1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1相反数等于它本身的数是（ ） A1 B0 C1 D0 或1 22020 年 2 月 20 日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包 机启程出征千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队 1797 人援 助湖北，数字 1797 用科学记数法表示为（ ） A1.797103 B0.1797104 C1.797104 D17.97102 3下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ） A B C D 4如图，ABCD，B85，E27，则D 的度数为（ ） A45 B48 C50 D58 5下列艺术字中，
2、可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 6下列运算正确的是（ ） Aa2+2a3a3 B（2a3 ）24a5 C（a2）（a+1）a2+a2 D（a+b）（ba）b2 a2 7为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了 15 名同学，结果如表： 每天用零花钱（单位：元） 1 2 3 4 5 人数 2 4 5 3 1 则这 15 名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ） A3，3 B5，2 C3，2 D3，5 8已知关于 x 的不等式组恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围为（ ） A1a2 B1a2 C1a2 D1a2 9如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E
3、、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中 的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A2 B4 C8 D10 10同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法 是：如图 （1）作线段 AB，分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点 C； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D； （3）连接 BD，BC 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AABD90 BCACBCD CsinA DcosD 11如图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，要使四边形 ABCD 成为
4、平行四边形还需要条 件（ ） AABDC B12 CABAD DDB 12 如图， 点 A、 B、 C 在O 上， 若BAC45， OC2， 则图中阴影部分的面积是 （ ） A2 B4 C D 13已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x 1 0 2 3 4 y 5 0 4 3 0 下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线 x2；当 0x4 时，y 0；抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 4；若 A（x1，2），B（x2，3）是抛物线 上两点，则 x1x2，其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 14如图，平行四边形 ABCD 中，ABAC，A
5、B，BC，对角线 AC，BD 相交于 点 O，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F，下列说法：在旋 转过程中，AFCEOBAC，在旋转过程中，四边形 ABEF 的面积为， 当直线 AC 绕点 O 顺时针旋转 30时，连接 BF，DE，则四边形 BEDF 是菱形，其中正 确的是（ ） A B C D 二填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 15因式分解：4a3b3ab 16如果一个正多边形的一个外角是 60，那么这个正多边形的边数是 17在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 为矩形，且点 C 坐标为（8，6），M 为 BC 中点， 反比例函数y （k
6、是常数， k0） 的图象经过点M， 交AC于点N， 则MN的长度是 18在临桂新区建设中，需要修一段全长 2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工 具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 天完成任务，求原计 划每天修路的长度若设原计划每天修路 xm，则根据题意可得方程 19如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺指针旋转到AB1C1的位置，点 B、O 分别落在点 B1、C1处，点 B1在 x 轴上，再将AB1C1绕点 B1顺时针旋转到A1B1C2的 位置，点 C2在 x 轴上，将A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴
7、上，依次进行下去，若点 A（，0）、B（0，4），则点 B2020的横坐标为 三解答题（共 7 小题，20、21、22 每题 7 分，23、24 每题 9 分，25 题 11 分，26 题 13 分） 20先化简，再求值：（），其中 a2cos30+（） 1（3）0 21为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了 30 名学生的成绩进行统计， 并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩 x（单位：分）均满足“50x 100”根据图中信息回答下列问题： （1）图中 a 的值为 ； （2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩 x 在“70x80”所对应扇形的圆心角度 数为 度； （3
8、）此次比赛共有 300 名学生参加，若将“x80”的成绩记为“优秀”，则获得“优 秀“的学生大约有 人： （4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为 92 分，若从成绩在“50x60”和“90x 100”的学生中任选 2 人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率 22如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5 米的 测角仪测得古树顶端 H 的仰角HDE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上， 再向前走 7 米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角GEF 为 60，点 A、B、C 三点 在同一水平线上 （1）计算古树 BH 的高
9、； （2）计算教学楼 CG 的高（参考数据：1.4，1.7） 23在 RtABC 中，ACB90，BE 平分ABC，D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径的 O 经过点 E，且交 BC 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 BF6，O 的半径为 5，求 CE 的长 24甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 OBCDA 表 示轿车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系请根据图象解答下列问 题： （1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 千米；
10、 （2）当轿车与货车相遇时，求此时 x 的值； （3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距 20 千米时，求 x 的值 25已知ABC 是等腰三角形，ABAC （1）特殊情形：如图 1， 当 DEBC 时， 有 DB EC （填“”， “” 或“” ） （2）发现探究：若将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 （0180）到图 2 位 置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展运用：如图 3，P 是等腰直角三角形 ABC 内一点，ACB90，且 PB1， PC2，PA3，求BPC 的度数 26如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+2 与 x
11、轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛 物线 yax2+bx+c 的对称轴是 x 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B （1）直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC 的面积的最大 值，并求出此时点 P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、N 为顶 点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案 一选择题（共 14 小题，每题 3 分，共 42 分） 1相反数等于它本身的数是（ ） A1 B0 C1 D0
12、或1 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 解：相反数等于它本身的数是 0 故选：B 【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键 22020 年 2 月 20 日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包 机启程出征千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队 1797 人援 助湖北，数字 1797 用科学记数法表示为（ ） A1.797103 B0.1797104 C1.797104 D17.97102 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n
13、 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：17971.797103 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ） A B C D 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的 图象是俯视图 解：A俯视图与主视图都是正方形，故选项 A 不合题意； B俯视图是圆，主视图是长方形，故选项 B 合题意； C俯视图与主视图都是圆，故选项 C 不
14、合题意； D俯视图和主视图是长方形；故选项 D 不符合题意； 故选：B 【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向属于基础题，中考 常考题型 4如图，ABCD，B85，E27，则D 的度数为（ ） A45 B48 C50 D58 【分析】根据平行线的性质解答即可 解：ABCD， 185， E27， D852758， 故选：D 【点评】此题考查平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等解答 5下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形 解：A、不是轴对称图形，故 A 错误；
15、B、不是轴对称图形，故 B 错误； C、是轴对称图形，故 C 正确； D、不是轴对称图形，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后 可重合 6下列运算正确的是（ ） Aa2+2a3a3 B（2a3 ）24a5 C（a2）（a+1）a2+a2 D（a+b）（ba）b2 a2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式4a6，不符合题意； C、原式a2+a2a2a2a2，不符合题意； D、原式b2a2，符合题意， 故选：D 【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及多项式
16、乘多 项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 7为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了 15 名同学，结果如表： 每天用零花钱（单位：元） 1 2 3 4 5 人数 2 4 5 3 1 则这 15 名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ） A3，3 B5，2 C3，2 D3，5 【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可 解：这 15 名同学每天使用零花钱的众数为 3 元， 中位数为 3 元， 故选：A 【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将 一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均 数），叫做这组
17、数据的中位数 8已知关于 x 的不等式组恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围为（ ） A1a2 B1a2 C1a2 D1a2 【分析】先求出不等式组的解集（含字母 a），因为不等式组有 3 个整数解，可推出 a 的值 解： 解得：x1， 解得：xa， 不等式组的整数解有 3 个， 不等式组的整数解为1、0、1， 则 1a2， 故选：A 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题 的关键是能根据题意求出关于 a 的不等式组 9如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中 的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则
18、图中阴影部分的面积是（ ） A2 B4 C8 D10 【分析】本题考查空间想象能力 解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成， 由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积4416， 图中阴影部分的面积是 1644 故选：B 【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系 10同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法 是：如图 （1）作线段 AB，分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点 C； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D； （3）连接 B
19、D，BC 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AABD90 BCACBCD CsinA DcosD 【分析】 由作法得 CACBCDAB， 根据圆周角定理得到ABD90， 点 C 是ABD 的外心，根据三角函数的定义计算出D30，则A60，利用特殊角的三角函数 值即可得到结论 解：由作法得 CACBCDAB，故 B 正确； 点 B 在以 AD 为直径的圆上， ABD90，故 A 正确； 点 C 是ABD 的外心， 在 RtABC 中，sinD， D30，A60， sinA，故 C 正确；cosD，故 D 错误， 故选：D 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：
20、三角形外接圆的圆心是三 角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理和解直角三角 形 11如图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，要使四边形 ABCD 成为平行四边形还需要条 件（ ） AABDC B12 CABAD DDB 【分析】根据等腰梯形的定义判断 A；根据平行线的性质可以判断 B；根据平行四边形的 判定可判断 C；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出BACDCA，推出 AB CD 即可 解：A、符合条件 ADBC，ABDC，可能是等腰梯形，故 A 选项错误； B、根据12，推出 ADBC，不能推出平行四边形，故 B 选项错误； C、根据 ABAD 和 ADB
21、C 不能推出平行四边形，故 C 选项错误； D、ADBC， 12， BD， BACDCA， ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形，故 D 选项正确 故选：D 【点评】本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理， 平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握， 能综合运用性质进行推理是解此题的关键 12 如图， 点 A、 B、 C 在O 上， 若BAC45， OC2， 则图中阴影部分的面积是 （ ） A2 B4 C D 【分析】根据 S阴S扇形OBCSOBC，计算即可 解：BOC2BAC90， S阴S扇形OBCSOBC 222， 故选：A 【点评】本题考查扇形的面积，圆周
22、角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 13已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x 1 0 2 3 4 y 5 0 4 3 0 下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线 x2；当 0x4 时，y 0；抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 4；若 A（x1，2），B（x2，3）是抛物线 上两点，则 x1x2，其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对进行判断；利用抛物线的对称性可 对进行判断；利用抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0）， （4，0）可对进行判断； 根据
23、二次函数的增减性可对进行判断 解：设抛物线解析式为 yax（x4）， 把（1，5）代入得 5a（1）（14），解得 a1， 抛物线解析式为 yx24x，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x2，所以正确； 抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， 当 0x4 时，y0，所以错误； 抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 4，所以正确； 若 A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x22|x12|，所以错误 故选：B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也
24、考查了二次函数的性 质 14如图，平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB，BC，对角线 AC，BD 相交于 点 O，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F，下列说法：在旋 转过程中，AFCEOBAC，在旋转过程中，四边形 ABEF 的面积为， 当直线 AC 绕点 O 顺时针旋转 30时，连接 BF，DE，则四边形 BEDF 是菱形，其中正 确的是（ ） A B C D 【分析】证明AOFCOE（ASA），可得出 AFCE，求出 AC 和 OB 的长，可得出 结论，根据四边形 ABEF 的面积S四边形ABEO+SAOFS四边形ABEO+SCOESABC，可求出四
25、边形 ABEF 的面积，证明 EFBD，OFOE，则四边形 ABEF 为菱形根据结论 得出答案即可 解：四边形 ABEF 是平行四边形， AOCO，AFEC， FAOECO， 在AOF 和COE 中， ， AOFCOE（ASA）， AFCE 故正确， ABAC， BAC90， AB，BC， AC2， OAAC1， OB2， OBAC； 故正确， AOFCOE， SAOFSCOE， 四边形 ABEF 的面积S四边形ABEO+SAOFS四边形ABEO+SCOESABC， SABCABAC 2， 四边形 ABEF 的面积为， 故不正确， 当旋转角为 30时，AOF30， ABAC，OA1，OB2，
26、ABO30， AOB60， BOF90， EFBD， AOFCOE， OFOE， 四边形 ABEF 为菱形 故正确 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三 角形的性质，菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定方法 是解题的关键 二填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 15因式分解：4a3b3ab ab（2ab+1）（2ab1） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 解：原式ab（4a2b21）ab（2ab+1）（2ab1）， 故答案为：ab（2ab+1）（2ab1） 【点评】此题考查了提公因式法与公式
27、法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 16如果一个正多边形的一个外角是 60，那么这个正多边形的边数是 6 【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数36060，计算即可求 解 解：这个正多边形的边数：360606 故答案为：6 【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是 解题的关键 17在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 为矩形，且点 C 坐标为（8，6），M 为 BC 中点， 反比例函数 y（k 是常数，k0）的图象经过点 M，交 AC 于点 N，则 MN 的长度是 5 【分析】根据矩形的性质，可得 M 点坐标，根据待定系数法，
28、可得函数解析式，根据自 变量与函数值的对应关系，可得 N 点坐标，根据勾股定理，可得答案 解：由四边形 AOBC 为矩形，且点 C 坐标为（8，6），M 为 BC 中点，得 M（8，3），N 点的纵坐标是 6 将 M 点坐标代入函数解析式，得 k8324， 反比例函数的解析是为 y， 当 y6 时，6，解得 x4，N（4，6）， NC844，CM633， MN 5， 故答案为：5 【点评】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出 M 点坐标是解题关键，又利用了 待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出 N 点坐标，勾股定理求 MN 的长 18在临桂新区建设中，需要修一段全长 240
29、0m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工 具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 天完成任务，求原计 划 每 天 修 路 的 长 度 若 设 原 计 划 每 天 修 路xm ， 则 根 据 题 意 可 得 方 程 【分析】 求的是原计划的工效， 工作总量为 2400， 一定是根据工作时间来列等量关系 本 题的关键描述语是：“提前 8 小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间实际用 的时间8 解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：所列方程为： ， 故答案为： 【点评】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一 个量，一定是根据另一量来列等
30、量关系的本题考查分式方程的应用，分析题意，找到 合适的等量关系是解决问题的关键本题应用的等量关系为：工作时间工作总量工 效 19如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺指针旋转到AB1C1的位置，点 B、O 分别落在点 B1、C1处，点 B1在 x 轴上，再将AB1C1绕点 B1顺时针旋转到A1B1C2的 位置，点 C2在 x 轴上，将A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴 上，依次进行下去，若点 A（，0）、B（0，4），则点 B2020的横坐标为 10100 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4，即可得 每偶数之
31、间的 B 相差 10 个单位长度，根据这个规律可以求得 B2020的坐标 解：由图象可知点 B2020在第一象限， OA，OB4，AOB90， AB， B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4）， B2020（10100，4） 点 B2020横坐标为 10100 故答案为 10100 【点评】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到 一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型 三解答题（共 7 小题，20、21、22 每题 7 分，23、24 每题 9 分，25 题 11 分，26 题 13 分） 20先化简，再求值：（），其中 a2cos3
32、0+（） 1（3）0 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数 值、负整数指数幂与零指数幂得到 a 的值，继而将 a 的值代入计算可得 解：原式 （a+1） （a+1） ， 当 a2cos30+（） 1（3）02 +21+1 时， 原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算 法则及特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂 21为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了 30 名学生的成绩进行统计， 并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩 x（单位：分）均满足“50x 100”根据图中信息回答下列
33、问题： （1）图中 a 的值为 6 ； （2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩 x 在“70x80”所对应扇形的圆心角度 数为 144 度； （3）此次比赛共有 300 名学生参加，若将“x80”的成绩记为“优秀”，则获得“优 秀“的学生大约有 100 人： （4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为 92 分，若从成绩在“50x60”和“90x 100”的学生中任选 2 人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率 【分析】（1）用总人数减去其他分组的人数即可求得 60x70 的人数 a； （2）用 360乘以成绩在 70x80 的人数所占比例可得； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比
34、例即可得； （4）先画出树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出有 C 的结果数，然后根据概 率公式求解 解：（1）a30（2+12+8+2）6， 故答案为：6； （2）成绩 x 在“70x80”所对应扇形的圆心角度数为 360144， 故答案为：144； （3）获得“优秀“的学生大约有 300100 人， 故答案为：100； （4）50x60 的两名同学用 A、B 表示，90x100 的两名同学用 C、D 表示（小明 用 C 表示）， 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中有 C 的结果数为 6， 所以小明被选中的概率为 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图
35、法展示所有等可能的结果 求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查了扇形统计图和频率分布直方图 22如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5 米的 测角仪测得古树顶端 H 的仰角HDE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上， 再向前走 7 米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角GEF 为 60，点 A、B、C 三点 在同一水平线上 （1）计算古树 BH 的高； （2）计算教学楼 CG 的高（参考数据：1.4，1.7） 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解
36、决问题； （2）作 HJCG 于 G则HJG 是等腰三角形，四边形 BCJH 是矩形，设 HJGJBC x构建方程即可解决问题； 解：（1）由题意：四边形 ABED 是矩形，可得 DEAB7 米，ADBE1.5 米， 在 RtDEH 中，EDH45， HEDE7 米 BHEH+BE8.5 米 （2）作 HJCG 于 J则HJG 是等腰三角形，四边形 BCJH 是矩形，设 HJGJBC x 在 RtEFG 中，tan60， ， x（+1）， GFx16.45 CGCF+FG1.5+16.4518.0 米 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅 助线，构造直角三
37、角形解决问题，属于中考常考题型 23在 RtABC 中，ACB90，BE 平分ABC，D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径的 O 经过点 E，且交 BC 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 BF6，O 的半径为 5，求 CE 的长 【分析】（1）连接 OE，证明OEA90即可； （2）连接 OF，过点 O 作 OHBF 交 BF 于 H，由题意可知四边形 OECH 为矩形，利用 垂径定理和勾股定理计算出 OH 的长，进而求出 CE 的长 【解答】（1）证明：连接 OE OEOB， OBEOEB， BE 平分ABC， OBEEBC， EBCOEB， OEBC， OEAC，
38、ACB90， OEA90 AC 是O 的切线； （2）解：连接 OE、OF，过点 O 作 OHBF 交 BF 于 H， 由题意可知四边形 OECH 为矩形， OHCE， BF6， BH3， 在 RtBHO 中，OB5， OH4， CE4 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性 24甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 OBCDA 表 示轿车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的
39、函数关系请根据图象解答下列问 题： （1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 30 千米； （2）当轿车与货车相遇时，求此时 x 的值； （3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距 20 千米时，求 x 的值 【分析】（1）根据图象可知货车 5 小时行驶 300 千米，由此求出货车的速度为 60 千米/ 时，再根据图象得出货车出发后 4.5 小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车 行驶的路程为 270 千米，而甲、乙两地相距 300 千米，则此时货车距乙地的路程为：300 27030 千米； （2）先求出线段 CD 对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答； （3）分两种情形列出方程
40、即可解决问题 解：（1）根据图象信息：货车的速度 V货， 轿车到达乙地的时间为货车出发后 4.5 小时， 轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.560270（千米）， 此时，货车距乙地的路程为：30027030（千米） 所以轿车到达乙地后，货车距乙地 30 千米 故答案为：30； （2）设 CD 段函数解析式为 ykx+b（k0）（2.5x4.5） C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上， ，解得， CD 段函数解析式：y110x195（2.5x4.5）； 易得 OA：y60x， ，解得， 当 x3.9 时，轿车与货车相遇； （3）当 x2.5 时，y货150，两车相距150807
41、020， 由题意 60x（110x195）20 或 110x19560x20， 解得 x3.5 或 4.3 小时 答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距 20 千米时，x 的值为 3.5 或 4.3 小时 【点评】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一 次函数的解析式的运用，行程问题中路程速度时间的运用，本题有一定难度，其中 求出货车与轿车的速度是解题的关键 25已知ABC 是等腰三角形，ABAC （1）特殊情形：如图 1，当 DEBC 时，有 DB EC （填“”， “”或“”） （2）发现探究：若将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 （0180）到图 2
42、 位 置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展运用：如图 3，P 是等腰直角三角形 ABC 内一点，ACB90，且 PB1， PC2，PA3，求BPC 的度数 【分析】（1）由 DEBC，得到，结合 ABAC，得到 DBEC； （2）由旋转得到的结论判断出DABEAC，得到 DBCE； （3）由旋转构造出CPBCEA，再用勾股定理计算出 PE，然后用勾股定理逆定理判 断出PEA 是直角三角形，在简单计算即可 解：（1）DEBC， ， ABAC， DBEC， 故答案为：， （2）成立 证明：由易知 ADAE， 由旋转性质可知DABEAC， 在DAB 和E
43、AC 中 得 DABEAC， DBCE， （3）如图， 将CPB 绕点 C 旋转 90得CEA，连接 PE， CPBCEA， CECP2，AEBP1，PCE90， CEPCPE45， 在 RtPCE 中，由勾股定理可得，PE2， 在PEA 中，PE2（2）28，AE2121，PA2329， PE2+AE2AP2， PEA 是直角三角形 PEA90， CEA135， 又CPBCEA BPCCEA135 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形 的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难 点 26如图，在平面直角坐标系 xOy
44、中，直线 yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛 物线 yax2+bx+c 的对称轴是 x 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B （1）直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC 的面积的最大 值，并求出此时点 P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、N 为顶 点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）先求的直线 yx+2 与 x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可 求得点 B
45、 的坐标；设抛物线的解析式为 yya（x+4）（x1），然后将点 C 的坐标 代入即可求得 a 的值； （2）设点 P、Q 的横坐标为 m，分别求得点 P、Q 的纵坐标，从而可得到线段 PQ m22m，然后利用三角形的面积公式可求得 SPACPQ4，然后利用配方法可求得 PAC 的面积的最大值以及此时 m 的值，从而可求得点 P 的坐标； （3）首先可证明ABCACOCBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，MANBAC；根据抛物线的对称性，当 M（ 3，2）时，MANABC； 当点 M 在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形 的对应关系 解：（1）y当 x0 时，y2，当 y0 时，x4， C（0，2），A（4，0）， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x对称， 点 B 的坐标为（1，0） 抛物线 yax2+bx+c 过 A（4，0），B（1，0）， 可设抛物线解析式为 ya（x+4）（x1）， 又抛物线过点 C（0，2），
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