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    3.2一般形式的柯西不等式ppt课件

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    3.2一般形式的柯西不等式ppt课件

    1、二一般形式的柯西不等式,第三讲柯西不等式与排序不等式,学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式. 2.了解柯西不等式的一般形式,体会从特殊到一般的思维过程. 3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一三维形式的柯西不等式,思考1类比平面向量,在空间向量中,如何用|,推导三维形式的柯西不等式?,答案设(a1,a2,a3),(b1,b2,b3),,|,,思考2三维形式的柯西不等式中,等号成立的条件是什么?,答案当且仅当,共线时,即0或存在实数k,使a1kb1,a2kb2,a3kb3时,等号成立.,梳理三维形式的柯西

    2、不等式,(a1b1,a2b2a3b3)2,b1b2b30,知识点二一般形式的柯西不等式,(a1b1a2b2anbn)2,2.柯西不等式等号成立的条件 当且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个数k,使得 (i1,2,n)时等号成立.,aikbi,题型探究,类型一利用柯西不等式证明不等式,命题角度1三维形式的柯西不等式的应用,例1设a,b,c为正数,且不全相等.,证明,由柯西不等式知,,因为题设中a,b,c不全相等,故中等号不成立,,反思与感悟有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件,可以通过: (1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新

    3、安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.,证明由柯西不等式知,,(111)29, 原不等式成立.,证明,命题角度2一般形式的柯西不等式的应用,证明由柯西不等式,得,证明,反思与感悟一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂,这时一定要注意式子的结构特征,一边一定要出现“方、和、积”的形式.,证明,(a1a2an)21,,类型二利用柯西不等式求函数的最值,例3(1)若实数x,y,z满足x2y3za(a为常数),则x2y2z2的最小值为_.,解析(122232)(x2y2z2)(x2y3z

    4、)2a2,,解析,答案,解析,答案,反思与感悟利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件.,跟踪训练3已知a0,b0,c0,函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4. (1)求abc的值;,解因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c, 当且仅当axb时,等号成立. 又a0,b0, 所以|ab|ab, 所以f(x)的最小值为abc, 又已知f(x)的最小值为4,所以abc4.,解答,解由(1)知abc4,,由柯西不等式得,(abc)216,,解答,达标检测,1,2,3,4,答案,解析,8(xyz)16,1,2,3,4,答案,解析,a2b3c的最小值为9.,(1111)24216, 当且仅当abcd时取等号.,1,2,3,4,16,解析,答案,1,2,3,4,证明,规律与方法,2.要求axbyz的最大值,利用柯西不等式(axbyz)2(a2b212)(x2y2z2)的形式,再结合已知条件进行配凑,是常见的变形技巧.对于许多不等式问题,用柯西不等式来解往往是简明的,正确理解柯西不等式,掌握它的结构特点,就能更灵活地应用它.,


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