1、2021 年山东省济宁市中考数学三模试卷年山东省济宁市中考数学三模试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的的四个选项中，只有一项符合题分在每小题给出的的四个选项中，只有一项符合题 目要求目要求 1 （3 分）下列运算结果是 a4的是（ ） A2a6（2a2） Ba2+a2 C （2a）2 D（a2）2 2 （3 分）2020 年 17 月份安徽实现进出口 392.5 亿美元，将 392.5 亿用科学记数法表示为（ ） A3.925108 B3.925109 C3.9251010 D39.251010 3 （3 分）
2、有一组数据 2，5，3，7，2，6，3，则下列结论错误的是（ ） A平均数为 4 B中位数为 3 C极差为 5 D众数为 2 4 （3 分）已知二元一次方程组，则 m+n 的值是（ ） A1 B0 C2 D1 5 （3 分）如图，直线 lm，等腰 RtABC，直角顶点 C 在直线 l 上，另一个顶点 B 在直线 m 上，若1 28，则2（ ） A17 B62 C73 D75 6 （3 分）根据如图所示的计算程序计算函数 y 的值，若输入 m1，n2 时，则输出 y 的值是 3，若输 入 m4，n3 时，则输出 y 的值是（ ） A5 B1 C1 D13 7 （3 分）小宏用直角三角板检查某些工
3、件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是 （ ） A B C D 8 （3 分）如图，在ABC 中，中线 BE，CD 相交于点 O，连接 DE，下列结论：； ；，其中正确的结论是有（ ）个 A1 B2 C3 D4 9 （3 分）如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y的图象上，第二象限内的点 B 在反比例函数 y 的图象上，且 OAOB，cosA，则 k 的值为（ ） A3 B4 C D2 10 （3 分）欧几里得在几何原本中，记载了用图解法解方程 x2+axb2的方法，类似地我们可以用折纸 的方法求方程 x2+x10 的一个正根如图，一张边长为 1 的正方形的纸片 AB
4、CD，先折出 AD、BC 的 中点 G、H，再折出线段 AN，然后通过沿线段 AN 折叠使 AD 落在线段 AH 上，得到点 D 的新位置 P， 并连接 NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程 x2+x10 的一个正根，则 这条线段是（ ） A线段 BH B线段 DN C线段 CN D线段 NH 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分 11 （3 分）把多项式 16m3mn2分解因式的结果是 12 （3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90到矩形 ABCD的位置，AB2，AD 4，则阴
5、影部分的面积为 13 （3 分）若关于 x 的方程+2 的解为正数，则 m 的取值范围是 14 （3 分）如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 tanABC 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，AC3，点 D 是 BC 上一动点，连接 AD，将 ACD 沿 AD 折叠，点 C 落在点 E 处，连接 DE 交 AB 于点 F，连接 BE，当DEB 是直角三角形时，DE 的长为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 55 分分 16 （6 分）计算：14|1|+（1.414）0+2sin60（） 1 17 （6 分）某校七年级有学生 4
6、00 人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了 20 名学生，进行 安全教育考试，测试成绩（百分制）如下： 71，94，87，92，55，94，98，78，86，94 62，99，94，51，88，97，94，98，85，91 （1）请补全七年级 20 名学生安全教育测试成绩频数分布直方图； （说明；成绩 90 分及以上为优秀，8089 为良好，80 分以下为不合格） （2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 85.4 55% （3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为 人 （4）学校有安全教育老师男女各 2 名，现从这
7、 4 名老师中随机挑选 2 名参加“安全教育”宣传活动，请 用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率 18 （7 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 A 出发，沿 ADCB 的路径运动设点 P 运动的路 程为 x，PAB 的面积为 y图 2 反映的是点 P 在 ADC 运动过程中，y 与 x 的函数关系请根据图象 回答以下问题： （1）矩形 ABCD 的边 AD ，AB ； （2）写出点 P 在 CB 运动过程中 y 与 x 的函数关系式，并在图 2 中补全函数图象 19 （8 分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌 CD、小明在山
8、坡的 坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60， 然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45 已 知山坡 AB 的坡度 i1：， （斜坡的铅直高度与水平宽度的比） ，经过测量 AB10 米，AE15 米， （1）求点 B 到地面的距离； （2）求这块宣传牌 CD 的高度 （测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC，AC 分别交于 D，E 两点，点 D 作 DHAC 于点 H （1）判断 DH 与O 的位置关系，并说明理由； （2）当 cosC，BC10 时，求的值 21 （9 分）问题引入（1）如图 1，在正方形
9、ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 两边上的点，且 AEBF， 垂足为点 P求证：AEBF； 类比探究（2）如图 2，把（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，且 AD2AB，其余条件不变，请你 推断 AE、BF 满足怎样的数量关系，并说明你的理由； 实践应用（3）如图 3，RtABC 中，BAC30，把ABC 沿斜边 AC 对折得到 RtADC，E、F 分 别为 CD、AD 边上的点，连接 AE、BF，恰好使得 AEBF，垂足为点 P请求出的值 22 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） 、B 两点，与 y 轴交 于点 C，
10、AB4，点 D 为抛物线顶点 （1）求抛物线解析式； （2）点 E 在此抛物线的对称轴上，当|BECE|最大时，求 E 点的坐标和此时AEC 的面积 （3）证明：BADACB 2021 年山东省济宁市中考数学三模试卷年山东省济宁市中考数学三模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的的四个选项中，只有一项符合题分在每小题给出的的四个选项中，只有一项符合题 目要求目要求 1 （3 分）下列运算结果是 a4的是（ ） A2a6（2a2） Ba2+a2 C （2a）2 D（a2）2 【
11、分析】分别根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则逐 一判断即可 【解答】解：A、2a6（2a2）a4，故本选项符合题意； B、a2+a22a2，故本选项不符合题意； C、 （2a）24a2，故本选项不符合题意； D、（a2）2a4，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答 本题的关键 2 （3 分）2020 年 17 月份安徽实现进出口 392.5 亿美元，将 392.5 亿用科学记数法表示为（ ） A3.925108 B3.925109 C3.9251010 D39.251
12、010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：392.5 亿392500000003.925109 故选：B 【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）有一组数据 2，5，3，7，2，6，3，则下列结论错误的是（ ） A平均数为 4 B中位数为
13、3 C极差为 5 D众数为 2 【分析】利用算术平均数的计算公式求得平均数，排序后找到中间位置的数是中位数，最大值与最小值 的差为极差，出现次数最多的数为众数分别求得答案后即可 【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，3，5，6，7， 则中位数为：3， 众数为：2 和 3， 平均数为：4， 极差为：725 故选：D 【点评】本题考查了极差、平均数、中位数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念 4 （3 分）已知二元一次方程组，则 m+n 的值是（ ） A1 B0 C2 D1 【分析】此题求的是 m+n 的值，根据方程组可以解出 m，n 的值，进一步求得 m+n 的值
14、或两个方程相减 整体求得 m+n 的值 【解答】解：由， 两个方程相减，得 mn1， m+n1 故选：D 【点评】此题考查的是对二元一次方程组的理解和运用，注意整体思想的渗透 5 （3 分）如图，直线 lm，等腰 RtABC，直角顶点 C 在直线 l 上，另一个顶点 B 在直线 m 上，若1 28，则2（ ） A17 B62 C73 D75 【分析】根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可 【解答】解：ABC 是等腰直角三角形， ABC45， EBCA+ABC73， lm， 2EBC73， 故选：C 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
15、，属 于中考常考题型 6 （3 分）根据如图所示的计算程序计算函数 y 的值，若输入 m1，n2 时，则输出 y 的值是 3，若输 入 m4，n3 时，则输出 y 的值是（ ） A5 B1 C1 D13 【分析】将 m1，n2，y3 代入 y中求出 b7，再将 m4，n3 代入 y2nb 中即可求 解 【解答】解：输入 m1，n2 时，输出 y 的值是 3， 3， 解得 b7， m4，n3， y2nb2371 故选：B 【点评】本题考查函数值；熟练掌握函数值的求法是解题的关键 7 （3 分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是 （ ） A B C
16、D 【分析】根据 90的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案 【解答】解：根据 90的圆周角所对的弧是半圆，显然 A 正确， 故选：A 【点评】本题考查了圆周角定理、圆周角的概念；理解圆周角的概念，掌握圆周角定理的推论，把数学 知识运用到实际生活中去 8 （3 分）如图，在ABC 中，中线 BE，CD 相交于点 O，连接 DE，下列结论：； ；，其中正确的结论是有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据三角形的中位线定理推出 DEBC，利用平行线分线段成比例定理即可一一判断 【解答】解：ADDB，AEEC， DEBC，DE：BC1：2， ，故正确， 设 SDOES，则 SEOC2S，SBO
17、C4s， ，故错误， DEBC， 1，故错误， 故选：B 【点评】 本题考查三角形中位线定理、 平行线的性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 9 （3 分）如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y的图象上，第二象限内的点 B 在反比例函数 y 的图象上，且 OAOB，cosA，则 k 的值为（ ） A3 B4 C D2 【分析】过 A 作 AEx 轴，过 B 作 BFx 轴，由 OA 与 OB 垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余， 再由直角三角形 BOF 中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两 对对应角相等的三角形相似
18、得到三角形 BOF 与三角形 OEA 相似，在直角三角形 AOB 中，由锐角三角函 数定义，根据 cosBAO 的值，设出 AB 与 OA，利用勾股定理表示出 OB，求出 OB 与 OA 的比值，即为 相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由 A 在反比例函数 y上，利用 反比例函数比例系数的几何意义求出三角形 AOE 的面积，进而确定出 BOF 的面积，再利用 k 的集合意 义即可求出 k 的值 【解答】解：过 A 作 AEx 轴，过 B 作 BFx 轴， OAOB， AOB90， BOF+EOA90， BOF+FBO90， EOAFBO， BFOOEA90， BFOO
19、EA， 在 RtAOB 中，cosBAO， 设 AB，则 OA1，根据勾股定理得：BO， OB：OA：1， SBFO：SOEA2：1， A 在反比例函数 y上， SOEA1， SBFO2， 则 k4 故选：B 【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义， 勾股定理，以及反比例函数 k 的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 10 （3 分）欧几里得在几何原本中，记载了用图解法解方程 x2+axb2的方法，类似地我们可以用折纸 的方法求方程 x2+x10 的一个正根如图，一张边长为 1 的正方形的纸片 ABCD，先折出 AD、BC
20、的 中点 G、H，再折出线段 AN，然后通过沿线段 AN 折叠使 AD 落在线段 AH 上，得到点 D 的新位置 P， 并连接 NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程 x2+x10 的一个正根，则 这条线段是（ ） A线段 BH B线段 DN C线段 CN D线段 NH 【分析】首先根据方程 x2+x10 解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近线段 BH0.5 排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系利用正方形的面积等于图中各个三角形 的面积和，列等量关系设 DNm，则 NC1m，从而可以用 m 表示等式 【解答】解：设 DNm，则 NC1m 由题意可知
21、：ADNAPN，H 是 BC 的中点， DNNPm，CH0.5 S正方形SABH+SADN+SCHN+SANH， 111+1m+（1m）+1m， m x2+x10 的解为 x1，2， 取正值为 x 这条线段是线段 DN 故选：B 【点评】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分 11 （3 分）把多项式 16m3mn2分解因式的结果是 m（4m+n） （4mn） 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可 【解答】解：原式m（16m2n2） m（
22、4m+n） （4mn） 故答案为：m（4m+n） （4mn） 【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键 12 （3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90到矩形 ABCD的位置，AB2，AD 4，则阴影部分的面积为 2 【分析】先求出 CE2CD，求出DEC30，求出DCE60，DE2，分别求出扇形 CEB 和三角形 CDE 的面积，即可求出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ADBC4，CDAB2，BCDADC90， CEBC4， CE2CD， DEC30， DCE60， 由勾股定理得：DE2， 阴影部分的面积是 SS扇形C
23、EBSCDE22， 故答案为： 【点评】本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇 形 CEB和三角形 CDE 的面积，题目比较好，难度适中 13 （3 分）若关于 x 的方程+2 的解为正数，则 m 的取值范围是 m6 且 m0 【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于 m 的不等式，从而求得 m 的范围 【解答】解：关于 x 的方程+2 有解， x20， x2， 去分母得：2xm2（x2） ， 即 x2， 根据题意得：20 且 22， 解得：m6 且 m0 故答案是：m6 且 m0 【点评】本题主要考查了分式方程的解的符号
24、的确定，正确求解分式方程是解题的关键 14 （3 分）如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 tanABC 【分析】根据正切：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做A 的正切，记作 tanA，利用网格计算即可 【解答】解：tanABC， 故答案为： 【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角三角函数的定义 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，AC3，点 D 是 BC 上一动点，连接 AD，将 ACD 沿 AD 折叠，点 C 落在点 E 处，连接 DE 交 AB 于点 F，连接 BE，当DEB 是直角三角形时，DE 的长为 或 3 【分析】点 E 与
25、点 F 重合时在 RtABC 中，由勾股定理可求得 BC4，由翻折的性质可知：AEAC 3、DCDE则 EB2设 DCEDx，则 BD4x在 RtDBE 中，依据勾股定理列方程求解即 可；当EDB90时由翻折的性质可知：ACAE，CAED90，然后证明四边形 ACDE 为 正方形，从而求得 DE3 【解答】解：如图 1 所示；点 E 与点 F 重合时 在 RtABC 中，BC4 由翻折的性质可知；AEAC3、DCDE则 EB2 设 DCEDx，则 BD4x 在 RtDBE 中，DE2+BE2DB2，即 x2+22（4x）2 解得：x DE 如图 2 所示：EDB90时 由翻折的性质可知：ACA
26、E，CAED90 CAEDCDE90， 四边形 ACDE 为矩形 又ACAE， 四边形 ACDE 为正方形 DE3 点 D 在 CB 上运动， DBE90，（假设DBE90， 则 AEBD， 这个显然不可能， 故DBE90） ， 故DBE 不可能为直角 故答案为：或 3 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、正方形的判定，根据题意画出符合题意的图形是解 题的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 55 分分 16 （6 分）计算：14|1|+（1.414）0+2sin60（） 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值
27、的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式1（1）+1+2+2 1+1+1+2 3 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 17 （6 分）某校七年级有学生 400 人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了 20 名学生，进行 安全教育考试，测试成绩（百分制）如下： 71，94，87，92，55，94，98，78，86，94 62，99，94，51，88，97，94，98，85，91 （1）请补全七年级 20 名学生安全教育测试成绩频数分布直方图； （说明；成绩 90 分及以上为优秀，8089 为良好，80 分以下为不合格） （2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率
28、如表所示，请补充完整： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 85.4 91.5 94 55% （3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为 220 人 （4）学校有安全教育老师男女各 2 名，现从这 4 名老师中随机挑选 2 名参加“安全教育”宣传活动，请 用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率 【分析】 （1）将题干所提供的数据从小到大重新排列，再确定各组人数，从而补全图形； （2）结合以上所整理的数据，根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本的优秀率即可； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）
29、将这组数据重新排列为： 51，55，62，71，78，85，86，87，88，91， 92，94，94，94，94，94，97，98，98，99， 59.569.5 的人数为 1，79.589.5 的人数为 4 人，89.5100 的人数为 11 人， 补全图形如下： （2）这组数据的中位数为91.5（分） ，众数为 94 分， 故答案为：91.5，94； （3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为 40055%220（人） ， 故答案为：220； （4）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女
30、） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 得到所有等可能的情况有 12 种，其中恰好抽中一男一女的情况有 8 种， 所以恰好选中“1 男 1 女”的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中 选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 18 （7 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 A 出发，沿 ADCB 的路径运动设点 P 运动的路 程为 x，PAB 的面积为 y图 2 反映的是点 P 在 ADC 运动过程中，y 与 x 的函数关系请根据图象 回答以下问题： （1）矩形 A
31、BCD 的边 AD 2 ，AB 4 ； （2）写出点 P 在 CB 运动过程中 y 与 x 的函数关系式，并在图 2 中补全函数图象 【分析】 （1）根据题意，结合图形确定出矩形 ABCD 的边 AD 与 AB 即可； （2）根据题意表示出 PB 的长，由 AB 为底，PB 为高，表示出三角形 APB 面积，确定出 y 与 x 的函数 关系式，作出相应的图象，如图 2 所示 【解答】解： （1）根据题意得：矩形 ABCD 的边 AD2，AB4； 故答案为：2；4； （2）当点 P 在 CB 运动过程中，PB8x， ySAPB4（8x） ，即 y2x+16（6x8） ， 正确作出图象，如图所示：
32、 【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，三角形的面积，函数及其图象，弄清题 中动点 P 的运动轨迹是解本题的关键 19 （8 分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌 CD、小明在山坡的 坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60， 然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45 已 知山坡 AB 的坡度 i1：， （斜坡的铅直高度与水平宽度的比） ，经过测量 AB10 米，AE15 米， （1）求点 B 到地面的距离； （2）求这块宣传牌 CD 的高度 （测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 【分析】 （1）过 B 分别作 AE、DE 的垂线，设
33、垂足为 F、G分别在 RtABF 和 RtADE 中，通过解直 角三角形求出 BF、AF、DE 的长； （2）可求出 EF 即 BG 的长；在 RtCBG 中，CBG45，则 CGBG，由此可求出 CG 的长；根据 CDCG+GEDE 即可求出宣传牌的高度 【解答】解： （1）过 B 作 BFAE，交 EA 的延长线于 F，作 BGDE 于 G RtABF 中，itanBAF， BAF30， BFAB5m，AF5m， 答：点 B 到地面的距离为 5m； （2）由（1）得：BGAF+AE（5+15）m RtBGC 中，CBG45， CGBG（5+15）m， RtADE 中，DAE60，AE15m
34、， DEAE15m， CDCG+GEDE5+15+515（2010）m 答：宣传牌 CD 高为（2010）米 【点评】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角 形的问题是解答此类题的关键 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC，AC 分别交于 D，E 两点，点 D 作 DHAC 于点 H （1）判断 DH 与O 的位置关系，并说明理由； （2）当 cosC，BC10 时，求的值 【分析】 （1）连接 OD，根据等腰三角形的性质证得ODBC，由平行线的判定得到 ODAC，再由 平行线的性质得到ODHDHC90，根据
35、切线的判定定理可判断 DH 为O 的切线； （2）连接 BE，AD，由圆周角定理得到AEB90，在 RtBEC 中，根据三角函数的定义求出 CE 2，由圆周角定理结合等腰三角形的性质求出 DC5，在 RtADC 中，根据三角函数的定义求出 AC AB5，进而求出 AE3，把数值代入即可求出结果 【解答】解： （1）DH 与O 相切，理由如下： 连接 OD OBOD， OBDODB， ABAC， ABDC， ODBC， ODAC， 又DHAC， DHC90， ODHDHC90， ODDH， 又OD 是O 的半径， DH 与O 相切； （2）连接 BE，AD， AB 是O 的直径， AEB90，
36、BEC180AEB90， 在 RtBEC 中，cosC， 又BC10， CE2， AB 是O 的直径， ADB90， ADBC， 又ABAC， DCBC5（三线合一） ， 在 RtADC 中， cosC， AC5， AB5， AEACCE3， 【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数的定义、切线的判定定理和等腰三角形的判定与性质，正确 做出辅助线，熟练掌握圆周角定理和三角函数的定义是解决问题的关键 21 （9 分）问题引入（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 两边上的点，且 AEBF， 垂足为点 P求证：AEBF； 类比探究（2）如图 2，把（1）中正方形 ABCD
37、 改为矩形 ABCD，且 AD2AB，其余条件不变，请你 推断 AE、BF 满足怎样的数量关系，并说明你的理由； 实践应用（3）如图 3，RtABC 中，BAC30，把ABC 沿斜边 AC 对折得到 RtADC，E、F 分 别为 CD、AD 边上的点，连接 AE、BF，恰好使得 AEBF，垂足为点 P请求出的值 【分析】问题引入（1）由“ASA”可证ABEBCF，可得 AEBF； 类比探究（2）通过证明ABEBCF，可得2，可得 BF2AE； 实践应用（3）过点 B 作 BHAD 于 H，连接 BD，可证ABD 是等边三角形，可得，通过 证明ADEBHF，可得 【解答】证明：问题引入（1）正方
38、形 ABCD， ABCC，ABBC， AEBF， APBBAP+ABP90， ABP+CBF90， BAPCBF， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（ASA） ， AEBF； （2）BF2AE， 理由如下：矩形 ABCD， ABCC，ADBC2AB， AEBF， APBBAP+ABP90， ABP+CBF90， BAPCBF，且ABEBCF90， ABEBCF， 2， BF2AE； （3）如图 3，过点 B 作 BHAD 于 H，连接 BD， 把ABC 沿斜边 AC 对折得到 RtADC， ADAB，ABCADC90，DACBAC30， DAB60， ABD 是等边三角形，且 BHA
39、D， ADAB2AH，BHAH， ， ADC+EPF+DEA+DFB360， DEA+DFB180，且DFB+BFA180， DEABFH， BHFADE90， ADEBHF， 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 22 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） 、B 两点，与 y 轴交 于点 C，AB4，点 D 为抛物线顶点 （1）求抛物线解析式； （2）点 E 在此抛物线的对称轴上，当|BECE|最大时
40、，求 E 点的坐标和此时AEC 的面积 （3）证明：BADACB 【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）当|BECE|最大时，B、C、E 在同一直线上，根据抛物线的解析式求得点 C 的坐标，用待定系数 法求得直线 BC 的解析式，再求得点 E 的坐标，利用 SAECSABESABC可求得AEC 的面积 （3）设对称轴与 x 轴交于点 M，过点 A 作 ANBC 于 N，根据点 A、B、C、M 的坐标，求得线段 AM、 AO、OC、BO 及 DM 的长，再按照锐角三角函数的定义计算出 tanADM2，tanACN2，则可得结 论 【解答】解： （1）yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A
41、（3，0） 、B 两点，且 AB4， 对称轴为直线 x1，点 B（1，0） ， 则，解得， 抛物线解析式为 yx2+2x3； （2）当|BECE|最大时，B、C、E 在同一直线上， 由（1）知，抛物线解析式为 yx2+2x3， 抛物线的对称轴为直线 x1，B（1，0） ， 设 E（1，m） ，令 x0 时，y3， C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx3， 0k3，则 k3， 直线 BC 的解析式为 y3x3， 当 x1 时，y336， 点 E 的坐标为（1，6） ， 故答案为： （1，6） ，6 （3）抛物线 yx2+2x3 的顶点坐标为 D（1，4） ， 设对称轴与 x 轴交于点 M，过点 A 作 ANBC 于 N，如图： A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3） ，M（1，0） ， AM2，AOOC3，BO1，DM4， ， tanADM2， ， ， 在 RtANC 中， ， BADACB 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、锐角 三角函数及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握待定系数法及相关性质定理是解题的关键
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