1、2020 年年新人教版九年级上册第新人教版九年级上册第 22 章章 二次函数单元测试卷（二次函数单元测试卷（3） 一、选择题一、选择题 1 （3 分）下列函数中属于二次函数的是（ ） Ayx（x+1） Bx2y1 Cy2x22（x2+1） Dy 2 （3 分）把二次函数 yx24x+1 化成 ya（xm）2+k 的形式是（ ） Ay（x2）2+1 By（x2）21 Cy（x2）2+3 Dy（x2）23 3 （3 分）二次函数 y3x2+2x 的图象的对称轴为（ ） Ax2 Bx3 C D 4 （3 分）将抛物线 y2x2+2 向右平移 1 个单位后所得抛物线的解析式是（ ） Ay2x2+3 B
2、y2x2+1 Cy2（x+1）2+2 Dy2（x1）2+2 5（3 分） 已知二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示， 下列关于此函数图象的描述中， 错误的是 （ ） A对称轴是直线 x1 B当 x0 时，函数 y 随 x 增大而增大 C图象的顶点坐标是（1，4） D图象与 x 轴的另一个交点是（4，0） 6 （3 分）如图所示，在直角坐标系中，函数 y3x 与 yx21 的图象大致是（ ） A B C D 7 （3 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可 食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 pat2+bt+c（a
3、，b，c 是常数） ，如图记录了三次 实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ） A4.25 分钟 B4.00 分钟 C3.75 分钟 D3.50 分钟 8 （3 分）某学校院墙上部是由 100 段形状相同的抛物线形护栏组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间隔 0.4m，加设一根不锈钢支柱，防护栏的最高点距护栏底部 0.5m（如图） ，则这条护栏要不锈钢支柱总长 度至少为（ ） A50m B100m C120m D160m 9 （3 分）对于抛物线 y2（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 x1：顶 点坐标为（1，3） ；x1 时，y 随 x 的增大而
4、减小，其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）如图，在同一直角坐标系中，作出函数y3x2；y；yx2的图象，则从里到外的 三条抛物线对应的函数依次是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 11 （3 分）若 y（m+2）x+3x2 是二次函数，则 m 的值是 12 （3 分）二次函数 y3（x3）2+2 顶点坐标坐标 13 （3 分）若抛物线 C1：yx2+mx+2 与抛物线 C2：yx23x+n 关于 y 轴对称，则 m+n 14 （3 分）二次函数 yax22ax+3 的图象与 x 轴有两个交点，其中一个交点坐标为（1，0） ，则一元二 次方程 ax22a
5、x+30 的解为 15 （3 分）如图所示，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过原点和点（2，0） ，则 2a3b 0 （、 或） 16 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0） ，y 与 x 的部分对应值如下表所示： x 1 0 1 2 3 4 y 6 1 2 3 2 m 下面有四个论断： 抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为（2，3） ； b24ac0； 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 的解为 x11，x23； m3 其中，正确的有 三、解答题三、解答题 17若二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，2） ，求此二次函数解析式 18已
6、知二次函数 yx24x+3 （1）求该二次函数与 x 轴的交点坐标和顶点； （2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当 y0 时，x 的取值范围 19某商场购进一种单价为 40 元的商品，如果以单价 60 元售出，那么每天可卖出 300 个，根据销售经验， 每降价 1 元，每天可多卖出 20 个，假设每个降价 x（元） ，每天销售 y（个） ，每天获得利润 W（元） （1）写出 y 与 x 的函数关系式 ； （2）求出 W 与 x 的函数关系式（不必写出 x 的取值范围） 20已知二次函数的表达式为 yx2（2m1）x+m2m （1）试判断该二次函数的图象与 x 轴交点的个数？并说
7、明理由 （2）此二次函数的图象与函数 y2x+m+4 的图象的一个交点在 y 轴上，求 m 的值 21已知二次函数 y（xm）21（m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点； （2）请根据 m 的不同取值，探索该函数图象过哪些象限？（直接写出答案） ； （3）当 1x3 时，y 的最小值为 3，求 m 的值 22大学生小韩在暑假创业，销售一种进价为 20 元/件的玩具熊，销售过程中发现，每周销售量（件）与销 售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y2x+100 （1）如果小韩想要每周获得 400 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （2）设小韩
8、每周获得利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每周可获得利润最大，最大利润是多 少？ （3）若该玩具熊的销售单价不得高于 34 元，如果小韩想要每周获得的利润不低于 400 元，那么他的销 售单价应定为多少？ 23如图，点 A，B，C 都在抛物线 yax22amx+am2+2m5（其中a0）上，ABx 轴，ABC 135，且 AB4 （1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含 m 的代数式表示） ； （2）求ABC 的面积（用含 a 的代数式表示） ； （3）若ABC 的面积为 2，当 2m5x2m2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值 24如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx
9、+3 经过 A（3，0） 、B（1，0）两点，其顶点为 D，连 接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与 A、D 重合） （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如图 1，过点 P 作 PEy 轴于点 E求PAE 面积 S 的最大值； （3）如图 2，抛物线上是否存在一点 Q，使得四边形 OAPQ 为平行四边形？若存在求出 Q 点坐标，若 不存在请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）下列函数中属于二次函数的是（ ） Ayx（x+1） Bx2y1 Cy2x22（x2+1） Dy 【分析】整理成一般形式后，利用二次函数的定
10、义即可解答 【解答】解：A、yx2+x，是二次函数； B、y，不是二次函数； C、y2，不是二次函数； D、不是整式，不是二次函数； 故选：A 【点评】本题考查二次函数的定义 2 （3 分）把二次函数 yx24x+1 化成 ya（xm）2+k 的形式是（ ） Ay（x2）2+1 By（x2）21 Cy（x2）2+3 Dy（x2）23 【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可 【解答】解：yx24x+1 x24x+43 （x2）23， 故选：D 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的 关键 3 （3 分）二次函数 y3x2+2x 的图
11、象的对称轴为（ ） Ax2 Bx3 C D 【分析】直接利用公式法得出二次函数的对称轴 【解答】解：y3x2+2x 的对称轴为：直线 x 故选：D 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆对称轴公式是解题关键 4 （3 分）将抛物线 y2x2+2 向右平移 1 个单位后所得抛物线的解析式是（ ） Ay2x2+3 By2x2+1 Cy2（x+1）2+2 Dy2（x1）2+2 【分析】抛物线 y2x2+2 的顶点坐标为（0，2） ，向右平移 1 个单位后顶点坐标为（1，2） ，根据抛物线 的顶点式可求解析式 【解答】解：抛物线 y2x2+2 的顶点坐标为（0，2） ， 向右平移 1 个单位后
12、顶点坐标为（1，2） ， 抛物线解析式为 y（x1）2+2 故选：D 【点评】本题考查了抛物线解析式与抛物线 平移的关系关键是抓住顶点的平移，根据顶点式求抛物线 解析式 5（3 分） 已知二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示， 下列关于此函数图象的描述中， 错误的是 （ ） A对称轴是直线 x1 B当 x0 时，函数 y 随 x 增大而增大 C图象的顶点坐标是（1，4） D图象与 x 轴的另一个交点是（4，0） 【分析】利用抛物线的顶点的横坐标为 1 可对 A 进行判断；根据二次函数的性质对 B 进行判断；利用对 称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0） ，则可对 D
13、进行判断；利用交点式求出抛物线解析 式，然后配成顶点式后可对 C 进行判断 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x1，所以 A 选项的说法正确； 当 x1 时，函数 y 随 x 增大而增大，所以 B 选项的说法正确； 点（1，0）关于直线 x1 的对称点为（3，0） ，则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0） ，所以 D 选项错误； 设抛物线解析式为 ya（x+1） （x3） ，把（0，3）代入得 a1（3）3，解得 a1， 所以抛物线解析式为 y（x+1） （x3） ，即 yx2+2x+3， 因为 y（x1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4） ，所以 C 选项的说法正确 故选：D
14、【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质 6 （3 分）如图所示，在直角坐标系中，函数 y3x 与 yx21 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据函数的性质直接判断即可 【解答】解：一次函数 y3x 的比例系数 k30， 图象经过二，四象限，排除 B、D； 因为二次函数 yx21 的图象开口向上，顶点坐标应该为（0，1） ，故可排除 A； 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的图象及正比例函数的图象，应该识记一次函数 ykx+
15、b 在不同情况下所 在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 7 （3 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可 食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 pat2+bt+c（a，b，c 是常数） ，如图记录了三次 实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ） A4.25 分钟 B4.00 分钟 C3.75 分钟 D3.50 分钟 【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数 的性质可得答案 【解答】解：由题意知，函数 pat2+bt+c
16、 经过点（3，0.7） ， （4，0.8） ， （5，0.5） ， 则， 解得：， pat2+bt+c0.2t2+1.5t20.2（t3.75）2+0.8125， 最佳加工时间为 3.75 分钟， 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性 质求最值问题是解题的关键 8 （3 分）某学校院墙上部是由 100 段形状相同的抛物线形护栏组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间隔 0.4m，加设一根不锈钢支柱，防护栏的最高点距护栏底部 0.5m（如图） ，则这条护栏要不锈钢支柱总长 度至少为（ ） A50m B100m C120m D160m 【
17、分析】建立如图所示的直角坐标系，根据题意得到 A 点坐标为（1，0） 、B 点坐标为（1，0） ，C 点 坐标为（0，0.5） ，D 点坐标为（0.2，0） ，F 点坐标为（0.6，0） ，然后利用待定系数法求出二次函数的解 析式：设二次函数的交点式 ya（x1） （x+1） ，把 C（0，0.5）代入得 a0.5，则抛物线解析式为 y 0.5x2+0.5，然后分别把 x0.2，x0.6 代入可得到 DE0.48，FP0.32，于是可计算出每段护栏需 要不锈钢支柱的长度，再把结果乘以 100 即可得到答案 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则 A 点坐标为（1，0） 、B 点坐标为（1，0
18、） ，C 点坐标为 （0，0.5） ，D 点坐标为（0.2，0） ，F 点坐标为（0.6，0） ， 设抛物线解析式为 ya（x1） （x+1） ，把 C（0，0.5）代入得 a0.5， 所以抛物线解析式为 y0.5x2+0.5， 当 x0.2 时，y0.50.22+0.50.48， 当 x0.6 时，y0.50.62+0.50.32， 所以 DE0.48，FP0.32， 所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度2（DE+FP）2（0.48+0.32）1.6（m） ， 所以 100 段护栏需要不锈钢支柱的总长度1001.6160（m） 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的应用：先建立适当的平面直角坐标
19、系，然后把实际问题中的数据转化坐 标系中的线段长或点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解决实际 问题 9 （3 分）对于抛物线 y2（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 x1：顶 点坐标为（1，3） ；x1 时，y 随 x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确 【解答】解：抛物线 y2（x+1）2+3，a20， 抛物线的开口向下，故正确， 对称轴是直线 x1，故错误， 顶点坐标为（1，3） ，故正确， x1 时，y 随 x 的增大而减
20、小，故正确， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 10 （3 分）如图，在同一直角坐标系中，作出函数y3x2；y；yx2的图象，则从里到外的 三条抛物线对应的函数依次是（ ） A B C D 【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄 【解答】解：y3x2， yx2， yx2中，二次项系数 a 分别为 3、1， 31， 抛物线yx2的开口最宽，抛物线y3x2的开口最窄 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越 小，抛物线的开口越宽 二
21、、填空题二、填空题 11 （3 分）若 y（m+2）x+3x2 是二次函数，则 m 的值是 2 【分析】根据二次函数的定义求解即可 【解答】解：由题意，得 m222，且 m+20， 解得 m2， 故答案为：2 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键 12 （3 分）二次函数 y3（x3）2+2 顶点坐标坐标 （3，2） 【分析】因为顶点式 ya（xh）2+k，其顶点坐标是（h，k） ，对照求二次函数 y3（x3）2+2 的顶 点坐标 【解答】解：二次函数 y3（x3）2+2 是顶点式， 顶点坐标为（3，2） 故答案为： （3，2） 【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点
22、式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌 握 13 （3 分）若抛物线 C1：yx2+mx+2 与抛物线 C2：yx23x+n 关于 y 轴对称，则 m+n 5 【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线 C1：yx2+mx+2 与 y 轴的交点为（0，2） ，对称轴为直线 x ，在利用关于 y 轴的性质得到抛物线 C2：yx23x+n 与 y 轴的交点为（0，2） ，对称轴为直线 x ，所以 n2，然后求出 m 后计算 m+n 的值 【解答】解：因为抛物线 C1：yx2+mx+2 与 y 轴的交点为（0，2） ，对称轴为直线 x， 而抛物线 C1：yx2+mx+2 与抛物线 C2：y
23、x23x+n 关于 y 轴对称， 所以抛物线 C2：yx23x+n 与 y 轴的交点为（0，2） ，对称轴为直线 x， 所以 n2，解得 m3， 所以 m+n3+25 故答案为 5 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移 后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法 求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式也考查了二次函数的性质 14 （3 分）二次函数 yax22ax+3 的图象与 x 轴有两个交点，其中一个交点坐标为（1，0） ，则一元二 次方程 ax22ax+30 的解为
24、x11，x23 【分析】 根据题意把 x1 代入 ax22ax+30 求出 a， 得到关于 x 的一元二次方程， 解方程得到答案 【解答】解：根据题意，x1 是 ax22ax+30 的根， a1， 一元二次方程x2+2x+30 的解为：x11，x23， 故答案为：x11，x23 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键， 方程 ax2+bx+c0 的两根就是抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标 15 （3 分）如图所示，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过原点和点（2，0） ，则 2a3b 0 （、 或） 【分析】 由开口
25、方向得到 a0， 根据抛物线与 x 轴的两个交点得到对称轴是 x1， 求出 a 与 b 的关系， 代入代数式判定代数式的正负 【解答】解：抛物线的开口向下，a0 抛物线经过原点和点（2，0） ， 对称轴是 x1，又对称轴 x， 1，b2a 2a3b2a6a4a0 故答案是： 【点评】本题考查的是二次函数图形与系数的关系，利用抛物线的开口方向和对称轴确定 a，b 的正负， 代入代数式可以确定代数式的正负 16 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0） ，y 与 x 的部分对应值如下表所示： x 1 0 1 2 3 4 y 6 1 2 3 2 m 下面有四个论断： 抛物线 yax2+bx
26、+c（a0）的顶点为（2，3） ； b24ac0； 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 的解为 x11，x23； m3 其中，正确的有 【分析】由当 x1，x3 时 y 值相等，可得出抛物线的对称轴为直线 x2，进而可得出抛物线的顶 点为（2，3） ，结论正确； 由抛物线的最低点的纵坐标小于 0，可得出抛物线与 x 轴有两个交点，即 b24ac0，结论错误； 由当 x1，x3 时 y2，可得出关于 x 的方程 ax2+bx+c2 的解为 x11，x23，结论正确； 利用抛物线的对称性，可得出 m1，结论错误 综上，此题得解 【解答】解：当 x1 时，y2；当 x3 时，y2， 抛物线的对称轴
27、为直线 x2， 抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为（2，3） ，结论正确； 抛物线上最低点为（2，3） ， 抛物线开口向上， 又30， 抛物线与 x 轴有两个交点，即 b24ac0，结论错误； 当 x1 时，y2；当 x3 时，y2， 抛物线与直线 y2 交于点（1，2）和（3，2） ， 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 的解为 x11，x23，结论正确； 抛物线的对称轴为直线 x2， 当 x4 时 y 值与当 x0 时的 y 值相等， m1，结论错误 故答案为： 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质逐一分析四条结论的正误是解题的关键 三、解答题三、解答题 17若二
28、次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，2） ，求此二次函数解析式 【分析】用顶点式表达式，把点（1，2）代入表达式求得 a 即可 【解答】解：用顶点式表达式：ya（x2）2+1，把点（1，2）代入表达式，解得：a3， 函数表达式为：y3（x2）2+13x2+12x11 【点评】本题考查的是求函数表达式，本题用顶点式表达式较为简便 18已知二次函数 yx24x+3 （1）求该二次函数与 x 轴的交点坐标和顶点； （2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当 y0 时，x 的取值范围 【分析】 （1）通过解方程 x24x+30 得该二次函数与 x 轴的交点坐标
29、；把 yx24x+3 通过配方得到 y （x2）21，从而得到抛物线的顶点坐标； （2）利用描点法画出二次函数图形，然后利用函数图形，写出图象在 x 轴下方所对应的自变量的范围即 可 【解答】解： （1）当 y0 时，x24x+30，解得 x11，x23， 所以该二次函数与 x 轴的交点坐标为（1，0） （3，0） ； 因为 yx24x+3x24x+41（x2）21， 所以抛物线的顶点坐标为（2，1） ； （2）函数图象如图： 由图象可知，当 y0 时，1x3 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为
30、解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 19某商场购进一种单价为 40 元的商品，如果以单价 60 元售出，那么每天可卖出 300 个，根据销售经验， 每降价 1 元，每天可多卖出 20 个，假设每个降价 x（元） ，每天销售 y（个） ，每天获得利润 W（元） （1）写出 y 与 x 的函数关系式 y300+20 x ； （2）求出 W 与 x 的函数关系式（不必写出 x 的取值范围） 【分析】 （1） 利用每天可卖出 300 个， 每降价 1 元， 每天可多卖出 20 个， 进而得出 y 与 x 的函数关系式； （2）利用销量每千克商品的利润总利润，进而得出答案 【解答】解： （
31、1）设每个降价 x（元） ，每天销售 y（个） ， y 与 x 的函数关系式为：y300+20 x； 故答案为：y300+20 x； （2）由题意可得，W 与 x 的函数关系式为： W（300+20 x） （6040 x） 20 x2+100 x+6000 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握销量与每千克利润与总利润的关系 是解题关键 20已知二次函数的表达式为 yx2（2m1）x+m2m （1）试判断该二次函数的图象与 x 轴交点的个数？并说明理由 （2）此二次函数的图象与函数 y2x+m+4 的图象的一个交点在 y 轴上，求 m 的值 【分析】 （1）首先求出b24
32、ac 的值，进而得出答案； （2）利用二次函数的图象与函数 y2x+m+4 的图象的一个交点在 y 轴上，则常数项相等，进而得出答 案 【解答】解： （1）b24ac（2m1）24（m2m）10， 方程 x2（2m1）x+m2m0 有两个不相等的实数根 二次函数 yx2（2m1）x+m2m 与 x 轴有两个交点 （2）令 x0，则 m2mm+4， 解得：m11+，m21 【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点以及一元二次方程的解法，得出的值是解题关键 21已知二次函数 y（xm）21（m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点； （2）请根据 m 的不
33、同取值，探索该函数图象过哪些象限？（直接写出答案） ； （3）当 1x3 时，y 的最小值为 3，求 m 的值 【分析】 （1）通过解方程（xm）210 时，利用与 0 的关系可判断该函数图象与 x 轴总有两个公 共点； （2）利用抛物线与 x 轴的交点位置变化判断抛物线经过的象限； （3）抛物线的对称轴为直线 xm，讨论：当 m1 时，根据二次函数的性质得 x1 时，y3，则（1 m）213；当 1m3 时，xm，y1 不合题意舍去；当 m3 时，根据二次函数的性质得到 x 3，y3，所以（3m）213，然后解关于 m 的方程得到满足条件的 m 的值 【解答】 （1）证明：当 y0 时， （
34、xm）210， 即：x22mx+m210， 4m24（m21）40 即不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点； （2）解：当 m10，即 m1 时，抛物线经过第一、二、四象限； 当 m10 且 m+10 时，即1m1 时，抛物线经过第一、二、三、四象限； 当 m+10 时，即 m1，抛物线经过第一、二、三限； （3）抛物线的对称轴为直线 xm， 当 m1 时，y 随 x 增大而增大，故当 x1 时，y 有最小值 x1 时，y3，所以（1m）213，解得 m13（舍去） ，m21； 当 1m3 时，xm，y1 不合题意舍去； 当 m3 时，y 随 x 增大而减小，故当 x3 时，y
35、 有最小值， x3，y3，所以（3m）213，解得 m11（舍去） ，m25； 综上所述，m 的值为1 或 5 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点， 利用一元二次方程的根的判别式 也考查了二次函数的最值 22大学生小韩在暑假创业，销售一种进价为 20 元/件的玩具熊，销售过程中发现，每周销售量（件）与销 售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y2x+100 （1）如果小韩想要每周获得 400 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （2）设小韩每周获得利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每周可获得利润最大，最大利润是多 少？ （3）若该玩具熊的销售单价不得高于 34 元
36、，如果小韩想要每周获得的利润不低于 400 元，那么他的销 售单价应定为多少？ 【分析】 （1）根据“总利润单件利润销售量”列出方程，解方程可得； （2）根据以上关系列出函数解析式，配方成顶点式可得答案； （3）根据每周获得的利润不低于 400 元，即 w400 列出不等式求解可得 【解答】解： （1）根据题意可得： （x20） （2x+100）400， 解得：x30 或 x40， 答：销售单价应定为 30 元或 40 元； （2）w（x20） （2x+100）2x2+140 x20002（x35）2+450， 当 x35 时，w 取得最大值，最大值为 450 元， 答：当售价为 35 元/台
37、时，最大利润为 450 元； （3）根据题意有： （x20） （2x+100）400， 解得：30 x40， 又 x34， 30 x34， 答：他的销售单价应定为 30 元至 34 元之间 【点评】本题主要考查一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相 等关系或不等关系列出方程或函数解析式是解题的关键 23如图，点 A，B，C 都在抛物线 yax22amx+am2+2m5（其中a0）上，ABx 轴，ABC 135，且 AB4 （1）填空：抛物线的顶点坐标为 （m，2m5） （用含 m 的代数式表示） ； （2）求ABC 的面积（用含 a 的代数式表示） ； （3）若
38、ABC 的面积为 2，当 2m5x2m2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值 【分析】 （1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解； （2）过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，由 ABx 轴且 AB4，可得出点 B 的坐标 为（m+2，4a+2m5） ，设 BDt，则点 C 的坐标为（m+2+t，4a+2m5t） ，利用二次函数图象上点的 坐标特征可得出关于 t 的一元二次方程， 解之取其正值即可得出 t 值， 再利用三角形的面积公式即可得出 SABC的值； （3）由（2）的结论结合 SABC2 可求出 a 值，分三种情况考虑：当 m2m2，即
39、 m2 时，x2m 2 时 y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一元二次方程，解之可求出 m 的 值；当 2m5m2m2，即 2m5 时，xm 时 y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征 可得出关于 m 的一元一次方程，解之可求出 m 的值；当 m2m5，即 m5 时，x2m5 时 y 取最 大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一元一次方程，解之可求出 m 的值综上即可 得出结论 【解答】解： （1）yax22amx+am2+2m5a（xm）2+2m5， 抛物线的顶点坐标为（m，2m5） 故答案为： （m，2m5） （2）过点 C 作直线 AB
40、 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示 ABx 轴，且 AB4， 点 B 的坐标为（m+2，4a+2m5） ABC135， 设 BDt，则 CDt， 点 C 的坐标为（m+2+t，4a+2m5t） 点 C 在抛物线 ya（xm）2+2m5 上， 4a+2m5ta（2+t）2+2m5， 整理，得：at2+（4a+1）t0， 解得：t10（舍去） ，t2， SABCABCD （3）ABC 的面积为 2， 2， 解得：a， 抛物线的解析式为 y（xm）2+2m5 分三种情况考虑： 当 m2m2，即 m2 时，有（2m2m）2+2m52， 整理，得：m214m+390， 解得：m17（舍去
41、） ，m27+（舍去） ； 当 2m5m2m2，即 2m5 时，有 2m52， 解得：m； 当 m2m5，即 m5 时，有（2m5m）2+2m52， 整理，得：m220m+600， 解得：m3102（舍去） ，m410+2 综上所述：m 的值为或 10+2 【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解 一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是： （1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式； （2）利用等腰直角三角形的性质找出点 C 的坐标； （3）分 m2、2m5 及 m5 三种情况考虑 24如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+
42、3 经过 A（3，0） 、B（1，0）两点，其顶点为 D，连 接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与 A、D 重合） （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如图 1，过点 P 作 PEy 轴于点 E求PAE 面积 S 的最大值； （3）如图 2，抛物线上是否存在一点 Q，使得四边形 OAPQ 为平行四边形？若存在求出 Q 点坐标，若 不存在请说明理由 【分析】 （1）根据抛物线 yax2+bx+3 经过 A（3，0） 、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式， 然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点 D 的坐标； （2）根据题意和点
43、 A 和点 D 的坐标可以得到直线 AD 的函数解析式，从而可以设出点 P 的坐标，然后 根据图形可以得到APE 的面积，然后根据二次函数的性质即可得到PAE 面积 S 的最大值； （3）根据题意可知存在点 Q 使得四边形 OAPQ 为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性 质可以求得点 Q 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3 经过 A（3，0） 、B（1，0）两点， ，得， 抛物线解析式为 yx22x+3（x+1）2+4， 抛物线的顶点坐标为（1，4） ， 即该抛物线的解析式为 yx22x+3，顶点 D 的坐标为（1，4） ； （2）设直线 AD 的函数解析式为
44、ykx+m， ，得， 直线 AD 的函数解析式为 y2x+6， 点 P 是线段 AD 上一个动点（不与 A、D 重合） ， 设点 P 的坐标为（p，2p+6） ， SPAE（p+）2+， 3p1， 当 p时，SPAE取得最大值，此时 SPAE， 即PAE 面积 S 的最大值是； （3）抛物线上存在一点 Q，使得四边形 OAPQ 为平行四边形， 四边形 OAPQ 为平行四边形，点 Q 在抛物线上， OAPQ， 点 A（3，0） ， OA3， PQ3， 直线 AD 为 y2x+6，点 P 在线段 AD 上，点 Q 在抛物线 yx22x+3 上， 设点 P 的坐标为（p，2p+6） ，点 Q（q，q22q+3） ， ， 解得，或（舍去） ， 当 q2+时，q22q+324， 即点 Q 的坐标为（2+，24） 【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相 应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答
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