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    2021年中考数学冲刺100天提优测试(第21天-第25天)含答案

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    2021年中考数学冲刺100天提优测试(第21天-第25天)含答案

    1、中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2121) 一、一、例题分析例题分析 1. 关于二次函数 y=2x 2mx+m2,以下结论: 抛物线交 x 轴有交点; 不论 m 取何值,抛物线总经过点(1,0); 若 m6,抛物线交 x 轴于 A、B 两点,则 AB1; 抛物线的顶点在 y=2(x1) 2图象上其中正确的序号是( ) A. B. C. D. 2. 如图,边长为 12正方形 ABCD,点 P 是对角线 BD 上一动点,E 在边 CD 上,EC3,则 PC+PE 的最小值 是_ 3. 在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax 22ax3a(a0)图象与 x轴交于点A,B(点A在点B的左

    2、 侧),与y轴交于点C,顶点为D (1)求点A,B坐标; (2)若M为对称轴与x轴交点,且DM=2AM 求二次函数解析式; 当t2xt时,二次函数有最大值 5,求t值; 若直线x=4 与此抛物线交于点E,将抛物线在C,E之间的部分记为图象记为图象P(含C,E两点),将 图象P沿直线x=4 翻折,得到图象Q,又过点(10,4)的直线y=kx+b与图象P,图象Q都相交,且只有 两个交点,求b的取值范围 二、巩固提高 1. 如图,O中,弧 AB 等于弧 AC,75ACB,2BC ,则阴影部分的面积是( ) A. 2 2 3 B. 2 23 3 C. 2 4 3 D. 4 2 3 2. 如图,在平面直

    3、角坐标系中,半径均为 1 个单位长度的半圆O1、O2 、O3组成一条平滑的曲线,点P从 原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 2 个单位长度,则第 2020 秒时,点P的坐标是 _ 3. 定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解: 1如图 1, 点A B C, ,在O上,ABC的平分线交O于点D, 连接ADCD,求证: 四边形ABCD 是等补四边形; 探究: 2如图 2,在等补四边形ABCD中AB AD,连接ACAC,是否平分?BCD请说明理由 运用: 3如图 3,在等补四边形ABCD中,ABAD,其外角EAD的平分线交CD的延长线于点 105FCDAF, ,求DF的长

    4、 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2222) 一、例题分析 1BDE和FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内若求五边形 DECHF的周长,则只需知道( ) AABC的周长 BAFH的周长 C四边形FBGH的周长 D四边形ADEC的周长 2如图,在ABC中,ACB90,点D为AB边的中点,连接CD,若BC4,CD3,则 cosDCB的值 为 3如图,在梯形中,厘米,厘米,的坡度动点从出 发以 2 厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以 3 厘米/秒的速度沿方向向 点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止设动点运动

    5、的时间 为 秒 (1)求边的长; (2)当 为何值时,与相互平分; (3)连结设的面积为探求与 的函数关系式,求 为何值时,有最大值?最大值是多少? 二、巩固提高 1如图,二次函数 yax 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴正半轴交于点 C,它的对称 轴为直线 x1则下列选项中正确的是( ) A. abc0B.4acb 20 C. ca0 D. 当 xn22(n 为实数)时,yc 2菱形的两条对角线长分别为 6 和 8,则这个菱形的边长为 3如图,二次函数yax 2+bx+x 的图象过O(0,0) A(1,0)、B(3 2, 3 2 )三点 ABCD906DCA

    6、BAAD , ,4DC BC3 4i ,PA ABBQBBCD D t BC tPC BQ PQ,PBQy,ytty (1)求二次函数的解析式; (2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD 的解析式; (3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQx轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长 最大时,求点P的坐标 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2323) 一、例题分析 1. 如图,在ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边上,过点E作EFBC,交AD于点F,过点E 作EGAB,交BC于点G,则下列式子一定正确

    7、的是( ) A = B = C = D = 2. 如图,ABC内接于O,MHBC于点H,若AC10,AH8,O的半径为 7,则AB 3.如图,在 RtABC中,ACB90,ACBC,点D、E分别在AC、BC边上,DCEC,连接DE、AE、BD, 点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN (1)BE与MN的数量关系是 (2)将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置,判断BE与MN有怎样的数量关系?写出你的猜想, 并利用图或图进行证明 二、巩固提高 1如图,已知抛物线yax 2+bx+c 的对称轴为直线x1给出下列结论: ac0;b 24ac0;2ab0;ab+c0 其中,正确

    8、的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2. 我国古代数学名著 九章算术 上有这样一个问题: “今有醇酒一斗, 直钱五十; 行酒一斗, 直钱一十 今 将钱三十,得酒二斗问醇、行酒各得几何?”其大意是:今有醇酒(优质酒)1 斗,价值 50 钱;行酒(劣 质酒)1 斗,价值 10 钱现用 30 钱,买得 2 斗酒问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗,行酒为y 斗,根据题意,可列方程组为 3.如图, 在平面直角坐标系中, 直线 1 2 2 yx 与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 抛物线 2 2 3 yxbxc 过点B且与直线相交于另一点 5 3 , 2 4 C (1)求抛物线的解

    9、析式; (2)点P是抛物线上的一动点,当PAOBAO时,求点P的坐标; (3)点 5 ( ,0)0 2 N nn 在x轴的正半轴上,点 (0,)Mm是y轴正半轴上的一动点,且满足 90MNC 求m与n之间的函数关系式; 当m在什么范围时,符合条件的N点的个数有 2 个? 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2424) 一、例题分析 1. 如图,在半径为 5 的O中,将劣弧AB沿弦AB翻折,使折叠后的 恰好与OA、OB相切,则劣弧AB的 长为( ) A5 3 B5 2 C5 4 D5 6 2小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图”,已知正方形ABCD的边长为 4dm,则

    10、图 2 中h 的值为 dm 3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线yax 2+bx2 交 x轴于A,B两点, 交y轴于点C, 且OA2OC8OB 点 P是第三象限内抛物线上的一动点 (1)求此抛物线的表达式; (2)若PCAB,求点P的坐标; (3)连接AC,求PAC面积的最大值及此时点P的坐标 二、巩固提高 1. 把函数y(x1) 2+2 图象向右平移 1 个单位长度,平移后图象的的数解析式为( ) Ayx 2+2 By(x1)2+1 Cy(x2) 2+2 Dy(x1) 23 2如图,在ABC中,已知AB2,ADBC,垂足为D,BD2CD若E是AD的中点,则EC 3.如图 1,ABC和DC

    11、E都是等边三角形 探究发现 (1)BCD与ACE是否全等?若全等,加以证明;若不全等,请说明理由 拓展运用 (2)若B、C、E三点不在一条直线上,ADC30,AD3,CD2,求BD的长 (3)若B、C、E三点在一条直线上(如图 2),且ABC和DCE的边长分别为 1 和 2,求ACD的面积及 AD的长 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2525) 一、例题分析 1.如图,在半径为 3 的O中,AB是直径,AC是弦,D是 的中点,AC与BD交于点E若E是BD的中点, 则AC的长是( ) A5 23 B3 3 C3 2 D4 2 2如图,在 RtABC中,ACB90,CD为中线,延长CB

    12、至点E,使BEBC,连结DE,F为DE中点, 连结BF若AC8,BC6,则BF的长为 3如图,直线 210yx 分别与x轴,y轴交于点A,B两点,点C为OB的中点,抛物线 2 yxbxc经过A, C两点 (1)求抛物线的函数表达式; (2)点 D 是直线 AB 下方的抛物线上的一点,且ABD的面积为 45 2 ,求点 D 的坐标; (3)点 P 为抛物线上一点,若APB是以AB为直角边的直角三角形,求点 P 到抛物线的对称轴的距离 二、巩固提高 1 如图所示, 等腰ABC中, 点D,E分别在腰AB,AC上, 添加下列条件, 不能判定ABEACD的是 ( ) AADAE BBECD CADCAE

    13、B DDCBEBC 2 如图, 在ABC中,ABAC, 点A在反比例函数y= (k0,x0) 的图象上, 点B,C在x轴上,OC= 1 5OB, 延长AC 交y轴于点D,连接BD,若BCD的面积等于 1,则k的值为 3.在ABC 中.BC 边的长为 x,BC 边上的高为 y,ABC 的面积为 2 (1)y 关于 x 的函数关系式是_, x 的取值范围是_; (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象; (3)将直线 y=-x+3 向上平移 a(a0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点,请求出此时 a 的值 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2121) 一、例题分析 1. 关于二次

    14、函数 y=2x 2mx+m2,以下结论: 抛物线交 x 轴有交点; 不论 m 取何值,抛物线总经过点(1,0); 若 m6,抛物线交 x 轴于 A、B 两点,则 AB1; 抛物线的顶点在 y=2(x1) 2图象上其中正确的序号是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 二次函数 y=2x 2-mx+m-2,a=2,b=-m,c=m-2,b2-4ac=(-m)2-8(m-2)=(m-4)20, 则抛物线与 x 轴有交点, 故正确; 当 x=1 时, y=2-m+m-2=0, 不论 m 取何值, 抛物线总经过点 (1, 0) , 故正确;设 A 的坐标为(x1,0),B(x2,0),令

    15、 y=0,得到 2x 2-mx+m-2=0, x1+x2= 2 m ,x1x2= 2 2 m , AB=|x1-x2|= 2 2 1212 4 422 22 mm xxx xm |, 当 m6 时,可得 m-42,即 4 2 m 1,AB1,故正确; 抛物线的顶点坐标为( 4 m , 2 816 8 mm ), 将 x= 4 m 代入得:y=-2( 4 m -1) 2=-2( 2 1 162 mm )= 2 816 8 mm , 抛物线的顶点坐标在 y=-2(x-1) 2图象上,故正确,综上,正确的序号有,故选 A. 2. 如图,边长为 12正方形 ABCD,点 P 是对角线 BD 上一动点,

    16、E 在边 CD 上,EC3,则 PC+PE 的最小值 是_ 【答案】15 【解析】 【分析】 连接 AC、AE,由正方形的性质可知 A、C 关于直线 BD 对称,则 AE 的长即为 PC+PE 的最小值,再根据勾股定 理求出 AE 的长即可 【详解】解:连接 AC、AE, 四边形 ABCD 是正方形,A、C 关于直线 BD 对称,AE 的长即为 PC+PE 的最小值, CD12,CE3,DE9,在 RtADE 中, AE 22 ADDE 22 129 15,PC+PE 的最小值为 15,故答案为:15 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题及正方形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解

    17、题 的关键 3. 在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax 22ax3a(a0)图象与 x轴交于点A,B(点A在点B的左 侧),与y轴交于点C,顶点为D (1)求点A,B坐标; (2)若M为对称轴与x轴交点,且DM=2AM 求二次函数解析式; 当t2xt时,二次函数有最大值 5,求t值; 若直线x=4 与此抛物线交于点E,将抛物线在C,E之间的部分记为图象记为图象P(含C,E两点),将 图象P沿直线x=4 翻折,得到图象Q,又过点(10,4)的直线y=kx+b与图象P,图象Q都相交,且只有 两个交点,求b的取值范围 【答案】(1)A(1,0)、B(3,0);(2)y=x 22x3;t 值为 0

    18、 或 4;1b11 或b=4 【解析】 【分析】 (1)令y0,即:ax 22ax3a0,解得:x1 或 3,即可求解; (2)DM2AM4,即点D的坐标为(1,4),将点D的坐标代入二次函数表达式,即可求解; 分xt和xt2 在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况,讨论求解即可; 如下图所示,直线m、l、n都是直线ykx+b与图象P、Q都相交,且只有两个交点的临界点,即可求 解 【详解】解:(1)令y=0,即:ax 22ax3a=0,解得:x=1 或 3, 即点A、B的坐标分别为(1,0)、(3,0),函数的对称轴1 2 b x a ; (2)DM=2AM=4,即点D坐标为(1,4), 将点D的坐

    19、标代入二次函数表达式得: 4=a2a3a,解得:a=1,即函数的表达式为:y=x 22x3; 当x=t和x=t2 在对称轴右侧时,函数在x=t处,取得最大值, 即:t 22t3=5,解得:t=2 或 4(舍去 t=2),即t=4; 同理当x=t和x=t2 在对称轴左侧或两侧时,解得:t=0, 故:t值为 0 或 4; 如下图所示,直线m、l、n都是直线y=kx+b与图象P、Q都相交,且只有两个交点的临界点, 点E、R、C坐标分别为(4,5)、(10,4)、(8,3),直线l的表达式:把点E、R的坐标代入直 线y=kx+b得: 54 410, kb kb 解得: 3 2 11, k b 同理可得

    20、直线m的表达式为: 1 1 2 yx , 直线n的表达式为:y=4,故:b的取值范围为:1b11 或b=4 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用,其中(2)是本题的难点,主要通过作图的方式,通过 数形结合的方法即可解决问题 二、巩固提高 1. 如图,O中,弧 AB 等于弧 AC,75ACB,2BC ,则阴影部分的面积是( ) A. 2 2 3 B. 2 23 3 C. 2 4 3 D. 4 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】 连接OB、OC,先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半,求出扇形的圆心角为 60 度,即可求 出半径的长 2,利用三角形和扇形的面积公式即可求解; 【详解

    21、】解:弧 AB 等于弧 AC,ABAC,75ACB,75ABCACB, 30BAC,60BOC,OBOC,BOC是等边三角形, 2OAOBOCBC,作ADBC,ABAC,BDCD,AD经过圆心O, 3 3 2 ODOB,23AD , 1 23 2 ABC SBC AD , 1 3 2 BOC SBC OD , ABCBOCBOC SSSS 阴影扇形 2 6022 2332 3603 , 故选 A 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,圆周角定理,垂径定理等,明确 ABCBOCBOC SSSS 阴影扇形 是解题的关键 2. 如图,在平面直角坐标系中,半径均为 1 个单位长度的半圆O1、O2 、O

    22、3组成一条平滑的曲线,点P从 原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 2 个单位长度,则第 2020 秒时,点P的坐标是 _ 【答案】(2020,0) 【解析】 【分析】 以时间为点 P 的下标,根据半圆的半径以及部分点 P 的坐标可找出规律“P4n(4n,0),P4n+1(4n+1,1), P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,-1)”,依此规律即可得出第 2020 秒时,点 P 的坐标 【详解】半径为 1 个单位长度的半圆的周长为 1 2 21=, 点 P 从原点 O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 2 个单位长度, 故以时间为点 P 的下标 观察,发现规律:P0(0

    23、,0),P1(1,1),P2(2,0),P3(3,-1),P4(4,0),P5(5,1), P4n(4n,0),P4n+1(4n+1,1),P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,-1) 2020=4505,第 2020 秒时,点 P 的坐标是(2020,0)故答案为:(2020,0) 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标,解题的关键是找出点 P 的变化规律“P4n(4n,0),P4n+1(4n+1, 1),P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,-1)”本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据圆的 半径及时间罗列出部分点 P 的坐标,根据坐标发现规律是关键 3.

    24、定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解: 1如图 1, 点A B C, ,在O上,ABC的平分线交O于点D, 连接ADCD,求证: 四边形ABCD 是等补四边形; 探究: 2如图 2,在等补四边形ABCD中AB AD,连接ACAC,是否平分?BCD请说明理由 运用: 3如图 3,在等补四边形ABCD中,ABAD,其外角EAD的平分线交CD的延长线于点 105FCDAF, ,求DF的长 【答案】(1)证明见解析;(2)AD平分BCD,理由见解析;(3) 5 2 5DF . 【解析】 【分析】 1由圆内接四边形互补可知180180ACABCADC ,再证AD CD,即可根据等补

    25、 四边形的定义得出结论; 2过点A分别作AEBC于点E,AF垂直CD的延长线于点F, 证A B EA D F, 得到AEAF, 根据角平分线的判定可得出结论; 3连接AC, 先证EADBCD,推出FCAFAD,再证ACFDAF,利用相似三角形对应边的 比相等可求出DF的长 【详解】 1证明:四边形ABCD为圆内接四边形, 180180ACABCADC ,BDABC平分,ABDCBD, ADCD AD CD, 四边形ABCD是等补四边形; 2AD平分BCD,理由如下: 如图 2,过点A分别作AEBC于点E,AF垂直CD的延长线于点F,则90AEBAFD, 四边形ABCD是等补四边形,180BAD

    26、C ,又180ADCADF, BADF,AB AD,ABEADF AAS(),AEAF, AC是BCF的平分线,即AC平分BCD; 3如图 3,连接AC, 四边形ABCD是等补四边形,180BADBCD,又180BADEAD, EADBCD,AF平分EAD, 1 2 FADEAD, 由 2知,AC平分BCD, 1 2 FCABCDFCAFAD,又AFCDFA, ACFDAF, AFCF DFAF 即 510 5 DF DF 5 2 5DF 【点睛】本题考查了新定义等补四边形,圆的有关性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的判定,相 似三角形的判定与性质等,解题关键是要能够通过自主学习来进行探究

    27、,运用等 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2222) 一、例题分析 1BDE和FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内若求五边形 DECHF的周长,则只需知道( ) AABC的周长 BAFH的周长 C四边形FBGH的周长 D四边形ADEC的周长 【答案】A 【解析】 证明AFHCHG(AAS) , 得出AFCH 由题意可知BEFH, 则得出五边形DECHF的周长AB+BC, 则可得出答案GFH为等边三角形,FHGH,FHG60,AHF+GHC120, ABC为等边三角形,ABBCAC,ACBA60,GHC+HGC120,AHFHGC, AFHCHG(

    28、AAS),AFCHBDE和FGH是两个全等的等边三角形,BEFH, 五边形DECHF的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF,(BD+DF+AF)+(CE+BE),AB+BC 只需知道ABC的周长即可 2如图,在ABC中,ACB90,点D为AB边的中点,连接CD,若BC4,CD3,则 cosDCB的值 为 【答案】2 3 【分析】过点D作DEBC,由平行线平分线段定理可得E是BC的中点,再根据三角函数的意义,可求出答 案 【解析】过点D作DEBC,垂足为E,ACB90,DEBC,DEAC, 又点D为AB边的中点,BEEC= 1 2BC2,在 RtDCE 中,cosDCB=

    29、 = 2 3 3如图,在梯形中,厘米,厘米,的坡度动 点从出发以 2 厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以 3 厘米/秒的速度沿 方向向点运动, 两个动点同时出发, 当其中一个动点到达终点时, 另一个动点也随之停止 设 动点运动的时间为 秒 (1)求边的长; (2)当 为何值时,与相互平分; (3)连结设的面积为探求与 的函数关系式,求 为何值时,有最大值?最大值是多 少? 【答案】解解析。 【解析】(1)作于点,如图(3)所示,则四边形为矩形 又 2 分 在中,由勾股定理得: (2)假设与相互平分由则是平行四边形(此时在上) 即解得即秒时,与相互平分 (3)当在上,即时,作于,则 即

    30、= ABCD906DCABAAD , ,4DC BC3 4i , PAABB Q B BCDD t BC t PC BQ PQ,PBQ y,y tt y CEABEAECD 46AECDCEDA, 3 3 4 4 CE i EB ,812EBAB, RtCEB 22 10BCCEEB PC BQ DCAB,PBCQQCD 310122CQBPtt, 22 5 t , 22 5 t PCBQ QBC 10 0 3 t QFABFCEQF QFBQ CEBC , 39 6105 QFtt QF 119 (122 ) 225 PBQ t SPB QFt 2 981 (3) 55 t 当秒时,有最大值

    31、为 当在上,即时,= 易知随 的增大而减小故当秒时,有最大值为 综上,当时,有最大值为 二、巩固提高 1如图,二次函数 yax 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴正半轴交于点 C,它的对称 轴为直线 x1则下列选项中正确的是( ) A. abc0 B. 4acb 20 C. ca0 D. 当 xn 22(n 为实数)时,yc 【答案】D 【解析】 由图象开口向上, 可知 a0, 与 y 轴的交点在 x 轴的上方, 可知 c0, 根据对称轴方程得到 b0, 于是得到 abc0,故 A 错误;根据一次函数 y=ax 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴的交点,得到

    32、b2-4ac0,求 得 4ac-b 20,故 B 错误;根据对称轴方程得到 b=2a,当 x=-1 时,y=a-b+c0,于是得到 c-a0,故 C 错 误;当 x=-n 2-2(n 为实数)时,代入解析式得到 y=ax2+bx+c=a(-n2-2)+b(-n2-2)=an2(n2+2)+c,于是 得到 y=an 2(n2+2)+cc,故 D 正确 解:由图象开口向上,可知 a0,与 y 轴的交点在 x 轴的上方,可知 c0, 又对称轴方程为 x1,所以 2 b a 0,所以 b0,abc0,故 A 错误; 一次函数 yax 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,b24ac0

    33、,4acb20,故 B 错误; 2 b a 1,b2a,当 x1 时,yab+c0,a2a+c0, ca0,故 C 错误; 当 xn 22(n 为实数)时,yax2+bx+ca(n22)+b(n22)an2(n2+2)+c, 3t PBQ S 2 81 5 厘米 QCD 1014 33 t 11 (122 ) 6 22 PBQ SPB CEt 366t St 10 3 t PBQ S 2 10 36616 3 厘米 3t PBQ S 2 81 5 厘米 a0,n 20,n2+20,yan2(n2+2)+cc,故 D 正确,故选:D 2菱形的两条对角线长分别为 6 和 8,则这个菱形的边长为 【

    34、答案】5 【解析】首先根据题意画出图形,由菱形ABCD中,AC6,BD8,即可得ACBD,OA= 1 2AC3,OB= 1 2BD 4,然后利用勾股定理求得这个菱形的边长菱形ABCD中,AC6,BD8, ACBD,OA= 1 2AC3,OB= 1 2BD4,AB= 2+ 2 =5 即这个菱形的边长为:5 3如图,二次函数yax 2+bx+x 的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(3 2, 3 2 )三点 (1)求二次函数的解析式; (2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD 的解析式; (3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,

    35、过点P作PQx轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长 最大时,求点P的坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式,即可求解; (2)由点B的坐标知,直线BO的倾斜角为 30,则OB中垂线(CD)与x负半轴的夹角为 60,故设CD 的表达式为:y= 3x+b,而OB中点的坐标为(3 4, 3 4 ),将该点坐标代入CD表达式,即可求解; (3)过点P作y轴额平行线交CD于点H,PH= 3x+3 (23 3 x 223 3 x)= 23 3 x 2 3 3 x+3,即可求解 【解析】(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得 = 0 + + = 0 3 2 = 9 4

    36、 + 3 2 + ,解得 = 23 3 = 23 3 = 0 , 故抛物线的表达式为:y= 23 3 x 223 3 x; (2)由点B的坐标知,直线BO的倾斜角为 30,则OB中垂线(CD)与x负半轴的夹角为 60, 故设CD的表达式为:y= 3x+b,而OB中点的坐标为(3 4, 3 4 ), 将该点坐标代入CD表达式并解得:b= 3,故直线CD的表达式为:y= 3x+3; (3)设点P(x,23 3 x 223 3 x),则点Q(x,3x+3), 则PQ= 3x+3 (23 3 x 223 3 x)= 23 3 x 2 3 3 x+3, 23 3 0,故PQ有最大值,此时点P的坐标为(

    37、1 4, 273 16 ) 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2323) 一、例题分析 1. 如图,在ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边上,过点E作EFBC,交AD于点F,过点E 作EGAB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是( ) A = B = C = D = 【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可 【解析】EFBC, = ,EGAB, = , = ,故选:C 2. 如图,ABC内接于O,MHBC于点H,若AC10,AH8,O的半径为 7,则AB 【答案】56 5 【分析】作直径AD,连接BD,根据圆周角定理得到ABD90,DC,证明ABDAHC,根据相

    38、似三角形的性质解答即可 【解析】作直径AD,连接BD,AD为直径,ABD90,又AHBC,ABDAHC, 由圆周角定理得,DC,ABDAHC, = ,即 8 = 14 10,解得,AB= 56 5 3.如图,在 RtABC中,ACB90,ACBC,点D、E分别在AC、BC边上,DCEC,连接DE、AE、BD, 点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN (1)BE与MN的数量关系是 (2)将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置,判断BE与MN有怎样的数量关系?写出你的猜想, 并利用图或图进行证明 【答案】见解析。 【分析】(1)如图中,只要证明PMN的等腰直角三角形,再利用

    39、三角形的中位线定理即可解决问题 (2)如图中,结论仍然成立连接AD,延长BE交AD于点H由ECBDCA,推出BEAD,DAC EBC,即可推出BHAD, 由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点,推出PMBE,PM= 1 2BE, PNAD,PN= 1 2AD, 推出PMPN,MPN90,可得BE2PM2 2 2 MN= 2MN 解:(1)如图中, AMME,APPBPMBE,PM= 1 2BE,BNDN,APPB,PNAD,PN= 1 2AD, ACBC,CDCE,ADBE,PMPN,ACB90,ACBC, PMBC,PNAC,PMPN,PMN的等腰直角三角形,MN= 2PM, MN= 21

    40、 2BE,BE= 2MN,故答案为 BE= 2MN (2)如图中,结论仍然成立 理由:连接AD,延长BE交AD于点HABC和CDE是等腰直角三角形, CDCE,CACB,ACBDCE90,ACBACEDCEACE, ACDECB,ECBDCA(AAS),BEAD,DACEBC, AHB180 (HAB+ABH)180(45+HAC+ABH) 180(45+HBC+ABH)1809090,BHAD, M、N、P分别为AE、BD、AB的中点,PMBE,PM= 1 2BE,PNAD,PN= 1 2AD, PMPN,MPN90BE2PM2 2 2 MN= 2MN 二、巩固提高 1如图,已知抛物线yax

    41、 2+bx+c 的对称轴为直线x1给出下列结论: ac0;b 24ac0;2ab0;ab+c0其中,正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点,综合进行判断即可 抛物线开口向下,a0,对称轴为x= 2 =1,因此b0,与y轴交于正半轴,因此c0, 于是有:ac0,因此正确; 由x= 2 =1,得 2a+b0,因此不正确, 抛物线与x轴有两个不同交点,因此b 24ac0,正确, 由对称轴x1,抛物线与x 轴的一个交点为(3,0),对称性可知另一个交点为(1,0),因此a b+c0,故正确, 综上所述,正确的结论

    42、有, 2. 我国古代数学名著 九章算术 上有这样一个问题: “今有醇酒一斗, 直钱五十; 行酒一斗, 直钱一十 今 将钱三十,得酒二斗问醇、行酒各得几何?”其大意是:今有醇酒(优质酒)1 斗,价值 50 钱;行酒(劣 质酒)1 斗,价值 10 钱现用 30 钱,买得 2 斗酒问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗,行酒为y 斗,根据题意,可列方程组为 【答案】 + = 2 50 + 10 = 30 【分析】根据“现用 30 钱,买得 2 斗酒”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解 【解析】依题意,得: + = 2 50 + 10 = 30故答案为: + = 2 50 + 10 = 3

    43、0 3.如图,在平面直角坐标系中,直线 1 2 2 yx 与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线 2 2 3 yxbxc 过点B且与直线相交于另一点 5 3 , 2 4 C (1)求抛物线的解析式; (2)点P是抛物线上的一动点,当PAOBAO时,求点P的坐标; (3)点 5 ( ,0)0 2 N nn 在x轴的正半轴上,点(0,)Mm是y轴正半轴上的一动点,且满足 90MNC 求m与n之间的函数关系式; 当m在什么范围时,符合条件的N点的个数有 2 个? 【答案】 (1) 2 27 2 36 yxx ; (2) 5 3 , 2 4 或(3, 1 2 )或(-2,-3); (3) 2 410

    44、33 mnn ; 0m 25 12 【解析】(1)利用一次函数求出 A 和 B 的坐标,结合点 C 坐标,求出二次函数表达式; (2)当点 P 在 x 轴上方时,点 P 与点 C 重合,当点 P 在 x 轴下方时,AP 与 y 轴交于点 Q,求出 AQ 表达式, 联立二次函数,可得交点坐标,即为点 P; (3)过点 C 作 CDx 轴于点 D,证明MNONCD,可得 MONO NDCD ,整理可得结果; 作以 MC 为直径的圆 E,根据圆 E 与线段 OD 的交点个数来判断 M 的位置,即可得到 m 的取值范围. 解:(1)直线 1 2 2 yx 与x轴交于点A,与y轴交于点B,令 x=0,则

    45、 y=2,令 y=0,则 x=4, A(4,0),B(0,2),抛物线 2 2 3 yxbxc 经过 B(0,2), 5 3 , 2 4 C , 2 32255 4342 c bc ,解得: 7 6 2 b c ,抛物线的表达式为: 2 27 2 36 yxx ; (2)当点 P 在 x 轴上方时,点 P 与点 C 重合,满足PAOBAO, 5 3 , 2 4 C , 5 3 , 2 4 P , 当点 P 在 x 轴下方时,如图,AP 与 y 轴交于点 Q,PAOBAO,B,Q 关于 x 轴对称, Q(0,-2),又 A(4,0),设直线 AQ 的表达式为 y=px+q,代入, 2 04 q

    46、pq ,解得: 1 2 2 p q ,直线 AQ 的表达式为: 1 2 2 yx,联立得: 2 1 2 2 27 2 36 yx yxx , 解得:x=3 或-2,点 P 的坐标为(3, 1 2 )或(-2,-3), 综上,当PAOBAO时,点P的坐标为: 5 3 , 2 4 或(3, 1 2 )或(-2,-3); (3)如图,MNC=90,过点 C 作 CDx 轴于点 D,MNO+CND=90,OMN+MNO=90, CND=OMN,又MON=CDN=90,MNONCD, MONO NDCD ,即53 24 mn n , 整理得: 2 410 33 mnn ; 如图,MNC=90,以 MC 为直径画圆 E, 5 ( ,0)0 2 N nn , 点 N 在线段 OD 上(不含 O 和 D),即圆 E 与线段 OD 有两个交点(不含 O 和 D), 点 M 在 y 轴正半轴, 当圆 E 与线段 OD 相切时,有 NE= 1 2 MC,即 NE 2=1 4 MC 2,M(0,m), 5 3 , 2 4 C , E( 5 4 , 3 82 m ), 2 3 82 m = 22 153 424 m ,解得:m= 25 12 , 当点 M 与点


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