1、2020 年湖北省武汉市新洲区中考数学模拟试卷（年湖北省武汉市新洲区中考数学模拟试卷（7 月份）月份） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1在3、0、1、2 这四个数中，最小的数是（ ） A3 B0 C1 D2 2若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx5 Cx5 Dx5 3一个不透明的盒子中装有 9 个白球和 1 个黑球，它们除了颜色外都相同从中任意摸出一球，则下列叙 述正确的是（ ） A摸到白球是必然事件 B摸到黑球是必然事件 C摸到白球是随机事件 D摸到黑球是不可能事件 4随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为
2、、凤凰光学 等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A B C D 5下面几何体的主视图是（ ） A B C D 6 如图， A 是反比例函数 y图象上的一点， ABx 轴于点 B， 若ABO 的面积为 2， 则 k 的值是 （ ） A2 B2 C4 D4 7大小分别为 40 码、41 码、42 码的 3 双同品牌同颜色的运动鞋随机地堆放在一起，从这堆鞋子中随机拿 走两只，这两只恰巧是一双的概率是（ ） A B C D 8一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行 驶的时间为 x（小时） ，两车之间的距离为 y（千米） ，如图中的折线表示
3、 y 与 x 之间的函数关系，下列说 法中，不正确的是（ ） A甲、乙两地相距 1000 千米 B两车出发后 3 小时相遇 C普通列车的速度是 100 千米/时 D动车从甲地到达乙地的时间是 4 小时 9如图，AB 是半O 的直径，点 C、D、E 在半O 上，且 ACCD1，DEBE，则直径 AB 的长 是（ ） A2 B C3 D2 10对于每个非零自然数 n，抛物线 yx2x+与 x 轴交于 An、Bn两点，以 AnBn表示这两 点间的距离，则 A1B1+A2B2+A3B3+A2020B2020的值是（ ） A B C D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11化简的结果为 12
4、在实验学校田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表： 成绩（m） 1.50 1.61 1.66 1.70 1.75 1.78 人数 3 2 2 2 5 1 则这些运动员成绩的中位数是 13化简： 14如图，BDE 中，点 A、C 在 DE 上，且 ADBD，BECE，若ABC42，则DBE 15抛物线 ya2+bx+c 经过点（1，0） ，与 y 轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点） ， 对称轴为直线 x2下列结论：a+b+c0；若点 M（0.5，y1） 、N（2.5，y2）在图象上，则 y1y2； 若 m 为任意实数，则 a（m24）+b（m2）0；245（a+
5、b+c）16其中正确结论的序 号为 16如图，锐角ABC 中，AHBC 于 H，BC4，AH2，动点 D 在 AB 边上，DEBC 交 AC 于 E，DF BC 于 F，则线段 EF 长度的最小值为 三、解答题（共 8 小题，共 72 分） 17计算： （2a2）3a23a4+a8a2 18 如图， 四边形 ABCD 中， ADBC， BE 平分ABC 交 AD 于 E， DF 平分ADC 交 BC 于 F， BEDF 求 证：ABCADC 19为了加强学生安全教育，某校举行了一次“安全知识竞赛”初赛，共有 1200 名学生参加为了解本次 初赛成绩，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分
6、为 100 分）进行统计，请你根据下面的频 数分布表和频数分布直方图，解答下列问题： （1）抽取的样本容量是 ； （2）频数分布表中，a ，b ，并请补全频数分布直方图； （3）如果成绩达到 80 分以上者为优秀，可推荐参加决赛，请通过计算估计进入决赛的学生人数 分组 频数 频率 50.560.5 4 0.08 60.570.5 8 0.16 70.580.5 12 0.24 80.590.5 15 0.30 90.5100.5 a b 合计 20如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点ABC 的顶点在格点上， 请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图， 保留连线的痕迹，
7、 画图过程用虚线表示， 画图结果用实线表示， 按步骤完成下列问题： （1）如图 1，作ABC 的高线 CD； （2）直接写出的值 ； （3）在 BC 边上取点 E，使得 tanBAE； （4）如图 2，在（1）的条件下，在 AC 边上取一点 P，使 BP+DP 的值最小 21 如图， AB 是O 的直径， 弦 CDAB 于 H， G 为O 上一点， AG 交 CD 于 K， E 为 CD 延长线上一点， 且 EKEG，EG 的延长线交 AB 的延长线于 F （1）求证：EF 为O 的切线； （2）若 DK2HKAK，CH，求图中阴影部分的面积 S 22某专卖店销售 A 型和 B 型两种商品，其
8、中 A 型商品每台的利润为 400 元，B 型商品每台的利润为 500 元 该专卖店计划购进两种型号的商品共 100 台， 其中 B 型商品的进货量不超过 A 型商品进货量的 2 倍， 设购进 A 型商品 x 台，这 100 台商品的销售总利润为 y 元 （1）直接写出 y 关于 x 的函数关系式； （2）求该专卖店购进 A 型、B 型商品各多少台，销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）专卖店实际进货时，厂家对 A 型商品出厂价下调 a（0a200）元，且限定该专卖店最多购进 A 型商品 50 台， 若专卖店保持同种商品的售价不变， 这 100 台商品销售的最大利润为 51500 元， 求
9、a 的值 23如图 1，ABC 中，点 D、E、F 分别在边 BC、AC、AB 上，EF 交 AD 于点 G，且DGE+C90 （1）过点 G 作 GPAC 交 AC 于 P，作 GQBC 交 BC 于 Q求证：GPEDQG； （2）如图 2，若C30，ABBDAE，AG6，求线段 DG 的长； （3）如图 3，若 sinC，ABBDnAE，AGa，直接写出线段 DG 的长（用含 n 和 a 的代数式表 示） 24如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B（1，0）两点（A 左 B 右） ，与 y 轴的负半轴 交于点 C （1）若抛物线的顶点坐标为 D（1，4） ，求
10、抛物线的解析式； （2）如图 2，在（1）的条件下，直线 ykx1（k0）与抛物线相交于 P、Q 两点，点 P 在第二象限， Q 在第四象限，若 AQBP，求OPQ 的面积； （3）抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 xh，且一 1h0抛物线 yax2+bx+c 与正比例函数 ybx 的图象有两个不同的交点 E、F，过 E、F 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，求线段 MN 的取值范 围 2020 年湖北省武汉市新洲区中考数学模拟试卷（年湖北省武汉市新洲区中考数学模拟试卷（7 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1在3、
11、0、1、2 这四个数中，最小的数是（ ） A3 B0 C1 D2 【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负 数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】解：根据有理数大小比较的方法，可得3012， 故最小的数是3 故选：A 2若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx5 Cx5 Dx5 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0 【解答】解：依题意有 x+50， 即 x5 时，二次根式有意义 故选：D 3一个不透明的盒子中装有 9 个白球和 1 个黑球，它们除了颜色外都相同从中任意摸出一球，则下列叙 述正确的是（
12、 ） A摸到白球是必然事件 B摸到黑球是必然事件 C摸到白球是随机事件 D摸到黑球是不可能事件 【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可 【解答】解：摸到白球是随机事件，不是必然事件， 选项 A 不符合题意，选项 C 符合题意； 摸到黑球是随机事件， 选项 B、D 不符合题意； 故选：C 4随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学 等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图
13、形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 5下面几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图就是从物体的正面进行观察，得出主视图有 3 列，小正方形数目分别为 2，1，1 【解答】解：如图所示： 故选：C 6 如图， A 是反比例函数 y图象上的一点， ABx 轴于点 B， 若ABO 的面积为 2， 则 k 的值是 （ ） A2 B2 C4 D4 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S|k| 【解答】解：根据题意可知：SAOB|k|2， 又反比例函
14、数的图象位于第一象限，k0， k4 故选：D 7大小分别为 40 码、41 码、42 码的 3 双同品牌同颜色的运动鞋随机地堆放在一起，从这堆鞋子中随机拿 走两只，这两只恰巧是一双的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的数，再根据概率公式即可得出答案 【解答】解：40 码、41 码、42 码的运动鞋分别用 A、B、C 表示，根据题意画图如下： 共有 30 种等可能的情况数，其中两只恰巧是一双的有 6 种， 则这两只恰巧是一双的概率是； 故选：A 8一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行 驶的时
15、间为 x（小时） ，两车之间的距离为 y（千米） ，如图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，下列说 法中，不正确的是（ ） A甲、乙两地相距 1000 千米 B两车出发后 3 小时相遇 C普通列车的速度是 100 千米/时 D动车从甲地到达乙地的时间是 4 小时 【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：由图象可得， 甲、乙两地相距 1000 千米，故选项 A 不合题意； 点 B 的实际意义是两车出发后 3 小时相遇，故选项 B 不合题意； 普通列车从乙地到达甲地时间是 12 小时，普通列车的速度为：100012（千米/时） ，故选项
16、C 符 合题意； 动车的速度为： （1000）3250（千米/时） ，动车从甲地到达乙地的时间是：10002504 （小时） ，故选项 D 不合题意； 故选：C 9如图，AB 是半O 的直径，点 C、D、E 在半O 上，且 ACCD1，DEBE，则直径 AB 的长 是（ ） A2 B C3 D2 【分析】连接 CE，过点 C 作 CHDE 于 H，由 ACCD，DEBE 推出OCE 为等腰直角三角形，得 到 CDOC，由圆周角的和三角形外角定理推出45，得到 CDH 为等腰直角三角形，进而求出 CH，EH，由勾股定理求出 CE，即可得到半径 【解答】解：连接 CE，OC，OD，OE，过点 C
17、作 CHDE 于 H， 如图，设半圆 O 的半径为 r， 弦 ACCD1，DEEB， AOCCOD，DOEBOE， COD+DOEAOB90，即COE90， OCE 为等腰直角三角形， CEOCr， 1DOE，2COD， 1+2COE45， 31+245， CDH 为等腰直角三角形， CHDHCD， EHDE+DH， 在 RtCHE 中，CE， r， AB2r， 故选：B 10对于每个非零自然数 n，抛物线 yx2x+与 x 轴交于 An、Bn两点，以 AnBn表示这两 点间的距离，则 A1B1+A2B2+A3B3+A2020B2020的值是（ ） A B C D 【分析】 通过解方程 x2x
18、+0 得 x1， x2， 则 An， Bn两点为 （， 0） ，（， 0） ， 所以 AnBn， 则 A1B1+A2B2+A3B3+A2020B20201+， 然后进行分数的混合运算即可 【解答】解：当 y0 时，x2x+0， （x） （x）0， 解得 x1，x2， An，Bn两点为（，0） ， （，0） ， AnBn， A1B1+A2B2+A3B3+A2020B20201+， 1 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11化简的结果为 2 【分析】根据二次根式的性质进行化简 【解答】解：2， 故答案为：2 12在实验学校田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表：
19、 成绩（m） 1.50 1.61 1.66 1.70 1.75 1.78 人数 3 2 2 2 5 1 则这些运动员成绩的中位数是 1.70 【分析】根据中位数的定义，由于运动员的人数为奇数，找到中间运动员的成绩即得到答案 【解答】解：由题意知共有 15 名运动员， 图表中的成绩是按从小到大的顺序排列的， 则这些运动员成绩的中位数为 1.70 故答案为：1.70 13化简： 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果 【解答】解：原式 故答案为： 14如图，BDE 中，点 A、C 在 DE 上，且 ADBD，BECE，若ABC42，则DBE 96 【分析】设CBDx，AB
20、Ey，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得 x+y54，最后根 据角的和差的关系可得结论 【解答】解：设CBDx，ABEy， ADBD， ABDDABx+42， BECE， BCECBEy+42， ABC 中，ACB+ABC+CAB180， 42+y+42+x+42180， x+y54， DBECBD+ABC+ABEx+42+y54+4296， 故答案为：96 15抛物线 ya2+bx+c 经过点（1，0） ，与 y 轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点） ， 对称轴为直线 x2下列结论：a+b+c0；若点 M（0.5，y1） 、N（2.5，y2）在图象上，则 y1y2；
21、若 m 为任意实数，则 a（m24）+b（m2）0；245（a+b+c）16其中正确结论的序 号为 【分析】根据题意画出函数的图象，然后根据二次函数的图象结合函数的性质依次对 4 个结论进行判断 即可求出答案 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴相交于点 A（1，0） ，对称轴为直线 x2， 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴相交于点 A（1，0） ， （5，0） ， 二次函数与 y 轴的交点 B（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点） ， 大致图象如图： 当 x1 时，ya+b+c0，故结论正确； 二次函数的对称轴为直线 x2，且 a0，20.
22、51.5，2.520.5， y1y2，故结论不正确； x2 时，函数有最小值， am2+bm+c4a+2b+c（m 为任意实数） ， a（m24）+b（m2）0，故结论正确； 2， b4a， 一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根为1 和 5， 15， c5a， 3c2， a， 当 x1 时，ya+b+c8a，8， 245（a+b+c）16，故结论正确； 故答案为 16如图，锐角ABC 中，AHBC 于 H，BC4，AH2，动点 D 在 AB 边上，DEBC 交 AC 于 E，DF BC 于 F，则线段 EF 长度的最小值为 【分析】证明ADEABC，由相似三角形的性质得出，得出 DE42x
23、，由勾股定理可得出 EF 的长，由二次函数的性质可得出答案 【解答】解：DFBC，AHBC， DFAH， DEBC， 四边形 DFHG为矩形， DFGH， 设 DFx，则 AG2x， DEBC， ADEABC， ， ， DE42x， EF2DF2+DE2x2+（42x）25， EF 的最小值为 故答案为： 三解答题三解答题 17计算： （2a2）3a23a4+a8a2 【分析】 直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式、 同底数幂的除法运算法则分别计算得出答案 【解答】解：原式8a63a6+a6 6a6 18 如图， 四边形 ABCD 中， ADBC， BE 平分ABC 交 AD 于 E，
24、DF 平分ADC 交 BC 于 F， BEDF 求 证：ABCADC 【分析】由 ADBC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出ADFCFD，由 BEDF，利用“两 直线平行，同位角相等”可得出CBECFD，进而可得出ADFCBE，再结合角平分线的定义 即可证出ABCADC 【解答】证明：ADBC， ADFCFD BEDF， CBECFD， ADFCBE BE 平分ABC，DF 平分ADC， ABC2CBE，ADC2ADF， ABCADC 19为了加强学生安全教育，某校举行了一次“安全知识竞赛”初赛，共有 1200 名学生参加为了解本次 初赛成绩，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为
25、 100 分）进行统计，请你根据下面的频 数分布表和频数分布直方图，解答下列问题： （1）抽取的样本容量是 50 ； （2）频数分布表中，a 11 ，b 0.22 ，并请补全频数分布直方图； （3）如果成绩达到 80 分以上者为优秀，可推荐参加决赛，请通过计算估计进入决赛的学生人数 分组 频数 频率 50.560.5 4 0.08 60.570.5 8 0.16 70.580.5 12 0.24 80.590.5 15 0.30 90.5100.5 a b 合计 【分析】 （1）根据每组的频数、频率所对应的数据，可求出样本容量； （2）根据频数之和等于样本容量，频率之和为 100%，可求出 a
26、、b 的值； （3）求出样本中“优秀”所占的百分比即可求出答案 【解答】解： （1）40.0850（人） ， 故答案为：50； （2）a5048121511，b10.080.180.240.300.22， 故答案为：11，0.22， 补全频数分布直方图如图所示； （3）1200（0.30+0.22）624（人） ， 答：估计进入决赛的学生人数有 624 人 20如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点ABC 的顶点在格点上， 请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图， 保留连线的痕迹， 画图过程用虚线表示， 画图结果用实线表示， 按步骤完成下列问题： （1）如图 1，作A
27、BC 的高线 CD； （2）直接写出的值 ； （3）在 BC 边上取点 E，使得 tanBAE； （4）如图 2，在（1）的条件下，在 AC 边上取一点 P，使 BP+DP 的值最小 【分析】 （1）根据三角形的高的定义即可作ABC 的高线 CD； （2）根据等面积法求出 BD 的长，再根据勾股定理求出 AD 的长，即可得的值； （3）根据正切的定义即可在 BC 边上取点 E，使得 tanBAE； （4）根据两点之间线段最短，使 DP 和 BP 能在一条直线上，作 AC 的垂线 BG，再作 AC 的平行线 JK， 交 BG 于点 H，使得 AC 垂直平分 BH，连接 DH 交 AC 于点 P，
28、即可使 BP+DP 的值最小 【解答】解： （1）如图 1，高线 CD 即为所求； （2）SBCFBCBFFCBD， 32BD， BD， ABCF， ADABBD， 的值为； 故答案为：； （3）如图 2，点 E 即为所求； （4）如图 3，点 P 即为所求 21 如图， AB 是O 的直径， 弦 CDAB 于 H， G 为O 上一点， AG 交 CD 于 K， E 为 CD 延长线上一点， 且 EKEG，EG 的延长线交 AB 的延长线于 F （1）求证：EF 为O 的切线； （2）若 DK2HKAK，CH，求图中阴影部分的面积 S 【分析】 （1）连接 OG，首先证明EGKEKG，再证明H
29、AK+KGE90，进而得到OGA+ KGE90即 GOEF，进而证明 EF 是O 的切线； （2）与已知条件得出HAK30，HKDH，AHHK，连接 OD，设O 的半径 为 R，在 RtODH 中，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，得出 OHOD，求出ODH30， ODH 的面积，再求出BOD120，得出扇形 OBGD 的面积，证明GEK 是等边三 角形，求出 OF2OG4，得出 HFOH+OF5，求出 HE，计算出EFH 的面积，即 可得出结果 【解答】 （1）证明：连接 OG，如图 1 所示： 弦 CDAB 于点 H， AHK90， HKA+KAH90， EGEK， EGKEKG， HK
30、AGKE， HAK+KGE90， AOGO， OAGOGA， OGA+KGE90， GOEF， EF 是O 的切线； （2）解：CDAB， DHCH， DK2HKAK， HAK30，HKDH， AHHK， 连接 OD，如图 2 所示： 设O 的半径为 R， 在 RtODH 中，由勾股定理得： （）2+（R）2R2， 解得：R2， OHOAAHOD， ODH30，ODH 的面积OHDH， DOH60， BOD120， 扇形 OBGD 的面积， OAOG， OGAHAK30， EGK903060， 又EKEG， GEK 是等边三角形， E60， F906030， GOEF， OF2OG4， HFO
31、H+OF5， HEHF， EFH 的面积HFHE5， 图中阴影部分的面积 S 22某专卖店销售 A 型和 B 型两种商品，其中 A 型商品每台的利润为 400 元，B 型商品每台的利润为 500 元 该专卖店计划购进两种型号的商品共 100 台， 其中 B 型商品的进货量不超过 A 型商品进货量的 2 倍， 设购进 A 型商品 x 台，这 100 台商品的销售总利润为 y 元 （1）直接写出 y 关于 x 的函数关系式； （2）求该专卖店购进 A 型、B 型商品各多少台，销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）专卖店实际进货时，厂家对 A 型商品出厂价下调 a（0a200）元，且限定该专卖店最
32、多购进 A 型商品 50 台， 若专卖店保持同种商品的售价不变， 这 100 台商品销售的最大利润为 51500 元， 求 a 的值 【分析】 （1）根据“总利润A 型电脑每台利润A 电脑数量+B 型电脑每台利润B 电脑数量”可得函 数解析式； （2）根据“B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍且电脑数量为整数”求得 x 的范围，再结合（1） 所求函数解析式及一次函数的性质求解可得； （3）设新利润为 W 元，据题意得 W（400+a）x+500（100 x） ，即 W（a100）x+50000，分三种 情况讨论，当 0a100 时，y 随 x 的增大而减小，a100 时，y50000
33、，当 100m200 时， a1000，W 随 x 的增大而增大，分别进行求解 【解答】解： （1）y400 x+500（100 x）100 x+50000； （2）由题意得：， 解得 33100， 34x100 且 x 为整数 y100 x+50000，k1000， y 随 x 的增大而减小， 34x100 且 x 为整数， x34 时，y 取最大值 ymax46600， 100 x66 答：购进 A 型 34 台，B 型 66 台最大利润 46600 元 （3）设新利润为 W 元，由题意得： W（400+a）x+500（100 x） ，即 W（a100）x+50000， x50 且 x 为
34、整数， 34x50 且 x 为整数 当 0a100 时，ka1000，W 随 x 的增大而减小， 当 x34 时，W 取最大值， 即 34（a100）+5000051500，a100，不符题意，舍去； 当 a100 时，a1000，y50000，不符题意，舍去； 当 100a200 时，ka1000，W 随 x 的增大而增大 当 x50 时，y 取得最大值，即（a100）50+5000051500，a130 综上可知 a130，这 100 台商品销售的最大利润为 51500 元 23如图 1，ABC 中，点 D、E、F 分别在边 BC、AC、AB 上，EF 交 AD 于点 G，且DGE+C90
35、 （1）过点 G 作 GPAC 交 AC 于 P，作 GQBC 交 BC 于 Q求证：GPEDQG； （2）如图 2，若C30，ABBDAE，AG6，求线段 DG 的长； （3）如图 3，若 sinC，ABBDnAE，AGa，直接写出线段 DG 的长（用含 n 和 a 的代数式表 示） 【分析】 （1）先判断出C+PGQ180，进而判断出PEGQGD，即可得出结论； （2）先判断出 RtBDNRtEAM，得出 DNAM再求出 AM3，进而得出 DN3，即可得 出结论； （3）先判断出 RtBDNRtEAM，进而得出 DNnAM，再判断出MAGC，sinC，进 而得出 MGa，再用勾股定理得出
36、AMa，进而得出 DNan最后求出 ADan，即可得出结 论 【解答】 （1）证明：GPAC，GQBC， CQGCPG90， C+PGQ180， DGE+C90， PGE+QGD90， PEG+PGE90， PEGQGD， CQGCPG90， GPEDQG； （2）如图 2，作 AMEF 于 M，BNAD 于 N，则DBN+ADB90， 由（1）知，GPEDQG， ADB+AEF90， DBNAEF，DNBAME90， 又BDAE， RtBDNRtEAM（AAS） ， DNAM DGE+C90， AGMDGE90C60， 在 RtAMG 中，MAG90AGM30，AG6， AM3， DN3 A
37、BBD，BNAD， AD2DN6， DGADAG66 （3）如图 3，作 AMEF 于 M，BNAD 于 N，则DBN+ADB90， 由（1）知，GPEDQG， ADB+AEF90， DBNAEF，DNBAME90， RtBDNRtEAM， ， 又BDnAE， DNnAM， AMEF， MAG+AGM90， DGE+C90， MAGC， sinC， sinMAG， 在 RtAMG 中，sinMAG，MGAGa， 根据勾股定理得，AMa， DNnAMan ABBD，BNAD， AD2DNan， DGADAGana 24如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B（1，0）
38、两点（A 左 B 右） ，与 y 轴的负半轴 交于点 C （1）若抛物线的顶点坐标为 D（1，4） ，求抛物线的解析式； （2）如图 2，在（1）的条件下，直线 ykx1（k0）与抛物线相交于 P、Q 两点，点 P 在第二象限， Q 在第四象限，若 AQBP，求OPQ 的面积； （3）抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 xh，且一 1h0抛物线 yax2+bx+c 与正比例函数 ybx 的图象有两个不同的交点 E、F，过 E、F 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，求线段 MN 的取值范 围 【分析】 （1）根据题意设出函数的顶点式，代入点 B 的坐标即可； （2）由 AQBP，可得
39、两直线的 k 相等，设出斜率，可表达出直线方程，进而表达出 P，Q 的横坐标， 代入求解即可； （3）根据根与系数关系，表求出点 A 的横坐标的范围，再表达出 MN 的长度，由点 A 横坐标的范围， 求出 MN 的范围 【解答】解： （1）抛物线的顶点坐标为 D（1，4） ， 可设 ya（x+1）24， 点 B（1，0）是抛物线上一点， 4a40，解得 a1， 抛物线的解析式为：y（x+1）24，化成一般式为：yx2+2x3； （2）AQBP，A（3，0） ，B（1，0） ， 可设直线 AQ 的解析式为 ymx+3m，直线 BP 的解析式为 ymxm； 由得 x2+（2m）x33m0， xA+
40、、xQm2， 同理：xB+xPm2， xA+xQxB+xP， xQxPxBxA4， 设直线 PQ 与 y 轴的交点为 D，则 OD1， SOPQ142； （3）抛物线 yax2+bx+c0 时，xA+xB，xAxB，由 xB1，得 xA 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴相交于 B （1，0） ，对称轴 xh 满足当1h0， 3xA1 设点 E 与点 M 的横坐标为 xM，点 F 与点 N 的横坐标为 xN 由得 ax2+2bx+c0， 方程 ax2+2bx+c0 的两根为 xM，xN， ， 4（xA+1）24xA 即， 40， 抛物线开口向上，顶点坐标， 又3xA1 在对称轴的的左侧， 4MN228， 2MN2
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