1、山东省新高考山东省新高考 2020 届高三数学原创试卷（四）届高三数学原创试卷（四） 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1已知 P1，0，3，5，6，8，Qx|x27x0，则 P（RQ）（ ） A0，3，5，6 B1，0，7，8 C3，5，6 D1，8 2已知复数 z= 3+(1+)2 1 ，则 =（ ） A 1 2 + 5 2i B1 2 5 2i C15i D1+5i 3 为庆祝中华人民共和国成立 70 周年，
2、我国于 2019 年 10 月 1 日在北京天安门广场举行了 大型阅兵仪式在此次活动中，共有 15 个徒步方队，32 个装备方队，12 个空中梯队， 官兵约 15000 名通过天安门广场接受党和人民的检阅若按照方队个数进行分层抽样， 从徒步方队与空中梯队中共选出 18 个方队，则选出的空中梯队的个数为（ ） A12 B10 C8 D6 42019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果” ， 有 5 项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏 920” 、清华大学面向 通用人工智能的异构融合天机芯片” 、 “特斯拉全自动驾驶芯片” 、
3、寒武纪云端 AI 芯片 “思 元 270“、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台” 若从这 15 项“世界互联网领先科技成 果”中任选 3 项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（ ） A86 91 B 5 91 C24 91 D67 91 5已知向量 =（1，1） ，| |（ + ） （ 3 ）1，则向量 与 的夹角为（ ） A2 3 B 3 C 4 D3 4 6已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，其圆心角为 ，设 a 1 ，b（1 ） ，cln1 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Bbac Cabc Dcab 7函数 f（x）cosxsin（1 2 3+1）的图
4、象大致为（ ） A B C D 8已知双曲线 E： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点为 F，O 为坐标原点，M 为 OF 的 中点，若以 FM 为直径的圆与 E 的渐近线相切，则双曲线 E 的离心率为（ ） A23 3 B32 4 C2 D3 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9我国已成为名副其实的工业大国据统计，在
5、500 多种主要工业品中，我国有 220 多种 产品产量居全球第一位，工业化的大规模推进也消耗了大量的资源和能源为加快推进 工业节能与绿色发展，工业和信息化部及国家开发银行联合发布了关于加快推进工业 节能与绿色发展的通知 ，大力支持工业节能降耗、降本增效，实现绿色发展如表是某 国企利用新科技进行节能降耗技术改造后连续五年的生产利润统计表： 年号 1 2 3 4 5 年生产利润 y（单位：千 万元） 0.7 0.8 1 1.1 1.4来源:学.科.网 Z.X.X.K 则下列说法正确的是（ ） （参考公式及数据： ： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ； = ， 5 1（xi
6、） （yi）1.7， 5 1 2 n2=10） A这五年生产利润的方差为 0.06 B每年的年生产利润比前一年大约增长 0.49 千万元 C预测 2020 年该国企的年生产利润为 1.68 千万元 D要使年生产利润突破 2 千万元，至少要等到 2022 年 10下列说法正确的是（ ） A命题 p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2 B已知 2cos+3cos = 5，2sin+3sin23，则 cos（）= 1 3 C “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 D若二项式（x 1 ） 6（a0）的展开式中的常数项为15 16，则 a2 11如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的侧面是边长为 2
7、 的正方形 D、E 分别是 BB1、AC 的中 点，则下列结论成立的是（ ） A直线 A1D 与直线 BC 是异面直线 B直线 BE 与平面 A1CD 不平行 C直线 AC 与直线 A1D 所成角的余弦值等于 5 5 D直线 CD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值等于 10 5 12已知函数 f（x）sinx3cosx（04）满足 f（x+）f（x） ，其图象向左平移 m 个单位后，所得图象对应的函数 yg（x）在 6， 6上单调递增，则下列判断正确的 是（ ） A1 B函数 f（x）的图象关于直线 x= 12对称 C正整数 m 的值可以为 7 D正整数 m 的最小值为 6 三、填空题（本
8、题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13函数 f（x）= + 在点 P（1，f（1） ）处的切线与 g（x）x3x 在点 Q（1，g（1） ） 处的切线相互垂直，则 a 14若正数 1.6，2.3，5.1，a，b 的平均数为 3，则1 + 1 的最小值为 15已知圆 C：x2+y24x4y+40，抛物线 E：y22px（p0）过点 C，其焦点为 F，则 直线 CF 被抛物线截得的弦长等于 16机械加工是在社会的不断发展进步下，为提高生产水平，减少人工劳动强度而形成的新 的加工工艺方式目前，我国的机械加工正在向着高精度、自动化、智能化的方向不断
9、 发展如图的几何体模型，若沿着平面 PAD 将这个几何体进行激光切割，就会得到中国 古代数学经典九章算术中描述的两个几何体：阳马与鳖臑该书中将底面为长方形 且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之 为鳖臑 已知三棱锥 QPAD 为鳖臑， 且 PQ平面 PAD， PA平面 ABCD， ADAB2， PQ1，该鳖臑的外接球的表面积为 9，则鳖臑的体积为 ；阳马的外接球体积 为 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A、B、C
10、的对边分别为 a、b、c，bcosC 与 ccosB 的等差中项为 acosB （1）求 B； （2）若 a+c6，ABC 的面积 S= 3，求边 b 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，且 1 ;1 = 3 2（n2） （1）求 an及 Sn； （2）已知 bn是 an，an+1的等比中项，求数列 1 2的前 n 项和 Tn 19已知梯形 ABCD 中，BCAD，AD4，BCCD2，E 为 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折起，使得 ABCE （1）证明：AEAC； （2）若梯形 ABCD 中，ADC= 3，折起后ABD= 3，点 A 在平面 BCDE 上的射影点 H 为线段
11、BD 上的一个点，求二面角 BADC 的余弦值 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 e，且经过点 A（2，0） ，B（1，e） （1）求椭圆 C 的方程及其离心率； （2）若直线 l：ykx+k 与椭圆 C 有两个不同的交点 P 和 Q （i）若原点 O 在以 PQ 为直径的圆上，求 k 的值； （ii）若点 P 关于 x 轴的对称点为 P，判断直线 PQ 是否经过 x 轴上的定点，如果经过， 求出该定点坐标；如果不经过，说明理由 21已知函数 f（x）axlnx （1）若 a0，求函数 g（x）= 1 4x 2f（x）的极值点； （2）若 f（x）+ 1 2x
12、30 对 x（1，+）恒成立，求实数 a 的取值范围 22第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛在浙江大学开幕.10 月 15 日，第五届中国 “互联网+”大学生创新创业大赛全国总决赛闭幕在此次全国总决赛中，高教主赛道共 评选出 60 个金奖项目（含 5 个港澳台金奖项目） ， “青年红色筑梦之旅”赛道、职教赛道 和国际赛道各评选出 15 个金奖项目某公司迅速引进其中的两个项目，在甲，乙两个生 产车间进行试验，其中，甲车间只有一条生产线，乙车间有两条生产线，公司在试运营 过程中随机选取了甲车间生产的部分产品，测得相应的综合质量指标值为 t根据国家规 定，综合质量指标值 t90 为优等品；80
13、t90 为合格品；t80 为不合格品甲车间 生产的产品综合质量指标值的频率分布直方图如图 （1）已知每件产品的生产成本与综合质量指标值 t 的关系式为 P（t）0.5t，若优等品 的出售价格为 100 元，合格品的出售价格为 80 元，不合格品需要全部销毁，每件产品的 销毁费用为 20 元，将每件产品的利润用综合质量指标值 t 的函数 Q（t）来表示； （2）根据预测，甲车间生产线成功生产产品的概率为 p，每年可获得利润700 3 万元；乙 车间每条生产线成功生 产产品的概率为1 2 （ep1） ， 每年可获得利润 300 万元， 记每年两个车间的利润之和为 X， 则当 p 为何值时，X 的期
14、望最大？ 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1已知 P1，0，3，5，6，8，Qx|x27x0，则 P（RQ）（ ） A0，3，5，6 B1，0，7，8 C3，5，6 D1，8 先求出集合 Q，再求其补集，结合集合之间的基本关系即可求解 因为 P1，0，3，5，6，8， Qx|x27x0（，07，+） ， RQ（0，7） 则 P（RQ）3，5，6 故选：C 本题主要考查集合之间的基本关系，属于基础题目 2已知复数 z
15、= 3+(1+)2 1 ，则 =（ ） A 1 2 + 5 2i B1 2 5 2i C15i D1+5i 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 z= 3+(1+)2 1 = (3+2)(1+) (1)(1+) = 1+5 2 ，则 = 1 2 5 2i 故选：B 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3 为庆祝中华人民共和国成立 70 周年， 我国于 2019 年 10 月 1 日在北京天安门广场举行了 大型阅兵仪式在此次活动中，共有 15 个徒步方队，32 个装备方队，12 个空中梯队， 官兵约 15000 名通过天安门广场接受党和人民的检
16、阅若按照方队个数进行分层抽样， 从徒步方队与空中梯队中共选出 18 个方队，则选出的空中梯队的个数为（ ） A12 B10 C8 D6 先求出空中梯队所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求 空中梯队所占的比例为 12 15:12 = 4 9， 选出的空中梯队的个数为 18 4 9 =8（个） ， 故选：C 本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题 42019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果” ， 有 5 项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏 920” 、清华大学面向 通用人工智能的异构融合天机芯片” 、 “特斯拉
17、全自动驾驶芯片” 、 寒武纪云端 AI 芯片 “思 元 270“、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台” 若从这 15 项“世界互联网领先科技成 果”中任选 3 项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（ ） A86 91 B 5 91 C24 91 D67 91 利用组合知识直接求出从 15 项“世界互联网领先科技成果”中任选 3 项的选法15 3 和至 少有一项属于“芯片领域”的选法有15 3 10 3 ，求比值即可 从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中任选 3 项的选法有15 3 =455，至少有一项属于 “芯片领域”的选法有15 3 10 3 =335 则所求事件的概率 P=
18、 335 455 = 67 91 故选：D 本题考查间接法和组合数公式的应用，属于基础题 5已知向量 =（1，1） ，| |（ + ） （ 3 ）1，则向量 与 的夹角为（ ） A2 3 B 3 C 4 D3 4 根据平面向量的数量积运算与夹角的运算公式，计算即可 向量 =（1，1） ， 所以| |= 12+(1)2 = 2， 又| |（ + ） （ 3 ）1， 所以 2 2 3 2 =1， 即 22 2 1cos311， 解得 cos= 2 2 ； 又 0， 所以向量 与 的夹角为 = 3 4 故选：D 本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题来源:Zxxk.Com 6已知一圆弧
19、长等于其所在圆的内接正方形的边长，其圆心角为 ，设 a 1 ，b（1 ） ，cln1 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Bbac Cabc Dcab 现根据圆弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，求出圆心角，再根据圆心角求值，比 较大小 设圆直径为 2r，圆内接正方形的边长为2， 因为圆弧长等于其所在圆的内接正方形的边长， 则弧长为2r， 圆心角 = 2 = 2， 因为21， 则 1a 1 ，0b（1 ） 1，cln1 0， 则 abc， 故选：C 本题考查圆心角的性质，以及指数、对数比较大小，属于基础题 7函数 f（x）cosxsin（1 2 3+1）的图象大致为（ ） A B
20、C D 首先判断函数的奇偶性， 可知函数 f （x） 的图象关于原点对称， 排除 AB 选项； 再由 f （1） 0，排除选项 D，进而得出正确选项 () = 31 3+1，则( ) = () 31 3+1 = 13 1+3 = ()， 故函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除 AB； 又(1) = 1 1 20，可排除 D 故选：C 本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题 8已知双曲线 E： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点为 F，O 为坐标原点，M 为 OF 的 中点，若以 FM 为直径的圆与 E 的渐近线相切，则双曲线 E 的离心率为（ ）
21、 A23 3 B32 4 C2 D3 分别求得圆的圆心和半径，以及双曲线的渐近线方程，由直线和圆相切的条件：dr， 化简可得 c，a 的关系，即可得到所求离心率 右焦点为 F（c，0） ，O 为坐标原点，M 为 OF 的中点， 可得 M（ 2，0） ，以 FM 为直径的圆的圆心为（ 3 4c，0） ，半径为 4， 双曲线的渐近线方程为 bxay0， 由题意可得 |3 4| 2:2 = 4， 化为 c3b，即有 c29b29（c2a2） ， 即为 8c29a2，则 e= = 32 4 故选：B 本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力， 属于中档题 二、多项选择
22、题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9我国已成为名副其实的工业大国据统计，在 500 多种主要工业品中，我国有 220 多种 产品产量居全球第一位，工业化的大规模推进也消耗了大量的资源和能源为加快推进 工业节能与绿色发展，工业和信息化部及国家开发银行联合发布了关于加快推进工业 节能与绿色发展的通知 ，大力支持工业节能降耗、降本增效，实现绿色发展
23、如表是某 国企利用新科技进行节能降耗技术改造后连续五年的生产利润统计表： 年号 1 2 3 4 5 年生产利润 y（单位：千 万元） 0.7 0.8 1 1.1 1.4 则下列说法正确的是（ ） （参考公式及数据： ： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ； = ， 5 1（xi） （yi）1.7， 5 1 2 n2=10） A这五年生产利润的方差为 0.06 B每年的年生产利润比前一年大约增长 0.49 千万元 C预测 2020 年该国企的年生产利润为 1.68 千万元 D要使年生产利润突破 2 千万元，至少要等到 2022 年 由表中数据计算、，求出对应 s2，判断 A
24、 正确； 计算 、 ，写出 y 关于 x 的线性回归方程，判断 B 正确； 题目中具体年份没有说明，C、D 选项无法确定正误 由表中数据，计算 = 1 5 （1+2+3+4+5）3， = 1 5 （0.7+0.8+1+1.1+1.4）1， s2= 1 5 （0.3）2+（0.2）2+02+0.12+0.420.06，所以 A 正确； 计算 = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 = 1.7 10 =0.17， 所以每年的年生产利润比前一年大约增长 0.49 千万元，B 正确； 计算 = =10.1730.49， y 关于 x 的线性回归方程为 =0.17x+0.49； 题目中具
25、体年份没有说明，所以 C、D 选项无法确定正误 故选：AB 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了方差的计算问题，是基础题 10下列说法正确的是（ ） A命题 p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2 B已知 2cos+3cos = 5，2sin+3sin23，则 cos（）= 1 3 C “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 D若二项式（x 1 ） 6（a0）的展开式中的常数项为15 16，则 a2 由全称命题的否定得 A 错；三角函数的运算得 B 错；特殊值检验 C 错；二项式的通项公 式计算 D 对 A 错，命题 p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2 B 对，由 2co
26、s+3sin= 5，2sin+3cos23，两式平方相加得 cos（）= 1 3； C 错，当 c0 时， “a3b3“不是“ac2bc2“的充分条件； D 对，由通项公式计算可得常数项是第 5 项，即 C 6 4（1 ） 4=15 16，又 a0，则 a2 故选：BD 本题结合三角函数，二项式定理，充要条件等知识考查了命题的真假判断与应用，是中 档题 11如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的侧面是边长为 2 的正方形 D、E 分别是 BB1、AC 的中 点，则下列结论成立的是（ ） A直线 A1D 与直线 BC 是异面直线 B直线 BE 与平面 A1CD 不平行 C直线 AC 与直线 A1D
27、 所成角的余弦值等于 5 5 D直线 CD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值等于 10 5 在 A 中， 由异面直线判定定理得直线 A1D 与直线 BC 是异面直线； 在 B 中， 正三棱锥 ABC A1B1C1的的所有棱长都为 2，BE平面 ACC1A1，取 A1C1中点 F，以 F 为坐标原点， 直线 EA、EF、EB 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 BE平面 A1CD；在 C 中，由 =（2，0，0） ，1 =（1，1，3） ，利用向量 法能求出直线 AC 与直线 A1D 所成角的余弦值； 在 D 中， 由 = （1， 1， 3） ， 平面 AA
28、1C1C 的法向量 =（0，0，1） ，利用向量法能求出直线 CD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值 在 A 中，BC平面 BCC1B1，A1D平面 BCC1B1D，DBC， 由异面直线判定定理得直线 A1D 与直线 BC 是异面直线，故 A 正确； 在 B 中，由题意知正三棱锥 ABCA1B1C1的的所有棱长都为 2， ABC 是边长为 2 的正三角形，且 AEEC， BEAC，且 BE= 3 2 AC= 3， 平面 ABC平面 ACC1A1，平面 ABC平面 ACC1A1AC， BE平面 ACC1A1， 取 A1C1中点 F，连结 EF，则在正方形 ACC1A1中，EFAC， 以 F
29、为坐标原点，直线 EA、EF、EB 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图， 则 E（0，0，0） ，B（0，0，3） ，C（1，0，0） ，A（1，0，0） ，A1（1，2，0） ，C1 （1，2，0） ，D（0，1，3） ， 则 =（0，0，3） ，1 =（2，2，0） ，1 =（2，2，0） ， =（1，1，3） ， = 1 21 + ， 根据向量共面定理，可知 与1 、 共面， 1 =C，EB平面 A1CD， BE平面 A1CD，故 B 错误； 在 C 中， =（2，0，0） ，1 =（1，1，3） ， 直线 AC 与直线 A1D 所成角的余弦值为： |cos ，1
30、 |= | 1 | | |1 | = 2 25 = 5 5 ，故 C 正确； 在 D 中， =（1，1，3） ，平面 AA1C1C 的法向量 =（0，0，1） ， 设直线 CD 与平面 AA1C1C 所成角为 ， 则直线 CD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为： sin= | | | | | = 3 5 = 15 5 ，故 D 错误 故选：AC 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题 12已知函数 f（x）sinx3cosx（04）满足 f（x+）f（x） ，其图象向左平移 m 个单位后，所得图象对应的函数 yg（x）在 6
31、， 6上单调递增，则下列判断正确的 是（ ） A1 B函数 f（x）的图象关于直线 x= 12对称 C正整数 m 的值可以为 7 D正整数 m 的最小值为 6 根据题意求出函数 f（x）的解析式，判断选项 A 错误、B 正确；再根据图象平移得出函 数 yg（x） ，再判断 C 正确，D 错误 函数 f（x）sinx3cosx2sin（x 3） ， 满足 f（x+）f（x） ，所以 2sin（x+ 3）2sin（x 3） ， 令 2k，kZ； 解得 2k，kZ； 又 04，所以 2，选项 A 错误； 所以 f（x）2sin（2x 3） ，且 f（ 12）2sn（ 6 3）2， 所以 x= 12是
32、函数 f（x）图象的对称轴，B 正确； 其图象向左平移 m 个单位后，得 y2sin（2x+2m 3）的图象， 即函数 yg（x）2sin（2x+2m 3） ， x 6， 6时，2x 3， 3，2x+2m 32m 2 3 ，2m； 令2 2 3 2 2 2 2 + 2 ，解得 k+ 6 mk+ 4，kZ； k1 时，3.6 7 6 m 5 4 3.9， k2 时，6.8 13 6 m 9 4 7.07， 所以正整数 m 的值可以为 7，且为最小正正数； 所以 C 正确，D 错误 故选：BC 本题考查了命题真假的判定方法以及三角函数的图象与性质， 也考查了推理与计算能力， 是中档题 三、填空题（
33、本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13函数 f（x）= + 在点 P（1，f（1） ）处的切线与 g（x）x3x 在点 Q（1，g（1） ） 处的切线相互垂直，则 a 1+ 2 先求出 g（x）在 Q 点处的切线斜率，然后再代入 f（x）在 x1 处的导数，即可求出 a 的值 g（x）3x21，g（1）2(1) = 1 2 () = 1 (+) ，(1) = 1 = 1 2 = 1 + 2 故答案为：1+ 2 本题考查导数的几何意义和两直线垂直的关系，属于基础题 14若正数 1.6，2.3，5.1，a，b 的平均数为 3，则1 + 1 的
34、最小值为 4 9 先根据条件求得 a+b9，再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 正数 1.6，2.3，5.1，a，b 的平均数为 3； a+b151.62.35.19； 1 + 1 = 1 9（ 1 + 1 ） （a+b）= 1 9（2+ + ） 1 9（2+2 ）= 4 9； 当且仅当 ab 时等号成立； 故答案为：4 9 本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题 15已知圆 C：x2+y24x4y+40，抛物线 E：y22px（p0）过点 C，其焦点为 F，则 直线 CF 被抛物线截得的弦长等于 25 8 先将圆的一般方程化为标准方程，从而得到圆心 C 的坐标，进
35、而可得到抛物线的方程和 焦点 F 坐标，再由 C 和 F 两点的坐标求得直线 CF 的方程，将其与抛物线的方程联立解 出 x1，x2，最后利用抛物线的定义即可求得弦长 圆 C 的标准方程为（x2）2+（y2）24，圆心 C 为（2，2） ，半径为 2， 抛物线 E：y22px 过点 C，222p2，解得 p1， 抛物线的方程为 y22x，焦点 F 的坐标为(1 2，0)， 由 C（2，2） ，F(1 2，0)可知，直线 CF 的方程为 = 4 3 ( 1 2)， 来源:Zxxk.Com 联立 = 4 3 ( 1 2) 2= 2 得 8x217x+20，解得1= 2，2= 1 8， 由抛物线的定
36、义可知，所求的弦长为1+ 2+ = 2 + 1 8 + 1 = 25 8 ， 故答案为：25 8 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的数形结合能力和运 算能力，属于基础题 16机械加工是在社会的不断发展进步下，为提高生产水平，减少人工劳动强度而形成的新 的加工工艺方式目前，我国的机械加工正在向着高精度、自动化、智能化的方向不断 发展如图的几何体模型，若沿着平面 PAD 将这个几何体进行激光切割，就会得到中国 古代数学经典九章算术中描述的两个几何体：阳马与鳖臑该书中将底面为长方形 且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之 为鳖臑 已知三
37、棱锥 QPAD 为鳖臑， 且 PQ平面 PAD， PA平面 ABCD， ADAB2， PQ1，该鳖臑的外接球的表面积为 9，则鳖臑的体积为 2 3 ；阳马的外接球体积为 43 由题意将这两个几何体放在长方体中由长方体的对角线为外接球的直径可得 AP 的值， 进 而求出鳖臑的体积，阳马的外接球体积 将这个几何体放在长方体中，如图所示， 由题意设鳖臑的外接球的半径为 R， 则 94R2， 所以 R2= 9 4， 而 （2R） 2AD2+AP2+QP2 4+AP2+1，所以可得 AP24，即 AP2， 所以鳖臑的体积为 V= 1 3SAPDQP= 1 3 1 2221= 2 3； 设阳马的外接球的版
38、块为 R，则（2R）2AD2+AB2+AP222+22+22，所以 R= 3， 所以阳马的外接球体积为 V= 4 3 3= 4 3 33 =43， 故答案分别为：2 3，43 本题考查三棱锥， 四棱锥的外接球的半径与棱长的关系及球的体积， 表面积公式的应用， 属于中档题 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，bcosC 与 ccosB 的等差中项为 acosB （1）求 B； （2）若 a+c6，ABC 的面积 S= 3
39、，求边 b （1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 cosB，进而可求 B； （2）由已知结合三角形的面积公式可求 AC，然后结合余弦定理即可求解 （1）由题意可得，bcosC+ccosB2acosB， 由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB2sinAcosB， 即 sin（B+C）sinA2sinAcosB，来源:Z。xx。k.Com 所以 cosB= 1 2， 所以 B= 1 3； （2）又 S= 3 4 = 3， 所以 ac4， 由余弦定理可得，1 2 = 2:2;2 2 = 36;2;2 2 ， 解可得，b26 本题主要考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理及三角形
40、的面积公式在求解三角形中 的应用，属于中档试题 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，且 1 ;1 = 3 2（n2） （1）求 an及 Sn； （2）已知 bn是 an，an+1的等比中项，求数列 1 2的前 n 项和 Tn （1）由已知可得数列 是以3 2为公差的等差数列，求出首项，由等差数列的通项公式 可得 Sn，再由 anSnSn1（n2）求 an； （2）由等比数列的性质可得2，然后利用裂项相消法求数列 1 2的前 n 项和 Tn （1）由 1 ;1 = 3 2（n2） ，得数列 是以3 2为公差的等差数列， 又1 1 = 1 1 = 2， = 2 + 3 2 ( 1) =
41、 3 2 + 1 2， 则= 3 2 2+ 1 2 ； = ;1= 3 2 2+ 1 2 3 2 ( 1)2+ 1 2( 1) =3n1（n2） 验证 a12 适合上式， an3n1； （2）由 bn是 an，an+1的等比中项，得2= :1=（3n1） （3n+2） 1 2 = 1 (3;1)(3:2) = 1 3 ( 1 3;1 1 3:2) = 1 3( 1 2 1 5 + 1 5 1 8 + + 1 31 1 3+2) = 1 3 (1 2 1 3+2) 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，训练了裂项相消法求数列的前 n 项和，是中 档题 19已知梯形 ABCD 中，BCAD，A
42、D4，BCCD2，E 为 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折起，使得 ABCE （1）证明：AEAC； （2）若梯形 ABCD 中，ADC= 3，折起后ABD= 3，点 A 在平面 BCDE 上的射影点 H 为线段 BD 上的一个点，求二面角 BADC 的余弦值 （1）由已知可得四边形 BCDE 是菱形，可得 BDCE，沿 BE 将ABE 折起，使得 AB CE利用线面垂直判定定理可得 CE平面 ABD，可得 AOCE，即可证明结论 （2）梯形 ABCD 中，ADC= 3，可得四边形 ABCE 是菱形过点 H 作 HMOC，交 BC 于点 M 可得 HB、 HM、 HA 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系 设平面 ADC
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