1、2.1 2.1 一元二次方程一元二次方程 第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程 1 1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些 方程？方程？ 2 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中 的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解 决实际问题的步骤吗决实际问题的步骤吗? ? 知识回顾知识回顾 重点：重点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学通过提出问题，建立一元二次
2、方程的数学 模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方 程的概念程的概念. . 难点难点：尝试的方法求简单的二元一次方程的解尝试的方法求简单的二元一次方程的解. . 重重、难点难点 新课引入新课引入 问题一问题一 如图所示，某住宅小区内有一栋旧建筑，如图所示，某住宅小区内有一栋旧建筑， 占地为一边长为占地为一边长为35 m的正方形的正方形.现打算拆除建筑并现打算拆除建筑并 在其正中间铺上一面积为在其正中间铺上一面积为900 m2的正方形草坪，的正方形草坪， 使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽 度为多
3、少米？度为多少米？ 35cm 35cm x x x x 解：解：设人行道的宽度为设人行道的宽度为x m，则草坪的边，则草坪的边 长为长为 m. 35- -2x 根据题意，列出方程根据题意，列出方程 ( (35- -2x) )2= 900 把把方程通过移项，写成方程通过移项，写成 ( (35- -2x) )2- -900 =0 即即4x2-140 x+325=0 问题二问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车据某市交通部门统计，前年该市汽车 拥有量为拥有量为75万辆，万辆，两年后增加到两年后增加到108万辆万辆 . 求该求该 市两年来汽车拥有量的年平均增长率市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x
4、应满足应满足 的方程的方程 . 分析分析 问题涉及的等量关系是：问题涉及的等量关系是： 两年后的汽车拥有量两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量前年的汽车拥有量 （1+1+年平均增长率）年平均增长率）2 . . 解：解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x . 根据等量关系，可以列出方程根据等量关系，可以列出方程 .108175 2 ）（x . 0115025 2 xx 化简，整理得化简，整理得 上述两个方程有什么共同特点？上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为如果一个方程通过整理可以使右边为0 0，而左边，而左边 是只含有一
5、个未知数的二次多项式，那么这样的是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的 方程叫做方程叫做一元二次方程一元二次方程，它的一般形式是：，它的一般形式是： 4x2-140 x+325=0 .0115025 2 xx ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数是已知数，a0），）， 其中其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、分别叫做二次项系数、一次项系数、 常数项。常数项。 例：例：下列方程是否为一元二次方程，若是，下列方程是否为一元二次方程，若是， 指出其二次项系数、一次项系数和常数项。指出其二次项系数、一次项系数和常数项。 (1) 3x(1-x)+10=2(x+2) 解：解：去括号，得：
6、去括号，得： 整理，得：整理，得： 3x-3x2+10=2x+4 -3x2+x+6=0 可以写成可以写成：3x2-x-6=0 二次项系数是二次项系数是-3，一次项系数是，一次项系数是1，常数项是，常数项是6。 (2) 5x(x+1)-7=5x2+4 解：解：去括号，得：去括号，得： 整理，得：整理，得： 5x2+5x-7=5x2+4 5x-11=0 这是一元一次方程，不是一元二次方程这是一元一次方程，不是一元二次方程。 (3) (5-x)(x+1)+3=3(x-1) 解：解：去括号，得：去括号，得： 5x+5-x2-x+3=3x-3 整理，得：整理，得： x2-x-11=0 二次项系数是二次项
7、系数是1，一次项系数是，一次项系数是-1，常数项是，常数项是11。 例：例：已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是的一个根是3，求，求a的值的值. 解：解：由题意得由题意得 把把x=3=3代入方程代入方程x2 2+ +ax+ +a=0=0得，得， 3 32 2+3+3a+ +a=0=0 9+49+4a=0=0 9 4 a 4 4a= =- -9 9 1 1下列方程中是一元二次方程的是下列方程中是一元二次方程的是( ) A2x10 By2x1 Cx210 D. 1 x x21 2 2若关于若关于 x 的方程的方程 ax23x20 是一元二次方是一元二次方 程
8、，则程，则( ) Aa0 Ba0 Ca1 Da1 课堂练习课堂练习 C B 3.3.关于关于x x的方程的方程(k(k3)x3)x2 2 2x2x1 10,0, 当当k k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 3 4.4.一元二次方程一元二次方程(2(2x x1)(1)(x x2)2)5 53 3x x 的二次项系数、一次项系数及常数项之和的二次项系数、一次项系数及常数项之和 为为_ 5 5 5. .已知关于已知关于x x的方程的方程( (k k2 21 1) )x x2 2( (k k1 1) )x x2 20 0. . ( (1 1) )当当k k取何值时取何值时，此方程为一元一次方程此
9、方程为一元一次方程？并并 求出此方程的根；求出此方程的根； ( (2 2) )当当k k取何值时取何值时，此方程为一元二次方程此方程为一元二次方程？并并 写出这个一元二次方程的二次项系数写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项一次项 系数系数、常数项常数项 答案：答案：( (1 1)k)k1 1，x x1 1 ( (2 2)k)k1 1，二次项系数为二次项系数为k k2 21 1，一次一次 项系数为项系数为k k1 1，常数项为常数项为2 2 1.1.了解了解一元二次方程的概念和一般形式一元二次方程的概念和一般形式. . 2.2.会判别一元二次方程的二次项系数会判别一元二次方程的二次项系数, ,一次项一次项 系数和常数项系数和常数项. . 3.3.注意注意: :一元二次方程的二次项系数不能为零一元二次方程的二次项系数不能为零. . 课堂小结课堂小结 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。
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