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    3.1二维形式的柯西不等式ppt课件

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    3.1二维形式的柯西不等式ppt课件

    1、一二维形式的柯西不等式,第三讲柯西不等式与排序不等式,学习目标 1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式,理解它们的几何意义. 2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式,会求某些特定形式的函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点二维形式的柯西不等式,思考1(a2b2)(c2d2)与4abcd的大小关系如何?那么(a2b2)(c2d2)与(acbd)2的大小关系又如何?,答案(a2b2)(c2d2)4abcd, (a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考2当且仅当ab且cd时,(a2b2)(c2d2)4abcd,那么在什么条件下(a2b2)(c2

    2、d2)(acbd)2?,答案当且仅当adbc时,(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考3若向量(a,b),向量(c,d),你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式?,梳理(1)二维形式的柯西不等式 定理1:若a,b,c,d都是实数,则(a2b2)(c2d2) ,当且仅当adbc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的推论:,(acbd)2,|acbd|,|ac|bd|,(2)柯西不等式的向量形式 定理2:设,是两个向量,则 ,当且仅当是 ,或存在实数k,使k时,等号成立. (3)二维形式的三角不等式,零向量,当且仅当三点P1,P2与原点O在同一直线上,并且P1,P2点在原

    3、点O两旁时,等号成立.,|,推论:对于任意的x1,x2,x3,y1,y2,y3R,有,事实上,在平面直角坐标系中,设点P1,P2,P3的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根据P1P2P3的边长关系有|P1P3|P2P3|P1P2|,当且仅当三点P1,P2,P3在同一直线上,并且点P1,P2在P3点的两旁时,等号成立.,题型探究,类型一利用柯西不等式证明不等式,证明a1,a2,b1,b2R,,证明,反思与感悟利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条件,利用添项、拆项、分

    4、解、组合、配方、数形结合等方法.,跟踪训练1已知为锐角,a,bR,,证明,例2若实数x,y,z满足x24y2z23,求证:|x2yz|3.,证明因为x24y2z23, 所以由柯西不等式得 x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2,整理得(x2yz)29,即|x2yz|3.,证明,反思与感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”,构造使用柯西不等式的条件. (2)此类题也可以用三角不等式,把ABO的三个顶点分别设为O(0,0),A(x1,x2),B(y1,y2)即可.,将上面三个同向不等式相加,,证明,类型二利用柯西不等式求最值,例3若3x4y2,试求x2y2的最小值及最小值点.,解由

    5、柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2,,解答,反思与感悟利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征,是利用柯西不等式求解的前提条件; (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解,这也是运用柯西不等式解题的技巧; (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的,但在运用过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.,跟踪训练3已知a,bR,且9a24b218,求3a2b的最值.,解由柯西不等式,得(9a24b2

    6、)(1212)(3a2b)2, 9a24b218, 36(3a2b)2. |3a2b|6.,解答,达标检测,1.已知a,bR,a2b24,则3a2b的最大值为 A.4 B.2 C.8 D.9,1,2,3,4,解析(a2b2)(3222)(3a2b)2,当且仅当3b2a时取等号, 所以(3a2b)2413.所以3a2b的最大值为,解析,答案,5,2.已知a0,b0,且ab2,则 A.ab B.ab C.a2b22 D.a2b23,答案,1,2,3,4,5,解析(a2b2)(1212)(ab)24, a2b22.,解析,1,2,3,4,5,9,最小值为9.,解析,答案,1,2,3,4,5,解析(a2b2)(m2n2)(manb)225, m2n25. 当且仅当anbm时取等号.,解析,答案,证明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acos bsin )2, |acos bsin |1.,1,2,3,4,5,证明,5.已知a2b21,求证:|acos bsin |1.,1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,应用时要对照柯西不等式的原形,进行多角度的尝试. 2.柯西不等式取等号的条件也不容易记忆,如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等号成立的条件是adbc,可以把a,b,c,d看成等比,则adbc来联想记忆.,规律与方法,


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