1、 数学试题数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1已知集合 A（x，y）|y2x1，B（x，y）|yx2，则 AB（ ） A B1 C（1，1） D（1，1） 2已知复数 z= 2+3 32，则 =（ ） Ai Bi C1+i D1i 3已知 alog89，b0.57，clog0.810，则（ ） Acab Bbac Cbca Dcba 4学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为 n 的
2、样 本，并将得到的数据分成10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50四组，绘制成如图所 示的频率分布直方图，其中支出在40，50的同学有 24 人，则 n（ ） A80 B60 C100 D50 5执行如图所示的程序框图，若输出的 y 的值为 4，则输入的 x 的可能值有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠） 、丑（牛） 、寅（虎） 、卯（兔） 、辰（龙） 、 巳（蛇） 、午（马） 、未（羊） 、申（猴） 、酉（鸡） 、戌（狗） 、亥（猪） ，每一个人的出生 年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相现有印着十二生肖图案的毛
3、绒蛙娃各 一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃 娃中各随机取一个 （不放回） ， 则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是 （ ） A 1 144 B 1 132 C 1 66 D 1 33 7圆 C：x2+y22x4y+30 被直线 l：ax+y1a0 截得的弦长的最小值为（ ） A1 B2 C2 D3 8将函数 f（x）sin（3x+） （0）的图象向左平移 4个单位长度后得到函数 g（x） 的图象，若直线 x= 6是 g（x）的图象的一条对称轴，则（ ） Af（x）为奇函数 Bg（x）为偶函数 来源:学科网 ZXXK Cf（x）在 12， 3上
4、单调递减 Dg（x）在 15， 9上单调递增 9已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面 积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A8：53 B4：53 C23：5 D4：113 10已知数列an的首项 a12，an+1an+6+ 2 +9，则 a27（ ） A7268 B5068 C6398 D4028 11已知双曲线 E： 2 2 2 2 =1（a0，b0）与抛物线 C：y216x 有相同的焦点 F， 抛物线 C：x212y 的焦点为 F，点 P 是双曲线 E 右支上的动点，且PFF的周长 的最小值为 14，则双曲线 E 的离心率为（ ）
5、 A3 B2 C3 D2 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为线段 A1B1，AB 的中点，O 为四棱锥 E C1D1DC 的外接球的球心，点 M，N 分别是直线 DD1，EF 上的动点，记直线 OC 与 MN 所成角为 ，则当 最小时，tan（ ） A221 11 B42 3 C11205 205 D1121 42 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 =（1，2） ， =（2m，m3） ，若 ，则 m 14已知函数 f（x）是奇函数，当 x
6、0 时，f（x）xex+1，则 f（x）的图象在点（1，f （1） ）处的切线斜率为 15已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a33，S339，则 a7 16已知（ 2 2 x ;1 2）n的展开式中第 9 项是常数项，则展开式中 x5的系数为 ；展 开式中系数的绝对值最大的项的系数为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题
7、，考生根据要求作 答答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2bcosCsin（A+ 4）cos （BC） （1）求 A； （2）若 a22，求ABC 的面积 18每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从 2018 年开始，我国关于延迟退休的话题一 直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 100 人 进行调查，调查情况如表： 年龄段（单位：岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的人数 6
8、12 n 20 12 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在35，45）的概率为1 5，求出表格 中 m，n 的值； （2）若从年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽 样，从中抽取 10 人参与某项调查，然后再从这 10 人中随机抽取 4 人参加座谈会，记这 4 人中赞成“延迟退休”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC90，平 面 PAD底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 的中点， PAPD4， BC= 1 2 =2， CD= 3 （1
9、）证明：平面 BQM平面 PAD （2）求二面角 MBQA 的大小 20已知函数 f（x）（mxm1）lnx+x 3 （1）当 m0 时，求 f（x）的最值； （2）当 m0 时，若 f（x）的两个零点分别为 x1，x2（x1x2） ，证明 x2x1e 1 21 已知 F1（1， 0） ， F2（1， 0） 点 D是圆O： x2+y24上一动点， 动点 E 满足2 =22 ， 点 P在 直线 EF1上，且 DPEF2 （1）求点 P 的轨迹 C 的标准方程； （2）已知点 Q 在直线 l：x40 上，过点 Q 作曲线 C 的两条切线，切点分别为 M，N， 记点 M，N 到直线 OQ 的距离分别
10、为 d1，d2，求 | 1:2的最大值，并求出此时 Q 点的坐 标 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 4 = 42， （t 为参数） ， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为(3 2) = 2 （1）写出曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2） 若射线： = (0 2 ，
11、 0)与曲线 C2相交于点 A， 将 OA 逆时针旋转 90 后，与曲线 C1相交于点 B，且|OB|23|OA|，求 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|+|2x3| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）若函数 f（x）的最小值为 m，正实数 a，b 满足 a2+ 2 9 =m，证明：1 + 3 47 7 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1已知集合 A（x，y）|y2
12、x1，B（x，y）|yx2，则 AB（ ） A B1 C（1，1） D（1，1） 解方程组 = 2 1 = 2 ，即可求出 AB 中点的坐标，从而求出 AB 由 = 2 1 = 2 ，可得 = 1 = 1， AB（1，1）， 故选：C 本题主要考查了集合的基本运算，考查了运算求解能力与推理论证能力，是基础题 2已知复数 z= 2+3 32，则 =（ ） Ai Bi C1+i D1i 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 z= 2+3 32 = (2+3)(3+2) (32)(3+2) = 13 13 = ， = 故选：A 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，
13、是基础题 3已知 alog89，b0.57，clog0.810，则（ ） Acab Bbac Cbca Dcba 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 因为 log89log881，00.570.501，log0.810log0.810， 所以 cba 故选：D 本题考查三个数的大小的判断，考查指数与对数函数的性质等基础知识，考查运算求解 能力，考查逻辑推理的核心素养，是基础题 4学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为 n 的样 本，并将得到的数据分成10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50四组，绘制成如图所 示的频率分布直方图，其中支出在4
14、0，50的同学有 24 人，则 n（ ） A80 B60 C100 D50 根据频率直方图求出40，50的频率，然后求出总人数 本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力 由频率分布直方图可得，支出在40，50的频率为 1（0.01+0.024+0.036）100.3 根据题意得24 = 0.3，解得 n80 故选：A 本题考查通过频率直方图估算总人数，属于基础题 5执行如图所示的程序框图，若输出的 y 的值为 4，则输入的 x 的可能值有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 由题意可得：y= 4;2， 4， 02 0 2， 2 ，若输出的 y 的值为 4，则分类讨论可求 x 的值，即
15、 可得解 由题意可得：y= 4;2， 4， 02 0 2， 2 ， 若输出的 y 的值为 4，则 0 4= 4，或 02 4;2= 4 ，或 2 2 = 4， 解得 x= 2，或 x2ln2，或 xe2， 所以输入的 x 的可能值有 3 个 故选：C 本题主要考查了程序框图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题 6十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠） 、丑（牛） 、寅（虎） 、卯（兔） 、辰（龙） 、 巳（蛇） 、午（马） 、未（羊） 、申（猴） 、酉（鸡） 、戌（狗） 、亥（猪） ，每一个人的出生 年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各 一个，小张同
16、学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃 娃中各随机取一个 （不放回） ， 则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是 （ ） A 1 144 B 1 132 C 1 66 D 1 33 现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回） ，基本事件总数 n12 11132，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数 m111，由 此能求出这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率 十二生肖是十二地支的形象化代表， 即子（鼠） 、丑（牛） 、寅（虎） 、卯（兔） 、辰（龙） 、巳（蛇） 、午（马） 、未（羊） 、申 （猴） 、酉（鸡） 、戌（狗） 、亥（
17、猪） ， 每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相 现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各一个， 小张同学的属相为马， 小李同学的属相为羊， 现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回） ， 基本事件总数 n1211132， 这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数 m111， 则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率 p= = 1 132 故选：B 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7圆 C：x2+y22x4y+30 被直线 l：ax+y1a0 截得的弦长的最小值为（ ） A1 B2 C2 D3 由圆的方程求出圆心坐标
18、与半径，再求出直线 l 所过定点，求出圆心到定点的距离，利 用垂径定理求最小弦长 由 x2+y22x4y+30，得（x1）2+（y2）22， 则圆心坐标为 C（1，2） ，半径为2 直线 ax+y1a0 即 a（x1）+y10，过定点 P（1，1） ， 当过圆心与定点的直线与直线 l 垂直时，弦长最短， 此时|CP|= (1 1)2+ (2 1)2= 1，则弦长为22 1 = 2 故选：B 本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题 8将函数 f（x）sin（3x+） （0）的图象向左平移 4个单位长度后得到函数 g（x） 的图象，若直线 x= 6是 g（x）的图象的一
19、条对称轴，则（ ） Af（x）为奇函数 Bg（x）为偶函数 Cf（x）在 12， 3上单调递减 Dg（x）在 15， 9上单调递增 直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数 的性质的应用求出结果 函数 f（x）sin（3x+） （0）的图象向左平移 4个单位长度后得到函数 g（x） sin（3x+ 3 4 +）的图象， 由于直线 x= 6是 g（x）的图象的一条对称轴， 故3 6 + 3 4 += + 2（kZ） ，整理得 = 3 4 （kZ） ， 当 k1 时，= 4， 所以 f（x）sin（3x+ 4） g（x）sin（3x+）sin3x 故选项 A、B
20、 错误 对于选项 C： 2 + 2 3 + 4 2 + 3 2（kZ） ， 解得： 12 + 2 3 2 3 + 5 12 （kZ） ， 当 k0 时，函数的单调递减区间为 12 ， 5 12， 由于 12， 3 12 ， 5 12，故选项 C 正确 对于选项 D：令 2 + 2 3 2 + 3 2 （kZ） ， 当 k0 时，函数的单调增区间为： 6 ， 2，故选项 D 错误 故选：C 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 三角函数关系式的平移变换的应用， 正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础 题型 9已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径
21、相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面 积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A8：53 B4：53 C23：5 D4：113 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，求出 l2r，圆锥的高 h= 3，从而圆锥的体积 V= 1 3 2 3 = 3 3 3由题意知圆柱的底面半径为 2，设圆柱的高为 h，由圆锥和 圆柱的表面积相等，解得 h= 5 2 ，求出圆柱体积 V= ( 2) 2 5 2 = 5 8 3，由此能求 出此圆锥与圆柱的体积之比 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 则 r2= 1 2 1 2 ，解得 l2r， 圆锥的高 h= 3， 圆锥的体积 V= 1 3 2
22、3 = 3 3 3来源:Z#xx#k.Com 由题意知圆柱的底面半径为 2，设圆柱的高为 h， 圆锥和圆柱的表面积相等，3r22（ 2） 2+2（ 2）h，解得 h= 5 2， 圆柱体积 V= ( 2) 2 5 2 = 5 8 3， 此圆锥与圆柱的体积之比为： 3 3 3 5 8 3 = 8 53 故选：A 本题考查圆锥与圆柱的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题 10已知数列an的首项 a12，an+1an+6+ 2 +9，则 a27（ ） A7268 B5068 C6398 D4028 首先利用递推关系式的应用求出新数列的通项公式，
23、进一步求出结果 数列an的首项 a12，an+1an+6+ 2 +9， 则:1+ 2 = (+ 2 + 3)2，整理得:1+ 2 + 2 = 3（常数） ， 所以数列+ 2是以 2 为首项，3 为公差的等差数列 所以+ 2 = 3 1， 整理得+ 2 = (3 1)2， 所以27= 802 2 = 6398 故选：C 本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，构造新数列的方法的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 11已知双曲线 E： 2 2 2 2 =1（a0，b0）与抛物线 C：y216x 有相同的焦点 F， 抛物线 C：x212y 的焦点为 F，点 P 是双
24、曲线 E 右支上的动点，且PFF的周长 的最小值为 14，则双曲线 E 的离心率为（ ） A3 B2 C3 D2 先求出抛物线 C， C的焦点， 然后将三角形 PFF的周长表示出来， 根据最小值为 14， 构造出关于 a，b，c 的方程即可 由题意得抛物线 C 的焦点为 F（4，0） ，抛物线 C的焦点 F（0，3） ， 设双曲线的右焦点为 F0，则三角形 PFF的周长 L|PF|+|PF|+|FF| |PF|+|PF0|+2a+5|FF0|+2a+510+2a14，故 a2， 所以 e= = 2 故选：D 本题考查双曲线的几何性质和离心率的求法考查计算能力属于中档题 12在正方体 ABCDA
25、1B1C1D1中，E，F 分别为线段 A1B1，AB 的中点，O 为四棱锥 E C1D1DC 的外接球的球心，点 M，N 分别是直线 DD1，EF 上的动点，记直线 OC 与 MN 所成角为 ，则当 最小时，tan（ ） A221 11 B42 3 C11205 205 D1121 42 设 P，Q 分别是棱 CD 和 C1D1的中点，则四棱锥 EC1D1DC 的外接球即三棱柱 DFC D1EC1的外接球，其外接球球心 O 为上、下底面三角形外心 G 和 H 连结的中点， 的最 小值是直线 OC 与平面 DD1EF 所成角，问题转化为求直线 OC 与平面 DD1EF 所成角的 正切值 如图，设
26、 P，Q 分别是棱 CD 和 C1D1的中点， 则四棱锥 EC1D1DC 的外接球即三棱柱 DFCD1EC1的外接球， 三棱柱 DFCD1EC1是直三棱柱， 其外接球球心 O 为上、下底面三角形外心 G 和 H 连结的中点， 由题意，MN 是平面 DD1EF 内的一条动直线， 记直线 OC 与 MN 所成角为 ， 则 的最小值是直线 OC 与平面 DD1EF 所成角， 即问题转化为求直线 OC 与平面 DD1EF 所成角的正切值， 不妨设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2，则 EQ2，ED1= 5， EC1D1为等腰三角形，EC1D1外接圆直径为 2GE= 1 11 = 5 2 5
27、= 5 2， 则 GE= 5 4，GQ2 5 4 = 3 4 =PH， 如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0） ，D1（0，0，2） ，C（0，2，0） ，F（2，1，0） ，O（3 4，1，1） ， 1 =（0，0，2） ， =（2，1，0） ， =（ 3 4 ，1， 1） ， 设平面 DD1EF 的法向量 =（x，y，z） ， 则 1 = 2 = 0 = 2 + = 0 ，取 x1，得 =（1，2，0） ， 则 sin= | | | | | = 11 541，tan= 1121 42 故选：D 本题考查面直线所成最小角
28、的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 =（1，2） ， =（2m，m3） ，若 ，则 m 3 2 依题意，2m+2（m3）0，由此解得 = 3 2 因为 = 0，所以 2m+2（m3）0，即 = 3 2 故答案为：3 2 本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力 14已知函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）xex+1，则 f（x）的图象在点（1，f （1）
29、 ）处的切线斜率为 2e 根据条件求出 f（x）在 x0 时的解析式，然后求出其导数，再求出 f（x）的图象在点（ 1，f（1） ）处的切线斜率 f（1） 函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）xex+1， 当 x0 时，x0，f（x）xe x+1， f（x）xe x1，f（x）（1x）ex， f（x）的图象在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 kf（1）2e来源:Zxxk.Com 故答案为：2e 本题考查了函数与导数的综合应用和利用导数研究曲线上某点切线方程，考查化归与转 化的数学思想，属基础题 15已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a33，S339，则 a7 1 27
30、 利用等比数列的通项公式、前 n 项和公式列方程组，求出首项和公比，由此能求出 a7 正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S339， q1， 3 = 12= 3 3= 1(13) 1 = 39 0 ， 解得 a127，q= 1 3， a727（1 3） 6=1 27 故答案为： 1 27 本题考查等比数列的第 7 项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 16已知（ 2 2 x ;1 2）n的展开式中第 9 项是常数项，则展开式中 x5的系数为 105 8 ；展 开式中系数的绝对值最大的项的系数为 15 先由题设条件求出 n，再根据二项式定理求出需要的结
31、果 （1）由二项式定理可得（ 2 2 x ;1 2）n的展开式中第 r+1 项为 T :1= (2 2 );( 1 2)=（1）r（1 2） nrC x 2;5 2， 由题意：令 r8，则 2n 5 2 =2n200，解得：n10， T :1= (2 2 );( 1 2)=（1）r（1 2） 10rC 10 x 20;5 2， 令 20 5 2 = 5，解得r6，所以展开式中 x5的系数为（1）6（1 2） 106C 10 6 = 105 8 ； （2）设展开式中第 r+1 项系数的绝对值为 Pr+1|（1）r（1 2） 10rC 10 |= 10 210， 则:1 = 10 10 ;1 21
32、0;(;1) 210; = 2(11;) = 22 2，所以当 1r7 时，:1 1；当 8 r10 时，:1 1 所以 P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10，所以第 8 项的系数的绝对值最大， 该项的系数为（1）7（1 2） 107C 10 7 = 15 故填：105 8 ，15 本题主要考查二项式定理，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题
33、，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2bcosCsin（A+ 4）cos （BC） （1）求 A； （2）若 a22，求ABC 的面积 （1）根据已知条件以及两角和的正弦即可求得角 A； （2）先根据余弦定理求得 b，进而求得结论 （1）a2bcosCsinA2sinBcosCsin（B+C）2sinBcosC； 即 sinBcosC+sinCcosB2sinBcosCtanCtanBBC； 又 sin（A+ 4）cos（BC）sin（A+ 4）cos01 A+ 4
34、=2k+ 2，kZ； 取 k0，可得 A= 4； （2）a2b2+c22bccosA82b22b2 2 2 b2= 8 22 =4（2 + 1） ； ABC 的面积：S= 1 2bcsinA= 1 2b 22 2 =2+2来源:Z,xx,k.Com 本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用并考查了三角形的面积计算，考查运算 能力，属于基础题 18每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从 2018 年开始，我国关于延迟退休的话题一 直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 100 人 进行调查，调查情况如表： 年龄段（单位：岁） 15，25） 25，35） 35，4
35、5） 45，55） 55，65） 65，75 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的人数 6 12 n 20 12 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在35，45）的概率为1 5，求出表格 中 m，n 的值； （2）若从年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽 样，从中抽取 10 人参与某项调查，然后再从这 10 人中随机抽取 4 人参加座谈会，记这 4 人中赞成“延迟退休”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 （1）通过抽取的人数求解 m，通过年龄在35，45）的被调查者中选取的 2 人都是赞成 的概率，求解 n； （2）
36、由已知得 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变 量 X 的分布列和数学期望 （1）因为总共抽取 100 人进行调查，所以 m10010152025525， “延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在35，45）的概率为1 5，可得： 52: = 1 5，所 以 n13 （2）从年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样， 从中抽取 10 人，赞成的抽取10 20 25 =8 人，不赞成的 2 人，在从这 10 人中抽取 4 人， 则随机变量 X 的可能取值为 2，3，4P（X2）= 8 2 2 2 10 4 = 2 15， P（X
37、3）= 8 3 2 1 10 4 = 8 15， P（X4）= 8 4 2 0 10 4 = 1 3，X 的分布列为： X 2 3 4 P 2 15 8 15 1 3 所以 EX2 2 15 + 3 8 15 +4 1 3 = 16 5 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC90，平 面 PAD底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 的中点， PAPD4， BC= 1 2 =2， CD= 3 （1）证明：平面 BQM平面 PAD （2）求二面角 MBQA 的大小
38、 （1）推导出四边形 BCDQ 为平行四边形，CDBQ，BQAD，从而 BQ平面 PAD， 由此能证明平面 BQM平面 PAD （2）以 Q 为原点，QA，QB，QP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能 求出二面角 MBQA 的大小 （1）证明：ADBC，BC= 1 2 ，Q 为 AD 的中点， 四边形 BCDQ 为平行四边形，CDBQ， ADC90，AQB90，BQAD， 平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD， BQ平面 ABCD，BQ平面 PAD， BQ平面 BQM，平面 BQM平面 PAD （2）解：由（1）知 QA，QB，QP 两两垂直， 以
39、 Q 为原点，QA，QB，QP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 Q（0，0，0） ，B（0，3，0） ，C（2，3，0） ，P（0，0，23） ，M（1， 3 2 ，3） ， =（0，3，0） ， =（1， 3 2 ，3） ， 设平面 BMQ 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 3 = 0 = + 3 2 + 3 = 0 ，取 x= 3，得 =（3，0，1） ， 平面 ABQ 的法向量 =（0，0，1） ， 设二面角 MBQA 的大小为 ，由图知 为钝角， 则 cos= | | | |= 1 2，= 2 3 二面角 MBQA 的大小为2 3 本题考查面面垂直的证明，考查二面
40、角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20已知函数 f（x）（mxm1）lnx+x 3 （1）当 m0 时，求 f（x）的最值； （2）当 m0 时，若 f（x）的两个零点分别为 x1，x2（x1x2） ，证明 x2x1e 1 （1）把 m0 代入，对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最小值； （2）结合导数与单调性的关系及函数的性质及零点判定定理可证来源:Zxxk.Com （1）m0，f（x）lnx+x 3 ，x0，f（x）= 1 1 = 1 ， 当 x1 时，f（x）0，函数单调递增，当 0x1 时，f（x）0，函数单调递减，
41、 故当 x1 时，函数取得最小值 f（1）1 3 ； （2）() = (1 + 1 ) + 1 1 ， 因为 m0 时，f（x）单调递增且 f（1）0， 所以 0x1 时，f（x）0，函数单调递减，当 x1 时，f（x）0，函数单调递 增， 故当 x1 时，函数取得最小值 f（1）1 3 0， 又 f（1 ）m（ 1 1）+1 2 = (1)+2 0， 所以 f（x）在（1 ，1）上存在一个零点， 因此 x2x1e 1 本题主要考查了函数的最值的求解及利用导数及函数的性质综合解决函数问题，体现了 转化思想的应用 21 已知 F1（1， 0） ， F2（1， 0） 点 D是圆O： x2+y24上
42、一动点， 动点 E 满足2 =22 ， 点 P在 直线 EF1上，且 DPEF2 （1）求点 P 的轨迹 C 的标准方程； （2）已知点 Q 在直线 l：x40 上，过点 Q 作曲线 C 的两条切线，切点分别为 M，N， 记点 M，N 到直线 OQ 的距离分别为 d1，d2，求 | 1:2的最大值，并求出此时 Q 点的坐 标 （1）根据已知条件可得 D 为线段 EF2的中点，进而得出|PE|PF2|，由此|PF1|+|PF2|4 2，根据椭圆的定义可得点 P 的轨迹是以 F1（1，0） ，F2（1，0）为焦点，以 4 为长 轴长的椭圆，进而求得轨迹方程，同时注意 x2； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（4，t） ，可得切线 QM 的方程为1 4 + 1 3 = 1， 而切线 QM 过点 Q（4，t） ，则1+ 1 3 = 1，同理可得2+ 2 3 = 1，故直线 MN 的方程 为 + 3 = 1，利用弦长公式可求得|MN|，直线 OQ 的方程为 tx4y0，利用点到直线 的距离公式可得 d1，d2，进而表示出 d1+d2，再由此得出 |
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