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    2018-2019学年江苏省五校联考高二(上)12月联考数学试卷(含详细解答)

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    2018-2019学年江苏省五校联考高二(上)12月联考数学试卷(含详细解答)

    1、命题“若 ab,则 a1b2”的否命题为   2 (5 分)下列命题: “全等三角形的面积相等”的逆命题; “若 ab0,则 a0”的否命题; “正三角形的三个角均为 60”的逆否命题 其中真命题的序号是   (把所有真命题的序号填在横线上) 3 (5 分)若椭圆的焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围为   4 (5 分)以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为   5 (5 分)已知函数 yf(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程是 yx+2,则 f(1) +f(1)   6 (5 分)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,

    2、ABAD3cm,AA12cm,则四棱锥 A BB1D1D 的体积为   cm3 7 (5 分)函数 yxlnx 的单调减区间为   8 (5 分)已知双曲线的一条渐近线的方程为 yx,则此双曲线两条准线间距离 为   9 (5 分)函数 f(x)exx 在区间1,1上的值域是   10 (5 分)已知圆 C:x2+y24直线 l 过点 P(1,2) ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB| 2 ,则直线 l 的方程   第 2 页(共 19 页) 11 (5 分)已知函数 f(x)ex+sinx,其中 e 是自然对数的底数,若 f(2a)+

    3、f(a2) 0,则实数 a 的取值范围 是   12 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,a) ,D(0,a+2) , 若存在点 P,使得,PCPD,则实数 a 的取值范围是   13 (5 分)已知 F 是椭圆 C:+1(ab0)的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆 x2+y2b2相切于点 Q,且,则椭圆 C 的离心率为   14 (5 分)若实数 a,b,c,d 满足1,则(ac)2+(bd)2的最小 值为   二、解答题(共二、解答题(共 6 小题,满分小题,满分 90 分)分) 15

    4、 (14 分)如图,已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中,ABAC,D 为 BC 的中点 (1)若平面 ABC平面 BCC1B1,求证:ADDC1; (2)求证:A1B平面 ADC1 16 (14 分)设函数 f(x)x3x2+6xa,其中 a 为实数 (1)求函数 f(x)的极值; (2)若函数 f(x)有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围 17 (15 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y24x0 及点 A(1,0) , B(1,2) (1)若直线 l 平行于 AB,与圆 C 相交于 M,N 两点,MNAB,求直线 l 的方程; (2)在圆 C 上是否存在点 P,

    5、使得 PA2+PB212?若存在,求点 P 的个数;若不存在, 说明理由 第 3 页(共 19 页) 18 (15 分)在距 A 城市 5 千米的 B 地发现金属矿,过 A 有一直线铁路 AD欲运物资于 A, B 之间,拟在铁路线 AD 间(除 A,D 两点)的某一点 C 处筑一公路到 B现测得 BD 3千米,BDA(如图) 已知公路运费是铁路运费的 2 倍,设铁路运费为每千 米 1 万元,总运费为 y为了求总运费 y 的最小值,现提供两种方案:方案一:设 ACx 千米;方案二设BCD (1)试将 y 分别表示为 x、 的函数关系式 yf(x) 、yg() ; (2)请选择一种方案,求出总运费

    6、 y 的最小值,并指出 C 点的位置 19 (16 分)在平面直角坐标系 x 中,已知椭圆+1(ab0)的右准线 l:x5, 离心率 e,A,B 是椭圆上两个不同的动点, (1)求椭圆标准方程; (2)动点 P 满足+,且直线 AB 与 OP 斜率均存在时,分别记为 kAB和 kOP, 求 kAB+kOP的值,并求|kAB|+|kOP|的最小值; (3)当直线 OAOB 时,求三角形 AOB 面积的最小值 20 (16 分)已知函数 f(x)lnx 第 4 页(共 19 页) (1)g(x)f(x)(aR) ,且 x2 是函数 g(x)的极值点,求曲线 yg (x)在点(1,g(1) )处的

    7、切线方程; (2)若任意 x0,不等式 f(x)ax0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 x1x20,求证: 第 5 页(共 19 页) 2018-2019 学年江苏省句容高中、溧水高中、学年江苏省句容高中、溧水高中、 大港中学、镇江一大港中学、镇江一 中、省扬中高级中学五校高二(上)中、省扬中高级中学五校高二(上)12 月联考数学试卷月联考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分不需要写出解答过程,请把答案分不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题纸相应位置上直接填在答题纸

    8、相应位置上 1 (5 分)命题“若 ab,则 a1b2”的否命题为 “若 ab,则 a1b2”  【分析】根据原命题“若 p,则 q”的否命题为“若p,则q” ,写出即可 【解答】解:命题“若 ab,则 a1b2”的否命题为 “若 ab,则 a1b2” 故答案为: “若 ab,则 a1b2” 【点评】本题考查了四种命题之间的关系应用问题,是基础题 2 (5 分)下列命题: “全等三角形的面积相等”的逆命题; “若 ab0,则 a0”的否命题; “正三角形的三个角均为 60”的逆否命题 其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号填在横线上) 【分析】写出逆命题,进行判断写出否命题进行判断

    9、写出逆否命题或者利用 等价命题进行判断 【解答】解:“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角 形” ,因为三角形的面积相等,但三角形的形状不一定相同,所以错误 “若 ab0,则 a0”的否命题是“若 ab0,则 a0” ,当 ab0 时,则 a0 且 b 0,所以正确 因为正三角形的三个角均为 60,所以原命题正确因为原命题和逆否命题互为等价 命题,所以原命题的逆否命题也正确所以正确 故答案为: 【点评】本题考查的四种命题的关系以及真假判断,对于比较复杂的命题,在判断真假 时,可以利用原命题和逆否命题为等价命题进行判断 第 6 页(共 19 页) 3 (5 分)若椭圆的焦

    10、点在 x 轴上,则 k 的取值范围为 【分析】由于椭圆的焦点在 x 轴上,可得 1k2+k0,解出即可 【解答】解:椭圆的焦点在 x 轴上,1k2+k0, 解得 故 k 的取值范围为 故答案为: 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,属于基础题 4 (5 分)以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为 y28x 【分析】先确定双曲线的右焦点坐标,可得抛物线的焦点坐标,即可得到抛物线的标准 方程 【解答】解:双曲线的右焦点坐标为(2,0) ,则所求抛物线的焦点坐标为(2, 0) 所求抛物线的标准方程为 y28x 故答案为:y28x 【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质,考查抛物线的标准方程

    11、,解题的关键是 确定抛物线的焦点坐标 5 (5 分)已知函数 yf(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程是 yx+2,则 f(1) +f(1) 3 【分析】因为切点坐标一定满足切线方程,所以据此可以求出 f(1)的值,又因为切线 的斜率是函数在切点处的导数,就可求出 f(1)的值,把 f(1)和 f(1)代入即可  【解答】解:点 M(1,f(1) )是切点, 点 M 在切线上, f(1)+2, 函数 yf(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线的方程是 yx+2, 第 7 页(共 19 页) 切线斜率是, 即 f(1), f(1)+f(1)+3 故答案为:3 【点

    12、评】本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系,属于导数的几何意义的应用,属 于基础题 6 (5 分)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABAD3cm,AA12cm,则四棱锥 A BB1D1D 的体积为 6 cm3 【分析】过 A 作 AOBD 于 O,求出 AO,然后求出几何体的体积即可 【解答】解:过 A 作 AOBD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO, 所以四棱锥 ABB1D1D 的体积为 V6 故答案为:6 【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力与计算能力 7 (5 分)函数 yxlnx 的单调减区间为 (0,) 【分析】利用积的导数运算法则求出导函数,令导函数

    13、小于 0 求出 x 的范围与定义域的 公共范围是函数的单调递减区间 【解答】解:y1+lnx, 令, 又因为函数 yxlnx 的定义域为(0,+) 所以函数 yxlnx 的单调减区间为 故答案为: 【点评】此题考查基本函数的导数及导数的运算法则、考查利用导函数的符号求函数的 单调区间 第 8 页(共 19 页) 8 (5 分)已知双曲线的一条渐近线的方程为 yx,则此双曲线两条准线间距离 为 【分析】由题设条件可知双曲线焦点在 x 轴,可得 a、b 的关系,进而由双曲线两条准线 间距离的公式,计算可得答案 【解答】解:双曲线焦点在 x 轴, 由渐近线方程可得  ,又 b2 a2c2

    14、则此双曲线两条准线间距离为 故答案为: 【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程和两条准线间距离,涉及 a,b,c 间的关系, 比较简单 9 (5 分)函数 f(x)exx 在区间1,1上的值域是 1,e1 【分析】求出函数 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而 求出函数的值域即可; 【解答】解:f(x)ex1,令 f(x)0,得 x0, 在(1,0)上,f(x)0,f(x)单调递减; 在(0,1)上,f(x)0,f(x)单调递增; 当 x1,1时,f(x)minf(0)1, 又f(1)1+,f(1)e1,f(1)f(1) , 函数的值域为1,e1 故答案为:1,e1

    15、【点评】本题考查了函数的单调性,最值的求法,考查导数的应用转化思想,是一道中 档题 10 (5 分)已知圆 C:x2+y24直线 l 过点 P(1,2) ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB| 2 ,则直线 l 的方程 x1,或 3x4y+50 【分析】分类讨论:当直线 l 垂直于 x 轴时,求得直线 l 的方程,并检验若直线 l 第 9 页(共 19 页) 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y2k(x1) ,结合直线与圆的位置关系,利用弦长公 式即可求得 k 值,从而解决问题 【解答】解:当直线 l 垂直于 x 轴时, 则此时直线方程为 x1,l 与圆的两个交点坐标为 (1,) ,和 (

    16、1,) ,其距离 为 2,满足题意 若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y2k(x1) ,即 kxyk+20, 设圆心到此直线的距离为 d,则 22,解得 d1,1,k,  故此时直线 l 的方程为 xy+20,即 3x4y+50, 故答案为 x1,或 3x4y+50 【点评】本题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用等基础知识,考查运 算求解能力,考查化归与转化思想, 属于中档题 11 (5 分)已知函数 f(x)ex+sinx,其中 e 是自然对数的底数,若 f(2a)+f(a2) 0,则实数 a 的取值范围 是 2,0 【分析】先判断函数的奇偶性,再利用导数研究函

    17、数的单调性,从而脱去 f 解不等式即 可 【解答】解:由可知,函数 f(x) 为奇函数, 又,所以函数 f(x)为增函数, 由 f(2a)+f(a2)0 可知,f(a2)f(2a) ,即 a22a,解之得2a0, 故答案为2,0 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用,属于中档题目 12 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,a) ,D(0,a+2) , 若存在点 P, 使得, PCPD, 则实数 a 的取值范围是 21, 21  【分析】根据两点之间的距离公式及,求得 P 的轨迹,则直线 ya+1 与圆(x 5)2+y28

    18、 有交点,即可求得 a 的取值范围 第 10 页(共 19 页) 【解答】解:设 P(x,y) ,由,则,整 理得: (x5)2+y28, 动点 P 是以(5,0)为圆心,以 2为半径的圆,另一方面,由 PCPD 知动点 P 在线 段 CD 的垂直平分线 ya+1 上运动, 因而问题就转化为直线 ya+1 与圆(x5)2+y28 有交点, 所以|a+1|2,故实数 a 的取值范围是21,21, 故答案为:21,21 【点评】本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,考查计算能力,属于中档题  13 (5 分)已知 F 是椭圆 C:+1(ab0)的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段

    19、 PF 与圆 x2+y2b2相切于点 Q,且,则椭圆 C 的离心率为 【分析】设原点为 O,左焦点为 F,连接 OQ,则|FP|2|OQ|,利用 Q 为切点,可得 OQPF,利用勾股定理及 a2b2c2,即可求得结论 【解答】解:设原点为 O,左焦点为 F,连接 OQ   O 为 FF 的中点,Q 又为 PF 的中点, |FP|2|OQ|, Q 为切点, |OQ|b,|FP|b,OQPF |PF|2ab,PFPF 4c2b2+(2ab)2 3b2a a2b2c2, , e 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的几何性质,考查直线与圆的位置关系,关键是找出几何量之间 的关系 第 11 页(

    20、共 19 页) 14 (5 分)若实数 a,b,c,d 满足1,则(ac)2+(bd)2的最小 值为 【分析】由题意可得 blna+2a2,d3c2分别令 yf(x)lnx+2x2,yg(x) 3x2,转化为两个函数 f(x)与 g(x)的点之间的距离的最小值设与直线 y3x2 平行且与曲线 f(x)相切的切点为 P(x0,y0) ,求出切点 P 到直线 y3x2 的距离 d, 则(ac)2+(bd)2的最小值为 d2 【解答】解:实数 a,b,c,d 满足1 可得 blna+2a2,d3c2, 分别令 yf(x)lnx+2x2,yg(x)3x2, 转化为两个函数 f(x)与 g(x)的点之间

    21、的距离的最小值, f(x)+4x,设与直线 y3x2 平行且与曲线 f(x)相切的切点为 P(x0,y0) ,  则+4x03,x00,解得 x01,可得切点 P(1,2) , 切点 P(1,2)到直线 y3x2 的距离 d (ac)2+(bd)2的最小值为 d2 故答案为: 【点评】本题考查了利用导数研究曲线的切线、平行线之间的斜率关系、点到直线的距 离公式、函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 二、解答题(共二、解答题(共 6 小题,满分小题,满分 90 分)分) 15 (14 分)如图,已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中,ABAC,D 为 BC 的中点 (1)若平面

    22、 ABC平面 BCC1B1,求证:ADDC1; (2)求证:A1B平面 ADC1 第 12 页(共 19 页) 【分析】 (1)由 D 为等腰三角形底边 BC 的中点,利用等腰三角形的性质可得 ADBC, 再利用已知面面垂直的性质即可证出 (2)证法一:连接 A1C,交 AC1于点 O,再连接 OD,利用三角形的中位线定理,即可 证得 A1BOD,进而再利用线面平行的判定定理证得 证法二:取 B1C1的中点 D1,连接 A1D1,DD1,D1B,可得四边形 BDC1D1及 D1A1AD是 平行四边形进而可得平面 A1BD1平面 ADC1再利用线面平行的判定定理即可证得结 论 【解答】 (本小题

    23、满分 14 分) 证明: (1)因为 ABAC,D 为 BC 的中点,所以 ADBC 因为平面 ABC平面 BCC1B1,平面 ABC平面 BCC1B1BC,AD平面 ABC, 所以 AD平面 BCC1B1                 (5 分) 因为 DC1平面 BCC1B1,所以 ADDC1          (7 分) (2) (证法一) 连接 A1C,交 AC1于点 O,连接 OD,则 O 为 A1C 的中点 因为 D 为 BC 的中点,所以 ODA1B

    24、           (11 分) 因为 OD平面 ADC1,A1B平面 ADC1, 所以 A1B平面 ADC1                 (14 分) (证法二) 取 B1C1的中点 D1,连接 A1D1,DD1,D1B则 D1C1BD 所以四边形 BDC1D1是平行四边形所以 D1BC1D 因为 C1D平面 ADC1,D1B平面 ADC1, 所以 D1B平面 ADC1 同理可证 A1D1平面 ADC1 因为 A1D 1 平面 A1BD1,D1B平面 A1B

    25、D1,A1D1D1BD1, 所以平面 A1BD1平面 ADC1             (11 分) 因为 A1B平面 A1BD1,所以 A1B平面 ADC1      (14 分) 第 13 页(共 19 页) 【点评】本题考查了线面垂直和线面平行,充分理解其判定定理和性质定理是解决问题 的关键遇到中点添加辅助线常想到三角形的中位线或平行四边形 16 (14 分)设函数 f(x)x3x2+6xa,其中 a 为实数 (1)求函数 f(x)的极值; (2)若函数 f(x)有且仅有一个零点,求实数 a 的取值

    26、范围 【分析】 (1)求出函数的导数,通过导数为 0,求出极值点利用函数的单调性求解极值 即可 (2)利用函数的极值结合函数的零点,求解即可 【解答】解: (1)函数 f(x)x3x2+6xa 可得 f(x)3x29x+63(x1) (x2) 令 f(x)0 解得 x1,x2, 第 14 页(共 19 页) x (,1) 1 (1,2) 2 (2,+) f(x) + 0 _ 0 + f(x) 增 a 减 2a 增 当 x1 时,f(x)取得极大值为 f(1)a, 当 x2 时取得极小值为 f(2)2a, (2)由上表可知当 f(2)0 或 f(1)0 时,方程 f(x)0 仅有一个实根 解得

    27、a2 或 a 【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的极值,考查计算能力 17 (15 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y24x0 及点 A(1,0) , B(1,2) (1)若直线 l 平行于 AB,与圆 C 相交于 M,N 两点,MNAB,求直线 l 的方程; (2)在圆 C 上是否存在点 P,使得 PA2+PB212?若存在,求点 P 的个数;若不存在, 说明理由 【分析】 (1) 求出圆心 C 到直线 l 的距离, 利用勾股定理建立方程, 即可求直线 l 的方程;  (2)求出 P 的轨迹方程,利用两圆的位置关系,即可得出结论 【解答】解: (1

    28、)圆 C 的标准方程为(x2)2+y24,所以圆心 C(2,0) ,半径为 2  因为 lAB,A(1,0) ,B(1,2) ,所以直线 l 的斜率为, 设直线 l 的方程为 xy+m0, 则圆心 C 到直线 l 的距离为 d 因为 MNAB, 而 CM2d2+()2,所以 4+2, 第 15 页(共 19 页) 解得 m0 或 m4, 故直线 l 的方程为 xy0 或 xy40 (2)假设圆 C 上存在点 P,设 P(x,y) ,则(x2)2+y24, PA2+PB2(x+1)2+(y0)2+(x+1)2+(y2)212, 即 x2+y22y30,即 x2+(y1)24, 因为|2

    29、2|, 所以圆(x2)2+y24 与圆 x2+(y1)24 相交, 所以点 P 的个数为 2 【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法,考查了圆与圆的位置关系,是中档题 18 (15 分)在距 A 城市 5 千米的 B 地发现金属矿,过 A 有一直线铁路 AD欲运物资于 A, B 之间,拟在铁路线 AD 间(除 A,D 两点)的某一点 C 处筑一公路到 B现测得 BD 3千米,BDA(如图) 已知公路运费是铁路运费的 2 倍,设铁路运费为每千 米 1 万元,总运费为 y为了求总运费 y 的最小值,现提供两种方案:方案一:设 ACx 千米;方案二设BCD (1)试将 y 分别表示为 x、 的函数关

    30、系式 yf(x) 、yg() ; (2)请选择一种方案,求出总运费 y 的最小值,并指出 C 点的位置 【分析】 (1)由题意知 yAC+2BC,利用余弦定理求出 AD、BC,即可写出 f(x)的解 析式;DBC 中利用正弦定理求得 BC、DC 的值,再写出 g()的解析式; (2)选方案一时:利用导数判断 f(x)的单调性,求出函数的最小值;选方案二时:利 用导数判断 g()的单调性,从而求出函数的最小值 【解答】解: (1)由题意知,yAC+2BC, 在ABD 中,AB2DB2+AD22BDADcos 则 AD26AD70,所以 AD7; 第 16 页(共 19 页) 在DBC 中由余弦定

    31、理得:BC, 则 f(x)x+2,x(0,7) ; (4 分) 在 DBC 中 , 则 BC , DC ; 所以 g()4+,(0,) ,其中A0,sinA; (8 分) 注无定义域扣(1 分) (2)若选方案一:令 f(x)0,解得 x4; 所以当 x(0,4)时,f(x)0,函数 f(x)单调递减,x(4,7)时, f(x)0,函数 f(x)单调递增; 所以当 x4时,f(x)取得最小值为 4+3(万元) ; (14 分)  答: 当 AC4(千米) 时, 总运费最小值为 4+3(万元) (15 分) 若选方案二:令 g()0,解得 ; 所以当 (0,)时,g()0,函数 g()

    32、单调递减,当 (,)时, g()0,函数 g()单调递增; 所以当 ,即 AC4(千米)时,g()取得最小值为 4+3(万 元) ; (14 分) 答: 当 AC4(千米) 时, 总运费最小值为 4+3(万元) (15 分) 注:没有答扣(1 分) 【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题,也考查了利用导数研究函数的单调性与 最值问题,是中档题 19 (16 分)在平面直角坐标系 x 中,已知椭圆+1(ab0)的右准线 l:x5, 第 17 页(共 19 页) 离心率 e,A,B 是椭圆上两个不同的动点, (1)求椭圆标准方程; (2)动点 P 满足+,且直线 AB 与 OP 斜率均存在时,分

    33、别记为 kAB和 kOP, 求 kAB+kOP的值,并求|kAB|+|kOP|的最小值; (3)当直线 OAOB 时,求三角形 AOB 面积的最小值 【分析】 (1)由题意列关于 a,b,c 的方程组,求解可得 a,b 的值,则椭圆方程可求;  (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 P(x1+x2,y1+y2) ,由斜率公式及 A,B 在椭圆上 可得 kABkOP的值,再由基本不等式求|kAB|+|kOP|的最小值; (3)设原点 O 到直线 AB 距离为 d,当 OA,OB 有一条斜率不存在时,则三角形 AOB 的面积为 S;当 OA,OB 斜率都存在时,设直线 O

    34、A:ykx(k0) ,联立直线 方程与椭圆方程,求出|OA|,|OB|的值,代入三角形面积公式,再由基本不等式求最值  【解答】解: (1)由题意,解得 a25,b24 椭圆方程为; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 P(x1+x2,y1+y2) , 则, , 等号当且仅当在时“”成立; (3)设原点 O 到直线 AB 距离为 d 当 OA,OB 有一条斜率不存在时,则三角形 AOB 的面积为 S; 当 OA,OB 斜率都存在时, 第 18 页(共 19 页) 设直线 OA:ykx(k0) ,联立,得, 故,即, 同理得:|OB| 面积 S, 等号当且仅当 k1

    35、时成立 ,三角形 AOB 面积最小值为 S 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了利用基本 不等式求最值,考查计算能力,是中档题 20 (16 分)已知函数 f(x)lnx (1)g(x)f(x)(aR) ,且 x2 是函数 g(x)的极值点,求曲线 yg (x)在点(1,g(1) )处的 切线方程; (2)若任意 x0,不等式 f(x)ax0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 x1x20,求证: 【分析】 (1)先根据极值概念求出 a 的值,然后利用导数计算出切线的斜率,利用点斜 式求出方程; (2)利用分离参数法转化为在 x0 上恒成立,利用最值进行

    36、求解; (3)先对待证式进行变形,从而构造函数,借助最值进行证明 【解答】解:(1) (2 分)  由题意知 g(2)0,代入得,经检验,符合题意 从 而 切 线 斜 率, 切 点 为 ( 1 , 0 ) , 切 线 方 程 为 x+8y 1 第 19 页(共 19 页) 0   (4 分) (2)由条件得在x0上恒成 立                 (6 分) 设,则 当 x(1,e)时,h(x)0,h(x)单调递增; 当 x(e,+)时,h(x)0,h(x)单调递减(8 分) 所以当xe

    37、, h (x) 的最大值为, 所以             (10 分) ( 3 ) 当x1 x2 0时 , 不 等 式 :等 价 于 (12 分) 令,则t1,设,则 ,(14 分) 当 t(1,+)时,(t)0,(t)在(1,+)上单调递增,(t)(1) 0, 所以,原不等式成 立                         (16 分) 【点评】本题考查导数的几何意义、极值、函数不等式恒成立和证明,属于中档题


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