1、2021 年年北京市海淀区北京市海淀区三校联考三校联考中考数学零模试卷中考数学零模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1如图所示的主视图对应的几何体是（ ） A B C D 22019 年被称为“5G 元年” 据媒体报道，5G 网络的理论下载速度为 1.25GB/s，这就意味着我们下载一 张 2.5M 的照片只需要 0.002s，将 0.002 用科学记数法表示为（ ） A210 2 B210 3 C0.210 2 D0.210 3 3实数 a，b 在数
2、轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aa2 Ba3 Cab Dab 4下列计算正确的是（ ） Am3m2mm5 B （m4）3m7 C （2m）24m2 Dm00 5如图，直线 ab，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 A，点 B，ACAB 于点 A，交直线 b 于点 C如果 134，那么2 的度数为（ ） A34 B56 C66 D146 6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，1） ，如果将线段 OA 绕点 O 逆时针方向旋转 90， 那么点 A 的对应点的坐标为（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 7太阳能是来自太阳的
3、辐射能量，对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因 此许多国家都在大陆发展太阳能 如图是 20132017 年我国光伏发电装机容量统计图根据统计图提供 的信息，判断下列说法不合理的是（ ） A截至 2017 年底，我国光伏发电累计装机容量为 13078 万千瓦 B20132017 年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加 C20132017 年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为 2500 万千瓦 D2017 年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的 40% 8老师组织学生做分组摸球实验给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除 颜色外都相同的
4、 3 个黄球和若干个白球先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色 再放回，即为一次摸球统计各组实验的结果如下： 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 八组 九组 十组 摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 摸到白球的次数 41 39 40 43 38 39 46 41 42 38 请你估计袋子中白球的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（本题共二填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9若分式的值是 0，则 x 的值为 10在某一时刻，测得身高为 1.8m 的小明的影长为 3m，
5、同时测得一建筑物的影长为 10m，那么这个建筑 物的高度为 m 11如图，在 66 正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A，B，C 均在网格交点上，O 是ABC 的外接圆，则 cosBAC 的值是 12如果代数式 m2+2m1，那么的值为 13如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，如果A15，弦 CD4，那么 AB 的长是 142017 年全球超级计算机 500 强名单公布，中国超级计算机“神威太湖之光”和“天河二号”携手夺得 前两名已知“神威太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的 2.74 倍这两种超级计算机分别进 行 100 亿亿次浮点运算， “神威太湖之光”的运算
6、时间比“天河二号”少 18.75 秒，求这两种超级计算 机的浮点运算速度设“天河二号”的浮点运算速度为 x 亿亿次/秒，依题意，可列方程为 15在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，m）绕坐标原点 O 顺时针旋转 90后，恰好落在图中阴影区域 （包括边界）内，则 m 的取值范围是 16某快餐店外卖促销，佳佳和点点想点外卖，每单需支付送餐费 5 元，每种餐食外卖价格如表： 餐食种类 价格（单位：元） 汉堡套餐 40 鸡翅 16 鸡块 15 冰激凌 14 蔬菜沙拉 9 促销活动： （1）汉保套餐 5 折优惠，每单仅限一套； （2）全部商品（包括打折套餐）满 20 元减 4 元，满 40 元减
7、10 元，满 60 元减 15 元，满 80 元减 30 元佳佳想要汉堡套餐、鸡翅、冰激凌、蔬菜沙拉各一 份； 点点想要汉堡套餐、 鸡块、 冰激凌各一份， 若他们把想要的都买全， 最少要花 元 （含送餐费） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题每题题每题 5 分，第分，第 23-26 题每题题每题 6 分，第分，第 27-28 题每题题每题 7 分）分） 17 （5 分）计算：|（4）0+2sin60+（） 1 18 （5 分）解不等式组： 19 （5 分）已知 a2019，b2020，求a2（a2b）a（ab）2b2的值 20 （5 分）在数学课上，老师提
8、出如下问题：如何使用尺规完成“过直线 l 外一点 P 作已知直线 l 的平行 线” 小明的作法如下： 在直线 l 上取一点 A，以点 A 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线 l 于点 B； 分别以 P，B 为圆心，以 AP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q（与点 A 不重合） ； 作直线 PQ 所以直线 PQ 就是所求作的直线 根据小明的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：ABAP 四边形 ABQP 是菱形（ ） （填推理的依据） PQl 21 （5 分）如图，在ABC 中，D 是 AB 边上任意一点，E 是 BC 边中点，过点 C 作 A
9、B 的平行线，交 DE 的延长线于点 F，连接 BF，CD （1）求证：四边形 CDBF 是平行四边形； （2）若FDB30，ABC45，BC，求 DF 的长 22 （5 分）已知关于 x 的方程 x24mx+4m290 （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为 x1，x2，其中 x1x2若 2x1x2+1，求 m 的值 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 的图象经过点 A（0，4） 、B（2，0） ，交反比 例函数 y（x0）的图象于点 C（3，a） ，点 P 在反比例函数的图象上，横坐标为 n（0n3） ，PQ y 轴交直线 AB
10、于点 Q，D 是 y 轴上任意一点，连接 PD、QD （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求DPQ 面积的最大值 24 （6 分）四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，ADCD （1）如图 1，求证ABC2ACD； （2）过点 D 作O 的切线，交 BC 延长线于点 P（如图 2） 若 tanCAB，BC1，求 PD 的长 25 （6 分）某地质量监管部门对辖区内的甲、乙两家企业生产的某同类产品进行检查，分别随机抽取了 50 件产品并对某一项关键质量指标做检测，获得了它们的质量指标值 s，并对样本数据（质量指标值 s）进 行了整理、描述和分析下面给出了部分信息 a该质量指标
11、值对应的产品等级如下： 质量指标值 20s25 25s30 30s35 35s40 40s45 等级 次品 二等品 一等品 二等品 次品 说明：等级是一等品，二等品为质量合格（其中等级是一等品为质量优秀） ；等级是次品为质量不合格 b甲企业样本数据的频数分布统计表如下（不完整） ： c乙企业样本数据的频数分布直方图如下： 甲企业样本数据的频数分布表 分组 频数 频率 20s25 2 0.04 25s30 m 30s35 32 n 35s40 0.12 40s45 0 0.00 合计 50 1.00 d两企业样本数据的平均数、中位数、众数、极差、方差如下： 平均数 中位数 众数 极差 方差 甲企
12、业 31.92 32.5 34 15 11.87 乙企业 31.92 31.5 31 20 15.34 根据以上信息，回答下列问题： （1）m 的值为 ，n 的值为 ； （2）若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为 ；若乙企业生产的某批 产品共 5 万件，估计质量优秀的有 万件； （3）根据图表数据，你认为 企业生产的产品质量较好，理由为 （从某个角度说明推断的合理性） 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 G：ya2x22a2x+4（a0） （1）抛物线 G 的对称轴为 x ； （2）若在抛物线 G 上有两点（2，y1） ， （m，y2） ，且 y2y
13、1，则 m 的取值范围是 ； （3）若抛物线 G 的顶点纵坐标 t 的取值范围为 0t3，求 a 的取值范围 27 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 是边 BC 上的动点，连接 AD，点 C 关于直 线 AD 的对称点为点 E，射线 BE 与射线 AD 交于点 F （1）在图中，依题意补全图形； （2）记DAC （45 ） ，求ABF 的大小； （用含 的式子表示） （3）若ACE 是等边三角形，猜想 EF 和 BC 的数量关系，并证明 28 （7 分）在平面内，C 为线段 AB 外的一点，若以 A，B，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称 C 为线 段 AB 的直角
14、点特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称 C 为线段 AB 的等腰直角点 （1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（4，0） ，在点 P1（0，1） ，P2（5，1） ，P3 （2，2）中，线段 OM 的直角点是 ； （2） 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A， B 的坐标分别为 （1， 4） ， （1， 6） ， 直线 l 的解析式为 yx+7 如图 2，C 是直线 l 上的一个动点，若 C 是线段 AB 的直角点，求点 C 的坐标； 如图 3， P 是直线 l 上的一个动点， 将所有线段 AP 的等腰直角点称为直线 l 关于点 A 的伴随点， 若O 的半径为 r
15、，且O 上恰有两个点为直线 l 关于点 A 的伴随点，直接写出 r 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1如图所示的主视图对应的几何体是（ ） A B C D 【分析】根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可 【解答】解：A、主视图为，故此选项不合题意； B、主视图为，故此选项符合题意； C、主视图为，故此选项不合题意； D、主视图为，故此选项不合题意 故选：B 22019 年被称为“5G
16、 元年” 据媒体报道，5G 网络的理论下载速度为 1.25GB/s，这就意味着我们下载一 张 2.5M 的照片只需要 0.002s，将 0.002 用科学记数法表示为（ ） A210 2 B210 3 C0.210 2 D0.210 3 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：用科学记数法表示 0.002210 3 故选：B 3实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aa2 Ba3 Cab Dab 【分析
17、】利用数轴上 a，b 所在的位置，进而得出 a 以及b 的取值范围，进而比较得出答案 【解答】解：A、如图所示：3a2，故此选项错误； B、如图所示：3a2，故此选项错误； C、如图所示：1b2，则2b1，故 ab，故此选项错误； D、由选项 C 可得，此选项正确 故选：D 4下列计算正确的是（ ） Am3m2mm5 B （m4）3m7 C （2m）24m2 Dm00 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判断 即可 【解答】解：m3m2mm6， 选项 A 不符合题意； （m4）3m12， 选项 B 不符合题意； （2m）24m2， 选项 C 符
18、合题意； m00， 选项 D 不符合题意 故选：C 5如图，直线 ab，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 A，点 B，ACAB 于点 A，交直线 b 于点 C如果 134，那么2 的度数为（ ） A34 B56 C66 D146 【分析】先根据平行线的性质求出BAD 的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出2 的度数 【解答】解：如图： 直线 ab， 1+BAD180， ACAB 于点 A，134， 2180903456， 故选：B 6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，1） ，如果将线段 OA 绕点 O 逆时针方向旋转 90， 那么点 A 的对应点的坐标为（ ） A
19、 （1，2） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 【分析】如图作 AFx 轴于 F，BEx 轴于 E利用全等三角形的寻找即可解决问题； 【解答】解：如图作 AFx 轴于 F，BEx 轴于 E OEBAOBAFO90， BOE+AOF90，AOF+OAF90， BOEOAF，OBOA， BOEOAE， OEAF1，BEOF2， B（1，2） 故选：A 7太阳能是来自太阳的辐射能量，对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因 此许多国家都在大陆发展太阳能 如图是 20132017 年我国光伏发电装机容量统计图根据统计图提供 的信息，判断下列说法不合理的是（ ） A截
20、至 2017 年底，我国光伏发电累计装机容量为 13078 万千瓦 B20132017 年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加 C20132017 年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为 2500 万千瓦 D2017 年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的 40% 【分析】根据折线统计图中的数据对各选项逐一判断即可得 【解答】解：A、截至 2017 年底，我国光伏发电累计装机容量为 13078 万千瓦，此选项正确； B、20132014 年，我国光伏发电新增装机容量减少，20142017 年，我国光伏发电新增装机容量逐年 增加，此选项错误； C、20132017 年，我国光伏发电新
21、增装机容量的平均值约为2500 万 千瓦，此选项正确； D、2017 年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的100%40%，此选项正确； 故选：B 8老师组织学生做分组摸球实验给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除 颜色外都相同的 3 个黄球和若干个白球先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色 再放回，即为一次摸球统计各组实验的结果如下： 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 八组 九组 十组 摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 摸到白球的次数 41 39 40 43 38 39 46
22、 41 42 38 请你估计袋子中白球的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由表格可知共摸球 1000 次，其中摸到白球的频率稳定在 0.4，由此知袋子中摸出一个球，是白 球的概率为 0.4，据此根据概率公式可得答案 【解答】解：由表格可知共摸球 1000 次，其中摸到白球的频率稳定在 0.4， 在袋子中摸出一个球，是白球的概率为 0.4， 设白球有 x 个， 则0.4， 解得：x2， 故选：B 二填空题（本题共二填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9若分式的值是 0，则 x 的值为 2 【分析】根据分式的值为零的条件得到 x20 且 x0，易得
23、 x2 【解答】解：分式的值是 0， x20 且 x0， x2 故答案为：2 10在某一时刻，测得身高为 1.8m 的小明的影长为 3m，同时测得一建筑物的影长为 10m，那么这个建筑 物的高度为 6 m 【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解 【解答】解：设这栋建筑物的高度为 xm， 由题意得， 解得 x6， 即这栋建筑物的高度为 6m 故答案为：6 11如图，在 66 正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A，B，C 均在网格交点上，O 是ABC 的外接圆，则 cosBAC 的值是 【分析】把BAC 转化到直角三角形中，连接 OD，OC，则BACBDC 即可得答案
24、【解答】解：设 B 上方 4 个单位的格点为 D，连接 OD，OC，如图： 每个小正方形的边长都是 1，点 A，B，C 均在网格交点上 rOC， 而 OD，DBC90， D 在O 上，CD2，CD 是直径， DBC90， cosBACcosBDC， 故答案为： 12如果代数式 m2+2m1，那么的值为 1 【分析】先化简，再整体代入解答即可 【解答】解： m2+2m， 因为 m2+2m1， 所以的值为 1， 故答案为：1 13如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，如果A15，弦 CD4，那么 AB 的长是 8 【分析】根据圆周角定理得出COB30，再利用含 30的直角三角形的性质得
25、出 OC，进而解答即 可 【解答】解：A15， COB30， AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，弦 CD4， CE2，OEC90 COE30， OC2CE4， AB2OC8， 故答案为：8 142017 年全球超级计算机 500 强名单公布，中国超级计算机“神威太湖之光”和“天河二号”携手夺得 前两名已知“神威太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的 2.74 倍这两种超级计算机分别进 行 100 亿亿次浮点运算， “神威太湖之光”的运算时间比“天河二号”少 18.75 秒，求这两种超级计算 机的浮点运算速度 设 “天河二号” 的浮点运算速度为 x 亿亿次/秒， 依题意， 可列方程为
26、 18.75 【分析】根据“天河二号的运算时间神威太湖之光的运算时间18.75 秒”可列方程 【解答】解：设“天河二号”的浮点运算速度为 x 亿亿次/秒，则“神威太湖之光”的浮点运算速度为 2.74x 亿亿次/秒， 根据题意，得：18.75， 故答案为：18.75 15在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，m）绕坐标原点 O 顺时针旋转 90后，恰好落在图中阴影区域 （包括边界）内，则 m 的取值范围是 2m3 【分析】将阴影区域绕着点 O 逆时针旋转 90，与直线 x1 交于 C，D 两点，则点 A 在线段 CD 上， 据此可得 m 的取值范围 【解答】解：如图，将阴影区域绕着点 O 逆
27、时针旋转 90，与直线 x2 交于 C，D 两点，则点 A（ 2，m）在线段 CD 上， 又点 D 的纵坐标为 2，点 C 的纵坐标为 3， m 的取值范围是 2m3， 故答案为：2m3 16某快餐店外卖促销，佳佳和点点想点外卖，每单需支付送餐费 5 元，每种餐食外卖价格如表： 餐食种类 价格（单位：元） 汉堡套餐 40 鸡翅 16 鸡块 15 冰激凌 14 蔬菜沙拉 9 促销活动： （1）汉保套餐 5 折优惠，每单仅限一套； （2）全部商品（包括打折套餐）满 20 元减 4 元，满 40 元减 10 元，满 60 元减 15 元，满 80 元减 30 元佳佳想要汉堡套餐、鸡翅、冰激凌、蔬菜沙
28、拉各一 份； 点点想要汉堡套餐、 鸡块、 冰激凌各一份， 若他们把想要的都买全， 最少要花 84 元 （含送餐费） 【分析】根据题意和表格中的数据，可以计算出他们合买一单的实际消费和分开买的实际消费之和的两 种情况，然后比较大小，即可解答本题 【解答】解：由题意可得， 佳佳和点点合买一单的花费为： （40+400.5）+16+15+142+9128（元） ， 佳佳和点点合买一单的实际消费为：12830+5103（元） ； 佳佳买全需要的物品需要花费：400.5+16+14+959（元） ， 佳佳实际花费为：5910+554（元） ， 点点买全需要的物品需要花费：400.5+15+1449（元）
29、 ， 点点实际花费为：4910+544（元） ， 若他们把想要的都买全，最少要花 55+4498（元） ； 当佳佳和点点各买一单，佳佳买一单点汉堡套餐、鸡翅、冰激凌、鸡块、冰淇淋、蔬菜沙拉，共需 20+16+15+14+14+988（元） ，实际消费为：8830+563（元） ，点点买一单点汉堡套餐，共需 20 元， 实际消费为 204+521（元） ，若他们把想要的都买全，最少要花 63+2184（元） ； 1039884， 他们最少要花 84 元 故答案为：84 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题每题题每题 5 分，第分，第 23-26 题每题题每题
30、6 分，第分，第 27-28 题每题题每题 7 分）分） 17 （5 分）计算：|（4）0+2sin60+（） 1 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式1+2+41+43+ 18 （5 分）解不等式组： 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为1x1， 19 （5 分）已知 a2019，b2020，求a2（a2b）a（ab）2b2的值 【分析】直接利用整式的混合运算化简合并同类项，再把已知数据代入得出答案 【解答】解：a2（a2b
31、）a（ab）2b2 a32a2ba（a22ab+b2）b2 （a32a2ba3+2a2bab2）b2 ab2b2 a， 当 a2019 时， 原式a2019 20 （5 分）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线 l 外一点 P 作已知直线 l 的平行 线” 小明的作法如下： 在直线 l 上取一点 A，以点 A 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线 l 于点 B； 分别以 P，B 为圆心，以 AP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q（与点 A 不重合） ； 作直线 PQ 所以直线 PQ 就是所求作的直线 根据小明的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）
32、完成下面的证明 证明：ABAP PQ BQ 四边形 ABQP 是菱形（ 四边相等的四边形是菱形 ） （填推理的依据） PQl 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 （2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断 【解答】解： （1）如图所示 （2） ：ABAPPQBQ 四边形 ABQP 是菱形（四边相等的四边形是菱形） PQl 故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形 21 （5 分）如图，在ABC 中，D 是 AB 边上任意一点，E 是 BC 边中点，过点 C 作 AB 的平行线，交 DE 的延长线于点 F，连接 BF，CD （1）求证：四边形 CDBF 是平行四边形； （2）若FDB30，A
33、BC45，BC，求 DF 的长 【分析】 （1）欲证明四边形 CDBF 是平行四边形只要证明 CFDB，CFDB 即可； （2）如图，作 EMDB 于点 M，解直角三角形即可； 【解答】 （1）证明：CFAB， ECFEBD E 是 BC 中点， CEBE CEFBED， CEFBED CFBD 四边形 CDBF 是平行四边形 （2）解：如图，作 EMDB 于点 M， 四边形 CDBF 是平行四边形，BC， ，DF2DE 在 RtEMB 中，EMBEsinABC2， 在 RtEMD 中，EDM30， DE2EM4， DF2DE8 22 （5 分）已知关于 x 的方程 x24mx+4m290 （
34、1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为 x1，x2，其中 x1x2若 2x1x2+1，求 m 的值 【分析】 （1）首先得到（4m）24（4m29）360 证得方程有两个不相等的实数根； （2）根据已知条件得到得出关于 m 的方程求得答案即可 【解答】解： （1）（4m）24（4m29）360， 此方程有两个不相等的实数根； （2）x2m3， x12m3，x22m+3， 2x1x2+1，2（2m3）2m+3+1， m5 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 的图象经过点 A（0，4） 、B（2，0） ，交反比 例函数 y（x0）的图象于点
35、 C（3，a） ，点 P 在反比例函数的图象上，横坐标为 n（0n3） ，PQ y 轴交直线 AB 于点 Q，D 是 y 轴上任意一点，连接 PD、QD （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求DPQ 面积的最大值 【分析】 （1）由 A（0，4） 、B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点 C 的坐标，确定 反比例函数的关系式； （2）根据题意，要使三角形 PDQ 的面积最大，可用点 P 的横坐标 n，表示三角形 PDQ 的面积，依据二 次函数的最大值的计算方法求出结果即可 【解答】解： （1）把 A（0，4） 、B（2，0）代入一次函数 ykx+b 得， ，解得， 一次
36、函数的关系式为 y2x4， 当 x3 时，y2342， 点 C（3，2） ， 点 C 在反比例函数的图象上， k326， 反比例函数的关系式为 y， 答：一次函数的关系式为 y2x4，反比例函数的关系式为 y； （2）点 P 在反比例函数的图象上，点 Q 在一次函数的图象上， 点 P（n，） ，点 Q（n，2n4） ， PQ（2n4） ， SPDQn（2n4）n2+2n+3（n1）2+4， 10， 当 n1 时，S最大4， 答：DPQ 面积的最大值是 4 24 （6 分）四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，ADCD （1）如图 1，求证ABC2ACD； （2）过点 D 作O 的切线
37、，交 BC 延长线于点 P（如图 2） 若 tanCAB，BC1，求 PD 的长 【分析】 （1）ADC+B180，证明ADC+2ACD180即可； （2）连接 OD 交 AC 于 E，由 tanCAB，BC1 可得 AC 和 EC，证明 DPEC 即可 【解答】解： （1）证明：ADCD， DACACD， ADC+2ACD180， 四边形 ABCD 内接于O， ABC+ADC180， ABC2ACD， （2）连接 OD 交 AC 于 E，如图： PD 为O 切线， ODDP， ADCD， 弧 AD弧 CD， ODAC，AECE， DEC90， AB 为直径， ACB90， ECP90， 四边
38、形 DECP 是矩形， DPEC， tanCAB，BC1， ， AC， ECAC 25 （6 分）某地质量监管部门对辖区内的甲、乙两家企业生产的某同类产品进行检查，分别随机抽取了 50 件产品并对某一项关键质量指标做检测，获得了它们的质量指标值 s，并对样本数据（质量指标值 s）进 行了整理、描述和分析下面给出了部分信息 a该质量指标值对应的产品等级如下： 质量指标值 20s25 25s30 30s35 35s40 40s45 等级 次品 二等品 一等品 二等品 次品 说明：等级是一等品，二等品为质量合格（其中等级是一等品为质量优秀） ；等级是次品为质量不合格 b甲企业样本数据的频数分布统计表
39、如下（不完整） ： c乙企业样本数据的频数分布直方图如下： 甲企业样本数据的频数分布表 分组 频数 频率 20s25 2 0.04 25s30 m 30s35 32 n 35s40 0.12 40s45 0 0.00 合计 50 1.00 d两企业样本数据的平均数、中位数、众数、极差、方差如下： 平均数 中位数 众数 极差 方差 甲企业 31.92 32.5 34 15 11.87 乙企业 31.92 31.5 31 20 15.34 根据以上信息，回答下列问题： （1）m 的值为 10 ，n 的值为 0.64 ； （2）若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为 0.96 ；
40、若乙企业生产的某批 产品共 5 万件，估计质量优秀的有 3.5 万件； （3）根据图表数据，你认为 甲 企业生产的产品质量较好，理由为 甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好 （从某个角度说明推断的合理性） 【分析】 （1）根据题意和频数分布表中的数据，可以先求的 n 的值，然后再求 m 的值； （2）根据频数分布表可以求得从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率，根据频数 分布直方图可以求得乙企业生产的某批产品共 5 万件，质量优秀的有的件数； （3）根据频数分布直方图和分布表可以解答本题，注意本题答案不唯一，只要合理即可 【解答】解： （1）n32500.6
41、4，m50（10.040.640.120.00）10， 故答案为：10，0.64； （2）若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为：10.040.96， 乙企业生产的某批产品共 5 万件，估计质量优秀的有：53.5（万件） ， 故答案为：0.96，3.5； （3）我认为甲企业生产的产品质量较好， 理由：甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好， 故答案为：甲，甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 G：ya2x22a2x+4（a0） （1）抛物线 G 的对称轴为 x 1 ； （2）若在
42、抛物线 G 上有两点（2，y1） ， （m，y2） ，且 y2y1，则 m 的取值范围是 m2 或 m0 ； （3）若抛物线 G 的顶点纵坐标 t 的取值范围为 0t3，求 a 的取值范围 【分析】 （1）利用对称轴公式即可求得抛物线 G 的对称轴； （2）根据二次函数的图象和性质，抛物线 G 上有两点（2，y1） ， （m，y2） ，且 y2y1进而可得 m 的取值 范围； （3）ya2x22a2x+4a2（x1）2a2+4，根据题意得出，0a2+43，即 1a24，解不等式组 即可求 a 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 G 的对称轴为直线 x1， 故答案为 1； （2）抛物线开口向
43、上，对称轴为直线 x1， 抛物线 G 上有两点（2，y1） ， （m，y2） ，且 y2y1，则 m 的取值范围是 m2 或 m0； 故答案为：m2 或 m0； （3）ya2x22a2x+4a2（x1）2a2+4， 顶点纵坐标 t 的取值范围为 0t3， 0a2+43， 1a24， 2a1 或 1a2 27 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 是边 BC 上的动点，连接 AD，点 C 关于直 线 AD 的对称点为点 E，射线 BE 与射线 AD 交于点 F （1）在图中，依题意补全图形； （2）记DAC （45 ） ，求ABF 的大小； （用含 的式子表示） （3）若A
44、CE 是等边三角形，猜想 EF 和 BC 的数量关系，并证明 【分析】 （1）根据轴对称即可得出结论； （2）先判断出 AEAC，再表示出BAE，即可得出结论； （3）先判断出BCF 是直角三角形，结合ACE 是等边三角形，即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1 所示； （2）如图 2， 连接 AE，由题意可知，EADCAD，ACAE， BAE902， ABAC， ABAE， ABEAEB， ； （3）， 证明：如备用图，连接 AE，CF， 由（2）可知，AEBABF45+， ABAC， ABC45， CBF， 点 C 关于直线 AD 的对称点为点 E， ACFAEF135， BCF90，
45、 CBF+BCF90， BCF 是直角三角形 ACE 是等边三角形， 30 CBF30 28 （7 分）在平面内，C 为线段 AB 外的一点，若以 A，B，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称 C 为线 段 AB 的直角点特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称 C 为线段 AB 的等腰直角点 （1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（4，0） ，在点 P1（0，1） ，P2（5，1） ，P3 （2，2）中，线段 OM 的直角点是 P1、P3 ； （2） 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A， B 的坐标分别为 （1， 4） ， （1， 6） ， 直线 l 的解析式为
46、yx+7 如图 2，C 是直线 l 上的一个动点，若 C 是线段 AB 的直角点，求点 C 的坐标； 如图 3， P 是直线 l 上的一个动点， 将所有线段 AP 的等腰直角点称为直线 l 关于点 A 的伴随点， 若O 的半径为 r，且O 上恰有两个点为直线 l 关于点 A 的伴随点，直接写出 r 的取值范围 【分析】 （1）连接 OM 与 P1、P2、P3组成三角形，判断是否为直角三角形即可得答案； （2）分三种情形：BAC90，ABC90，ACB90分别求解即可解决问题 如图 3 中，设 P （m，m+7） ，以 AP 为边向下作正方形 APC3C2，连接 PC1，AC3交于点 C2，则
47、C1， C2，C3是线段 AP 的等腰直角点求出点 C1，C2的运动轨迹，再利用直线与圆的位置关系确定半径 r 的取值范围 【解答】解（1）连接 OP3、P3M、OP2、P2M、P1M，如图： P1（0，1） ，点 M 的坐标为（4，0） ， P1OM 是直角三角形， P1是线段 OM 的直角点， P3（2，2） ，点 M 的坐标为（4，0） ， OM4，OP32，P3M2， OP32+P3M2OM2， P3OM 是直角三角形， P3是线段 OM 的直角点， P2（5，1） ，M 的坐标为（4，0） ， OP2，OM4，P2M， P2OM 不是直角三角形，P2是线段 OM 的直角点， 故答案为：P1、P3 （2）点 A，B 的坐标分别为（1，4） ， （1，6） ，C 是线段 AB 的直角点，分三种情况： 若C1AB90，过 A 作 AB 的垂线交直线 l 于 C1，如图： 在 yx+7 中令 y4 得 x3， C1（3，4） 若ABC90，过 B 作 AB 的垂线交直线 l 于 C2，同理可得 C2（13，6） ， 若AC3B90，过 C3作 DEy 轴，过 A 作 ADx 轴交直线 DE 于 D，过 B 作 BEx 轴交直线 DE 于 E，如图： 设 C3（m，m+7）
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