 BD 于 K,连接 CD ABAC,BAECAE,AEAE, AEBAEC(SAS), BEEC,AEBAEC135 , BEC90 , EBCECB45 , BCK90 , CKBCBE45 , CBCE, CEBK, BEEK, ADC45 ,ADB15 , CDK

    17、CAE30 , CKDAEC135 , CDKCAE, , DKAE, BDBK+DK2BE+AE (2)解:图形如图 2 所示: 结论: 理由:过点 A 作 AFAE,交 ED 的延长线于点 F(如图 3) ABC 是等边三角形, ABAC,BAC60 , AE 平分BAC, 1BAC30 , 由旋转可知:ADAC,CAD90 , ABAD,2CADBAC30 , 3475 , 54145 , AFAE, F45 5, AFAE, EFAE, 6EAF1230 , 6130 , 又F545 ,ADAB, ADFABE(SAS), DFBE, ABAC,AE 平分BAC, AE 垂直平分 BC

    18、, CEBE, BDEFDFBE, BDAE2CE 8、如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点,连接 DE,将 DE 绕着点 E 逆时针旋转 90 ,得到 EG,过 点 G 作 GFCB,垂足为 F,GHAB,垂足为 H,连接 DG,交 AB 于 I (1)求证:四边形 BFGH 是正方形; (2)求证:ED 平分CEI; (3)连接 IE,若正方形 ABCD 的边长为 3,则 BEI 的周长为 (1)证明:四边形 ABCD 是正方形, BCCD,DCEABCABF90 , GFCF,GHAB, FGHBFBH90 , 四边形 FBHG 是矩形, EDEG,DEG90 , DEC

    19、+FEG90 ,DEC+EDC90 , FEGEDC, FDCE90 , DCEEFG(AAS), FGEC,EFCD, CBCD, EFBC, BFEC, BFGF, 四边形 FBHG 是正方形 (2)证明:延长 BC 到 J,使得 CJAI DADC,ADCJ90 ,AICJ, DAIDCJ(SAS), DIDJ,ADICDJ, IDJADC90 , IDE45 , EDIEDJ45 , DEDE, IDEJDE(SAS), DEIDEJ, DE 平分IEC (3)解:IDEJDE, IEEJ, EJEC+CJ,AICJ, IEECAI, BIE 的周长BI+BE+IEBI+AI+BE+E

    20、C2AB6 故答案为 6 9、 在菱形 ABCD 中, ABC60 , 点 P 是对角线 BD 上一动点, 将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 120 到 CQ, 连接 DQ连接 QP 并延长,分别交 AB、CD 于点 M,N (1)如图 1,求证: BCPDCQ; (2)如图 2,已知 PMQN;若 MN 的最小值为,求菱形 ABCD 的面积 (1)证明:四边形 ABCD 是菱形, BCDC,ABCD, PBMPBCABC30 ,ABC+BCD180 , BCD180 ABC120 由旋转的性质得:PCQC,PCQ120 , BCDDCQ, BCPDCQ, 在 BCP 和 DCQ 中, ,

    21、BCPDCQ(SAS); (2)解:过点 C 作 CGPQ 于点 G,连接 AC, PCQC,PCQ120 , PCG60 ,PGQG, PGPC, PQPC PMQN, MNPQPC, 当 PCBD 时,PC 最小,此时 MN 最小, PC2,BC2PC4, 菱形 ABCD 中,ABC60 , ABC 是等边三角形, 4, 菱形 ABCD 的面积2S ABC2 48; 10、四边形 ABCD 是正方形,PA 是过正方形顶点 A 的直线,作 DEPA 于 E,将射线 DE 绕点 D 逆时针旋 转 45 与直线 PA 交于点 F (1)如图 1,当PAD45 时,点 F 恰好与点 A 重合,则的

    22、值为 ; (2)如图 2,若 45 PAD90 ,连接 BF、BD,试求的值,并说明理由 解:(1)PAD45 ,DEAP, DAEEDA, AEDE, ADAE, 四边形 ABCD 是正方形, ADABBFAE, ; (2)过点 B 作 BHAP 于 H, 四边形 ABCD 是正方形, ADAB,ABD45 ,BAD90 , BAH+DAE90 , 又BAH+ABH90 , ABHDAE, 又ADAB,DEAAHB90 , ADEBAH(AAS), AEBH, 将射线 DE 绕点 D 逆时针旋转 45 与直线 PA 交于点 F, EDF45 , EFD45 ABD, 点 A,点 F,点 B,

    23、点 D 四点共圆, BFHADB45 , 又BHAP, FBHBFH45 , BHFH, BFBHAE, 11、如图,在矩形 ABCD 中,AB6,BC8,四边形 EFGH 是正方形,EH 与 BD 重合,将图中的正 方形 EFGH 绕着点 D 逆时针旋转 (1) 旋转至如图位置, DE 交 BC 于点 L 延长 BC 交 FG 于点 M, 延长 DC 交 EF 于点 N 试判断 DL EN、 GM 之间满足的数量关系,并说明理由: (2)旋转至如图位置,使点 G 落在 BC 的延长线上,DE 交 BC 于点 L,连接 BE,求 BE 的长 解:(1)DLEN+GM 证明:如图 1,过点 G

    24、作 GKBM, 四边形 EFGD 是正方形, DEFDGFEDG90 ,DGDE, EDN+NDGNDG+DGK90 , EDNDGK, DKGEND(ASA), ENDK, 在平行四边形 DKMG 中,GMKL, DLDK+KL, DLEN+GM; (2)如图 2,过点 E 作 EPBG 于点 P, 在 Rt DCG 中,CD6,DG10,CG8, tanCGD , CDLCGD, tanCDL , 在 Rt CDL 中,LC,DL, BL8,EL10 , 同理,在 Rt ELP 中,PE2,PL, BP2, 在 Rt BPE 中,BE2 12、在矩形 ABCD 中,ADAB,连接 AC,线

    25、段 AC 绕点 A 逆时针 90 旋转得到线段 AE,平移线段 AE 得到 线段 DF(点 A 与点 D 对应,点 E 与点 F 对应),连接 BF,分别交 AD,AC 于点 G,M,连接 EF (1)依题意补全图形 (2)求证:EGAD (3)连接 EC,交 BF 于点 N,若 AB2,BC4,设 BMa,NFb,试比较(a+1)(b+1)与 9+6 之间的大小关系,并证明 (1)解:图形如图 1 所示: (2)证明:如图 2 中,过点 A 作 AHFE 交 FE 的延长线于 H EFAD,H90 , HAD180 H90 , 四边形 ABCD 是矩形, BADADC90 ,ABCD,BCA

    26、D, CAEDAH90 , HAEDAC, HADC90 ,AEAC, AHEADC(AAS), EHCDAB,AHADEF, DAH+BAD180 , B,A,H 共线, AHEF,EHAB, HBHF, HBFHFB45 , AGBABG45 , ABAG, EHAG, EHAG, 四边形 AHEG 是平行四边形, H90 , 四边形 AHEG 是矩形, AGE90 , EGAD (3)解:如图 3 中,过点 A 作 AHFE 交 FE 的延长线于 H 由(2)可知,ABBG2, BAG90 , BGAB2 , AGBC, , aBMBG , 由(2)可知,BHHF2+46, H90 , BF6, EFBC, NEFNCB, ENFCNB,EFBC, ENFCNB(AAS), bNFBF3 , (a+1)(b+1)(+1)(3+1)8+3+19+9+6, (a+1)(b+1)9+6


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