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    福建省福州市2021届高三5月质检数学试题(含答案)

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    福建省福州市2021届高三5月质检数学试题(含答案)

    1、数学试题(第1页,共6页) 福州市福州市 2021 届高三届高三 5 月调研卷月调研卷 数学数学 (完卷时间 120 分钟;满分 150 分) 注意事项 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡 上写在本试卷上无效 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项

    2、是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 全集1,2,3,4,5,6U =,集合|39 x AxU=,则 UA= A1,2 B1,2,3 C4,5,6 D3,4,5,6 2. 已知z为复数, 2 10z + =,则|1|z 等于 A0 B1 C2 D2 3. 在 6 ()xyz+的展开式中, 4 xyz的系数是 A15 B30 C36 D60 4. 某公园设置了一些石凳供大家休息,每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体 得到的,如图所示如果一张石凳的体积是 3 0.18 m,那么原正方体石料的体积是 A0.196 m3 B0.216 m3 C0.225 m3 D0.234 m3 5. 已知

    3、 2 log0.50.2 ab a =,则 A1ab B1ab C1ba D1ba 数学试题(第2页,共6页) 6. 已知直线1yx=与抛物线 2 4yx=交于,A B两点若点( 1,)Cm满足90ACB=,则 m = A1 B1 C2 D3 7. 经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量 Q(单位:L)与速度 v(单位:km/h) (40v120)的数据如下表: 为描述 Q 与 v的关系, 现有以下三种模型供选择:( ) 0.043.6Q vv=+ ,( )0.5Q va =+, ( ) 32 0.0000250.0040.25Q vvvv=+ 选出最符合实际的函数模型, 解决下列问题: 某

    4、高 速公路共有三个车道, 分别是外侧车道、 中间车道、 内侧车道, 车速范围分别是 )60,90, )90,110 , 110,120(单位:km/h) 为使百公里耗油量 W(单位:L) 最小,该型号 汽车行驶的车道与速度为 A在外侧车道以 80 km/h 行驶 B在中间车道以 90 km/h 行驶 C在中间车道以 95 km/h 行驶 D在内侧车道以 115 km/h 行驶 8. 为了了解疫情期间的心理需求,心理健康辅导员设计了一份问卷调查,问卷有两个问 题:你的学号尾数是奇数吗?你是否需要心理疏导?某校高三全体学生 870 人参 加了该项问卷调查被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子,

    5、当出现 1 点或 2 点时, 回答问题, 否则回答问题 由于不知道被调查者回答的是哪一个问题, 因此, 当他回答“是”时,别人无法知道他是否有心理问题,这种调查既保护了他的隐私,也能 得到诚实的问卷反应问卷调查结束后,发现该校高三学生中有 155 人回答“是”,由此 可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为 A10 B15 C29 D58 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合分在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得

    6、分,部分选对的得 2 分分 9. 已知向量(1,0)=a,(0,1)=b,(1,1)=c,在下列各组向量中,可以作为平面内所有向量 的一个基底的是 Aa,c Ba,bc C c,+ab D+ab,bc v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 数学试题(第3页,共6页) 10. 已知( )sin()(0)f xx =+,直线 5 12 x =, 11 12 x =是( )f x的图象的相邻两条对称 轴,则下列说法正确的是 A函数 5 () 12 yf x=+为偶函数 B( )f x的图象的一个对称中心为 ,0 6 C( )f x在区间 5 0, 6 上有

    7、 2 个零点 D( )f x在区间, 6 6 上为单调函数 11. 在棱长为2的正四面体ABCD中,M为AD的中点,N为BC的中点,则下列说法正 确的是 AMNCD B正四面体ABCD外接球的表面积等于6 CMNBC D正四面体ABCD外接球的球心在MN上 12. 在ABC中,4AB =,M为AB的中点,且CACBCM=,则下列说法中正确的是 A动点C的轨迹是双曲线 B动点C的轨迹关于点M对称 CABC是钝角三角形 DABC面积的最大值为2 3 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13. 已知() 3 tan 4 = ,则sin2的

    8、值为_ 14. 已知正项等比数列 n a的前 n 项和为 n S, 2 +1 1 2 n nn a a + =,则 n S=_ 15. 购买某种意外伤害保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保险费 20 元,若被保险人 在购买保险的一年度内出险,可获得赔偿金 50 万元已知该保险每一份保单需要赔付 的概率为 5 10,某保险公司一年能销售 10 万份保单,且每份保单相互独立,则一年度 内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为_;一年度内盈利的期望 为_万元 (参考数据: 5 5 10 1 10 )0.37 () (本小题第一空 2 分,第二空 3 分) 16. 函数( ) 2 (1026)ex

    9、f xxx=+,若 12 ,x xI, 12 xx,都有 ()() 12 12 22 f xf xxx f + 成立, 则满足条件的一个区间I可以是_ (填写一个符合题意的区间即可) . 数学试题(第4页,共6页) 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (10 分) ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c, sincos() 6 bAaB = (1)求 B; (2)若 D 是ABC的外接圆的劣弧AC上一点,且3a =,4c =,AD = 1,求CD 18.

    10、(12 分) 已知数列 n a满足 1 3a =, 1 1 2 n n a a + =. (1)证明:存在等差数列bn,当 n1 时, 1 n n n b a b =成立; (2)求 n a的通项公式. 19. (12 分) 在三棱柱 111 ABCABC中,ABAC,平面ABC 平面 11 ABB A, 平面ABC 平面 11 ACC A (1)证明: 1 AA 平面ABC; (2)在1ABAC=, 1 BC与平面 11 ABB A所成的角为30,异面直线 1 C C与 1 AB 所成角的余弦值为 6 3 这三个条件中任选两个,求二面角 111 ABCB的余弦值 C1 B1 A1 C B A

    11、 数学试题(第5页,共6页) 20. (12 分) 某种病菌在某地区人群中的带菌率为 10%,目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准 确检测出个体是否带菌的方法现引进操作易、成本低的新型检测方法:每次只需检测 , x y 两项指标, 若指标 x 的值大于 4 且指标 y 的值大于 100, 则检验结果呈阳性, 否则呈阴性 为 考查该检测方法的准确度,随机抽取 50 位带菌者(用“*”表示)和 50 位不带菌者(用“+”表 示)各做 1 次检测,他们检测后的数据,制成如下统计图: (1)从这 100 名被检测者中,随机抽取一名不带菌者,求检测结果呈阳性的概率; (2)能否在犯错误概率不超过 0.0

    12、01 的前提下,认为“带菌”与“检测结果呈阳性” 有关? (2)现用新型检测方法,对该地区人群进行全员检测,用频率估计概率,求每个被检 者“带菌”且“检测结果呈阳性”的概率 附: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd = + 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 数学试题(第6页,共6页) 21. (12 分) 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab +=(0ab)的左、右顶点分别为A,B,O为原点以OB为 对角线的正方形OPBQ的顶点P,Q在C上 (1)求C的离心率; (2)当2a =时,过(1

    13、,0)作与x轴不重合的直线l与C交于,M N两点,直线AM,BN 的斜率分别为 1 k, 2 k,试判断 1 2 k k 是否为定值?若是,求出定值,并加以证明;若不是,请 说明理由 22. (12 分) (1)若01a,判断函数( )sin(1)lnf xaxx=+在区间()0,1内的单调性; (2)证明:对任意2n, * nN, 222 2 111 sinsinsinln2 5101n + + . 数学参考答案及评分细则(第1页 共13页) 福州市 2021 届高三 5 月调研卷 数学参考答案及评分细则 评分说明: 1 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根

    14、据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分,满分 40 分 1D 2C 3B 4B 5C 6C 7A 8B 二、选择题:本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分,满分 20 分每小题全部选对 的得 5 分,有

    15、选错的得 0 分,部分选对的得 2 分 9AD 10ABC 11BCD 12BD 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分,满分 20 分 13 24 25 14 1 22 n+ 150.63;150 16(2,3)等(注:2,4的任意一个非空子区间均可) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识;考查运算求解能力; 考查函数与方程思想,化归与转化思想;考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核 心素养;体现基础性满分 10 分 解法一: (1)由题设及正弦定理得,sinsinsinco

    16、s() 6 BAAB =, 1 分 从而 31 sinsinsin(cossin) 22 BAABB=+, 2 分 化简得, 13 sinsinsincos 22 ABAB= 3 分 数学参考答案及评分细则(第2页 共13页) 因为0,sin0AA , 4 分 所以tan3B =, 又0B,故 3 B = 5 分 (2)在ABC中,由余弦定理知, 22222 2cos =3 +42 3 4 cos=13 3 bacacB =+ , 即13b = 6 分 又由于A B C D , , ,四点共圆,从而 2 3 ADCB= =, 7 分 在ADC中,设DCx=,由余弦定理得, 222 2cosAC

    17、ADDCAD DCADC=+, 8 分 即得 22 2 131 +2 1cos 3 xx = , 化简得, 2 120 xx+=,解得3x =或4x = (舍去) , 故3DC = 10 分 解法二: (1)由题设及正弦定理得,sinsinsincos() 6 BAAB =, 1 分 从而 31 sinsinsin(cossin) 22 BAABB=+, 2 分 化简得 13 sinsinsincos 22 ABAB= 3 分 因为0,sin0AA , 所以 13 sincos0 22 BB=, 所以sin 0 3 B = , 4 分 又0B,故 3 B = 5 分 (2)在ABC中,由余弦定

    18、理知, 22222 2cos =3 +42 3 4 cos=13 3 bacacB =+ , 即13b = 6 分 数学参考答案及评分细则(第3页 共13页) 又由于A B C D , , ,四点共圆,从而 2 3 ADCB= =, 7 分 在ACD中,设ACD=,则由正弦定理得 sinsinsin ADCDAC ACDCADADC = ,即 1132 13 sin 33 sin 3 2 CD = , 8 分 所以 3 sin 2 13 =, 又 0 3 , ,所以 7 cos 2 13 = , 所以 313 3 sincossin 3222 13 = , 9 分 所以 2 132 133 3

    19、 sin3 3332 13 CD = 10 分 18本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式,数列求和等基础知识;考查 运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想;考查数学抽象、数学运算等核 心素养;体现基础性,综合性满分 12 分 解法一:(1)当 n1 时,由 1 1 2 n n a a + =,得 11 2 nn nn bb bb + =, 2 分 化简得 11 2 nnn bbb + =,即 11nnnn bbbb + =, 4 分 这说明 n b是等差数列,故存在一个等差数列bn,当 n1 时, 1 n n n b a b =成立 6 分 (2)依题意, 2 1 15 2

    20、 3 a a =, 7 分 又由(1)知 2 2 1 b a b =,所以 2 1 5 3 b b =,即 21 5 3 bb=, 8 分 所以等差数列bn的公差 211 2 3 dbbb=, 9 分 所以 11 21 (1)() 32 n bbndnb=+=+, 11 分 数学参考答案及评分细则(第4页 共13页) 故 1 1 1 21 () 21 32 21 21 () 32 n n n nb bn a bn nb + + = 12 分 解法二: (1)由已知,当 n1 时,因为 1 3a =, 1 1 2 n n a a + =, 所以 2 5 3 a =, 3 7 5 a =, 2 分

    21、 故令21 n bn=,则数列 n b是首项为 1,公差为 2 的等差数列 4 分 此时 21 21 n n a n + = ,代入验算满足 1 1 2 n n a a + =, 故存在一个等差数列 n b,当 n1 时, 1 n n n b a b =成立,命题得证 6 分 (2)由 1 1 2 n n a a + =,得 1 11 11 n n nn a a aa + = =, 7 分 由,得, 8 分 所以, 9 分 所以是首项为 1 2 ,公差为 1 的等差数列, 即, 11 分 所以 21 21 n n a n + = 12 分 19本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的

    22、位置关系,直线与平面所 成的角,异面直线所成的角等基础知识;考查空间想象能力,推理论证能力,运算 求解能力; 考查化归与转化思想,数形结合思想,函数与方程思想;考查直观想 象,逻辑推理,数学运算等核心素养;体现基础性,综合性满分 12 分 解法一: (1)证明:因为ABAC,平面ABC 平面 11 ABB A, 平面ABC平面 11 ABB AAB=,AB 平面ABC,所以AC 平面 11 ABB A 1 分 又因为 1 AA 平面 11 ABB A,所以 1 ACAA 2 分 同理: 1 ABAA, 4 分 1 3a =10 n a 1 11 1 111 n nnn a aaa + =+ 1

    23、 1 n a 1121 (1) 122 n n n a =+= 数学参考答案及评分细则(第5页 共13页) 又因为ABACA=,所以 1 AA 平面ABC; 5 分 (2)选择; 由(1)知, 1 AA 平面ABC,所以三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱 因为ACAB,1ABAC=,所以2BC = 在直三棱柱 111 ABCABC中,AC 平面 11 ABB A, 11 ACAC, 所以 11 AC 平面 11 ABB A,所以 11 C BA为 1 BC与平面 11 ABB A所成的角, 所以 11=30 C BA 6 分 在Rt 11 C AB中, 11 1C A =, 1 2C B

    24、=,所以 1 3AB =, 在Rt 1 ABA中,1AB =,所以 1 2AA = 7 分 以A为原点, 1 ,AB AA AC的方向分别为, ,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图 所示 (1,0,0)B,(0,0,1)C, 1(1, 2,0) B, 1(0, 2,0) A, 1(0, 2,1) C 所以 1 ( 1, 2,0)BA = , 11 (0,0,1)AC =, 1 ( 1, 2,1)BC = , 1 (0, 2,0)BB = 8 分 设平面 11 A BC的法向量为( , , )x y z=m, 由 1 11 0 0 BA AC = = m m 得 20 0 xy z +

    25、 = = ,令1y =得平面 11 A BC的一个法向量为( 2,1,0)=m 9 分 设平面 11 BC B的法向量为( , , )x y z=n, 由 1 1 0 0 BB BC = = n n 得 20 20 y xyz = + += ,令1x =得平面 11 BC B的一个法向量为(1,0,1)=n 10 分 所以cos, = m n m n m n 2 32 = 3 3 =, 11 分 A1 z y x C1 B1 C B A 数学参考答案及评分细则(第6页 共13页) 所以二面角 111 ABCB的余弦值为 3 3 12 分 解法二: (1)同解法一; 5 分 (2)选择; 因为A

    26、CAB,1ABAC=,所以2BC = 由(1)知, 1 AA 平面ABC,故 1 AAAB, 在三棱柱 111 ABCABC中, 11 C CA A, 所以异面直线 1 C C与 1 AB所成角为 1 AAB,所以 1 6 cos 3 AAB= 6 分 在Rt 1 ABA中,因为1AB =, 1 AAAB, 1 6 cos 3 AAB=, 所以 1 2AA = 7 分 下同解法一; 12 分 解法三: (1)同解法一; 5 分 选择; 由()知, 1 AA 平面ABC,所以三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱, 在直三棱柱 111 ABCABC中,AC 平面 11 ABB A, 11 ACA

    27、C, 所以 11 AC 平面 11 ABB A,所以 11 C BA为 1 BC与平面 11 ABB A所成的角, 所以 11=30 C BA 6 分 在直三棱柱 111 ABCABC中, 11 C CA A,且 1 AAAB, 所以异面直线 1 C C与 1 AB所成角为 1 AAB,所以 1 6 cos 3 AAB= 7 分 在 11 RtABC中,设 11 1C A =,则 1 2C B =,所以 1 3AB =, 在Rt 1 ABA中,因为 1 3AB =, 1 6 cos 3 AAB=, 所以 1 2AA =,1AB = 8 分 数学参考答案及评分细则(第7页 共13页) 下同解法一

    28、 12 分 20本题主要考查用样本估计总体,独立性检验,条件概率等基础知识;考查数学建模 能力,运算求解能力,推理论证能力,创新能力以及应用意识;考查统计与概率思 想,化归与转化思想;考查数学建模,数据分析,数学运算等核心素养;体现综合 性、应用性和创新性满分 12 分 解法一: (1)设A =“从这 100 名被检测者中,随机抽取一名不带菌者,检测结果呈 阳性” , 1 分 根据统计图可知在不带菌者中,检测结果呈阳性的有 5 人, 2 分 所以 51 ( ) 5010 P A = 3 分 (2)假设 H0: “带菌”与“检测结果呈阳性”无关, 4 分 可作出22列联表如下: 5 分 阳性 阴

    29、性 合计 带菌 35 15 50 不带菌 5 45 50 合计 40 60 100 进一步计算得, 2 K的观测值 2 100(3545155) 37.510.828 40605050 k = ; 6 分 因为 2 (10.828)0.001P K =, 7 分 所以,能够在犯错误概率不超过 0.001 的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性” 有关 8 分 (3)设B =“被检测者带菌” ,C =“被检测者检测结果呈阳性” , 则BC =“被检者带菌且检测结果呈阳性 ” , 9 分 用频率估计概率,根据题意可知:( )0.1P B =, 35 (|)0.7 50 P C B =, 11 分

    30、所以由条件概率公式可知()( )(|)0.1 0.70.07P BCP BP C B= 12 分 解法二: (1)设A =“从这 100 名被检测者中,随机抽取一名为不带菌者” ,D = “从 这 100 名被检测者中,随机抽取一名检测结果呈阳性” , 数学参考答案及评分细则(第8页 共13页) 则“从这 100 名被检测者中,随机抽取一名不带菌者,检测结果呈阳性”的概率就是 “在事件A发生的条件下,事件D发生”的概率,记为(|)P D A 1 分 根据题意, 1 ( ) 2 P A =, 5 () 100 P AD =, 2 分 利用条件概率公式,得 5 ()1 100 (|) 1 ( )1

    31、0 2 P AD P D A P A = 3 分 (2)下同解法一 12 分 21 本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质, 直线与椭圆的位置关系等基础知识; 考查运算求解能力,推理论证能力;考查数形结合思想,函数与方程思想,化归与转 化思想;考查直观想象,逻辑推理,数学运算等核心素养;体现基础性和综合性满 分 12 分 解法一:(1) 以OB为对角线的正方形OPBQ的顶点 坐标分别为( ,0)B a,(,) 2 2 a a P,(,) 22 aa Q 1 分 因为,P Q在椭圆上,所以 22 22 44 1 aa ab +=, 2 分 所以 2 2 3 a b =, 3 分 所以 222

    32、2 2cabb=, 4 分 所以椭圆的离心率 6 3 c e a =; 5 分 (2)当2a =时, 2 3 3 b =,所以椭圆的方程为 22 34xy+= 6 分 1 2 k k 为定值 1 3 ,理由如下: 当直线l的斜率不存在时,l的方程为1x =,则(1,1),(1, 1)MN, 所以 1 1 1 11 21( 2)3 y k x = + , 2 2 2 1 1 212 y k x = ,所以 1 2 1 3 k k = 7 分 当直线l的斜率存在时,设l的方程为1xmy=+,0m, 设 11 ( ,)M x y, 22 (,)N xy, Q P B A O y x 1 N M B

    33、AO y x 数学参考答案及评分细则(第9页 共13页) 不妨设 21 0yy,且 12 0yy+ 由 22 1 34 xmy xy =+ += 可得 22 (3)230mymy+=, 8 分 2 =16360m+, 12 2 2 3 m yy m += + , 12 2 3 3 y y m = + 9 分 要证 1 2 1 3 k k =,只要证明: 1 1 2 2 21 3 2 y x y x + = , 只要证: 1221 3(2)(2)y xyx=+, 只要证: 1221 3(1)(3)y myy my=+, 只要证: 1212 23()my yyy=+, 因为 12 0yy+,0m,即证 12 12 3 2 y y yym = + , 10 分 因为 12 2 2 3 m yy m += + , 12 2 3 3 y y m = + ,所以 12 12 3 2 y y yym = + 所以 1 2 1 3 k k =成立, 11 分 综上所述: 1 2 1 = 3 k k 12 分 解法二: (1)同解法一; 5 分 (2)当2a =时, 2 3 3 b =,所以椭圆


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