1、已知函数 f（x）logax+xb（a0，且 a1） 当 2a3b4 时，函数 f（x） 的零点 x0（n，n+1） ，nN*，则 n 8 （3 分）已知 a，b 是函数 f（x）x2mx+n（m0，n0）的两个不同的零点，且 a，b， 4 这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 则 m+n 9 （3 分）若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象 对应的函数为偶函数，则 的最小值是 10 （3 分）若数列an满足 a110，an+1an+18n+10（nN*） ，记x表示不超过实数 x 的 最大整数，则 11 （3 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有
2、这样一列数：1，1， 2，3，5，8，13，21，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来 人们把这样的一列数组成的数列an称为 “斐波那契数列” ， 那么（n 3） ，是斐波那契数列的第 项 12 （3 分）已知数列an满足 annkn（nN*，0k1） ，下面命题： 当 k时，数列an为递减数列； 第 2 页（共 20 页） 当k1 时，数列an不一定有最大项； 当 0k时，数列an为递减数列； 当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项 其中正确命题的序号是 二二.选择题选择题 13 （3 分）若 x0，则函数的最小值为（ ） A B C D 14 （3 分） 设等差数列an
3、的前 n 项和为 Sn， 且满足 S190， S200， 则， ， 中最大项为（ ） A B C D 15 （3 分）已知ABC 中，AB2，则ABC 的面积的最大值为 （ ） A2 B2 C2 D 16 （3 分）设 、 、 为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 与 不共线， ，则的值一定等于（ ） A以 、 为两边的三角形面积 B以 、 为邻边的平行四边形的面积 C以 、 为两边的三角形面积 D以 、 为邻边的平行四边形的面积 三三.解答题解答题 17已知 A|2cos23cos+10，R，B|2sin1，R， （1）求集合 AB； （2）若对任意 xAB，都有恒成立，求 m
4、第 3 页（共 20 页） 的取值范围 18已知数列an 的前 n 项和，bn是等差数列，且 anbn+bn+1； （1）求数列bn的通项公式； （2）求的最大项的值，并指出是第几项 19 某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张， 其中燃油型汽车牌照 10 万张， 电动型汽车 2 万张 为 了节能减排和控制总量，从 2013 年开始，每年电动型汽车牌照按 50%增长，而燃油型汽 车牌照每一年比上一年减少 0.5 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张，以后 每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变 （1）记 2013 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an
5、，每年发放的电 动型汽车牌照数为构成数列bn，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； a110 a29.5 a3 a4 b12 b2 b3 b4 （2）从 2013 年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过 200 万张？ 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 S20，2Sn+nnan（nN*） （1）计算 a1，a2，a3，a4，并求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足 b1+3b2+5b3+（2n1）bn2nan+3，求证：数列bn是等比数 列； （3）由数列an的项组成一个新数列cn：c1a1，c2a2+a3，c3a4+a5+a6+a7， cn+， 设Tn为数列cn的
6、前n项和， 试求 的值 21已知集合 M 是具有下列性质的函数 f（x）的全体，存在有序实数对（m，n） ，使 f（m+x） f（mx）n 对定义域内任意实数 x 都成立 （1）判断函数 f（x）2x，g（x）2x是否属于集合 M，并说明理由； （2）若函数（ab0，a、b 为常数）具有反函数，且存在实数对（0，k） 使 f（x）M，求实数 a、b 满足的关系式； （3） 若定义域为 R 的函数 f （x） M， 存在满足条件的实数对 （0， 1） 和 （1， 4） ， 当 x0， 1时，f（x）值域为1，2，求当 x0，2019时函数 f（x）的值域 第 4 页（共 20 页） 第 5 页（
7、共 20 页） 2019-2020 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）学年上海市闵行区七宝中学高二（上）9 月月考数学月月考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分） “x0”是“xa”的充分非必要条件，则 a 的取值范围是 （0，+） 【分析】根据充分必要条件的定义求出 a 的范围即可 【解答】解：若“x0”是“xa”的充分非必要条件， 则 a 的取值范围是（0，+） ， 故答案为： （0，+） 【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题 2 （3 分）函数 f（x）lg（x3）+的定义域是 （3，+） 【分析】结合对数函数
8、的性质以及指数幂的性质得到不等式组，从而求出函数的定义域 【解答】解：由题意得： ，解得：x3， 故答案为： （3，+） ； 【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数以及指数幂的性质，是一道基础 题 3 （3 分）已知向量，则向量 在向量 方向上的投影为 【分析】根据向量的坐标即可求出，从而根据投影的计算公式 即可得出向量 在 方向上的投影 【解答】解：， 向量 在向量 方向上的投影为： 故答案为： 第 6 页（共 20 页） 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法，投影的 计算公式，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题 4 （3 分）已知点 P
9、 是直线 P1P2上一点，且，若，则实数 【分析】本题可根据向量的线性运算及数乘可得出结果 【解答】解：由题意， （+）（+） 故答案为： 【点评】本题主要考查向量的线性运算及数乘运算能力本题属基础题 5 （3 分）已知向量 、 满足，且它们的夹角为 120，则向量与 向量 夹角的大小为 【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求出向量与向量 夹角的余弦值，再根 据反余弦函数的定义，求出这个夹角 【解答】解：向量 、 满足，且它们的夹角为 120， 12cos1201 设向量与向量夹角的大小为 ，0，2，则 cos ， arccos（）arccos， 故答案为：arccos 【点评】本题主要考查
10、两个向量的夹角公式，反余弦函数的定义，属于中档题 6 （3 分）已知正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，则 + 【分析】本题根据题意画出图形，然后将所有向量都用基底向量，表示出来，再根 第 7 页（共 20 页） 据等式即可得到系数相等，从而解出 和 的值，得出结果 【解答】解：根据题意画图如下： 由图，+， +， +（+）+（） （）+（+）， ，解得 + 故答案为： 【点评】本题主要考查建立基底向量然后进行线性表示的数学能力，根据系数一致进行 计算的能力本题属基础题 7 （3 分）已知函数 f（x）logax+xb（a0，且 a1） 当 2a3b4 时，函数 f（x） 的零点 x0
11、（n，n+1） ，nN*，则 n 2 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的 a，b 的值，可以判断 两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到 n 的值 【解答】解：设函数 ylogax，mx+b 根据 2a3b4， 对于函数 ylogax 在 x2 时，一定得到一个值小于 1， 在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间， 函数 f（x）的零点 x0（n，n+1）时，n2， 第 8 页（共 20 页） 故答案为：2 【点评】本题考查函数零点的判定定理，是一个基本初等函数的图象的应用，这种问题 一般应用数形结合思想来解决 8 （
12、3 分）已知 a，b 是函数 f（x）x2mx+n（m0，n0）的两个不同的零点，且 a，b， 4 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 m+n 26 【分析】根据 a，b 是函数 f（x）的两个不同的零点，和方程根与系数的关系，利用判别 式0，等差与等比数列，求出 m，n 的值，即可得出 m+n 的值 【解答】解：a，b 是函数 f（x）x2mx+n（m0，n0）的两个不同的零点， a+bm，abn，且m24n0； 不妨设 ab， 由于 a，b，4 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 4，a，b 或 b，a，4 成等差数列，a，4，b 或 b，
13、4，a 成等比数列， b42a，ab（4）2， 解得 a2，b8 m10，n16， 满足0； 则 m+n26 故答案为：26 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系 数的关系，也考查了推理能力与计算能力，是综合性题目 9 （3 分）若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象 第 9 页（共 20 页） 对应的函数为偶函数，则 的最小值是 【分析】由三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性得：g（x）cos（x+） ， 因为 g（x）为偶函数，所以k，kZ，由 0，所以 的最小值为，得 解 【解答】解：将函数的图象向左平移个单位后，所得 图象对应的函数为 g（x）
14、cos（x+）cos（x+） ， 因为 g（x）为偶函数， 所以k，kZ， 由 0， 所以 的最小值为， 故答案为： 【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题 10 （3 分）若数列an满足 a110，an+1an+18n+10（nN*） ，记x表示不超过实数 x 的 最大整数，则 【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入求 得答案 【解答】解：由 an+1an+18n+10，得 a110， 又 a110， a2a1181+10， a3a2182+10， anan118（n1）+10， 累加得：ana1+181+2+（n1）+10（n1）10n+189n
15、2+n 3n 第 10 页（共 20 页） 则 故答案为： 【点评】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题 11 （3 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5，8，13，21，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来 人们把这样的一列数组成的数列an称为 “斐波那契数列” ， 那么（n 3） ，是斐波那契数列的第 n+1 项 【分析】利用 an+2an+1+an，结合叠加法，即可得出结论 【解答】解：an+2an+1+an， anan+1an2+an1an， an1anan12+an2an1， a3a2a22+a
16、2a1， anan+1an2+an12+a22+a12， an+1， 故答案为：n+1 【点评】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题 12 （3 分）已知数列an满足 annkn（nN*，0k1） ，下面命题： 当 k时，数列an为递减数列； 当k1 时，数列an不一定有最大项； 当 0k时，数列an为递减数列； 当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项 其中正确命题的序号是 【分析】当时，作差 anan+10，n1 时取等号，a1a2，即可 判断出单调性 第 11 页（共 20 页） 当时，作商，由于1+2k，即可判断 出结论 当时，作商，即可得出数列an的单调
17、性 当为正整数时，1， 当 k时， 因此数列an 必有两项相等的最大项 【解答】解：当时，ann，则 anan+1n（n+1） 0，n1 时取等号，因此数列an不是递减数列，不正确； 当时，1+2k， 因此数列an一定有最大项，不正确； 当时，1，anan+1，因此数列 an是递减数列，正确； 当为正整数时，1，当 k时，数列an 必有两项相等的最大项，正确 综上可得：只有正确 故答案为： 【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计 算能力，属于中档题 二二.选择题选择题 13 （3 分）若 x0，则函数的最小值为（ ） A B C D 【分析】构造思想，函数
18、 yx+变形为 y（x+）+（），利用基本不 第 12 页（共 20 页） 等式的性质即可得出 【解答】解：x0， 函数 yx+（x+）+（）2，当且仅当 x时 取等号 函数 yx+的最小值为 故选：B 【点评】本题考查了构造思想，基本不等式的性质的运用，属于基础题 14 （3 分） 设等差数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 S190， S200， 则， ， 中最大项为（ ） A B C D 【分析】由等差数列的前 n 项和的公式分别表示出 S190，S200，然后再分别利用等 差数列的性质得到 a10大于 0 且 a11小于 0，得到此数列为递减数列，前 10 项为正，11 项及 11
19、 项以后为负，由已知的不等式得到数列的前 1 项和，前 2 项的和，前 19 项 的和为正，前 20 项的和，前 21 项的和，的和为负，所以得到 b11及以后的各项都为 负，即可得到 b10为最大项，即可得到 n 的值 【解答】解：由 S1919a100，得到 a100； 由 S2010（a10+a11）0，得到 a110， 等差数列an为递减数列 则 a1，a2，a10为正，a11，a12，为负；S1，S2，S19为正，S20，S21，为负， 则0，0，0， 又 S10S10，a1a100，得到0，则最大 故选：C 第 13 页（共 20 页） 【点评】此题考查了等差数列的前 n 项和公式
20、，等差数列的性质，以及数列的函数特性， 数熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键 15 （3 分）已知ABC 中，AB2，则ABC 的面积的最大值为 （ ） A2 B2 C2 D 【分析】设 BCa，则 ACa，利用余弦定理可求得 cos2B+，再利用三 角形的面积公式可求得 SABCasinB，继而可求 SABC2（a212）2+8，从而可 得ABC 面积的最大值 【解答】解：依题意，设 BCa，则 ACa，又 AB2， 由余弦定理得： （a）2a2+AB22aABcosB， 即 a2+4acosB40， cosB， cos2B+， sin2B1cos2B SABCABBCsinB2
21、asinBasinB， S2ABCa2sin2Ba2（） +a21（a424a2） 1 （a212）2+8， 当 a212，即 a2时，2、2、2能组成三角形， S2max8， Smax2 故选：A 【点评】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法， 求得 S2ABC（a212）2+8 是关键，也是难点，属于难题 16 （3 分）设 、 、 为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 与 不共线， 第 14 页（共 20 页） ，则的值一定等于（ ） A以 、 为两边的三角形面积 B以 、 为邻边的平行四边形的面积 C以 、 为两边的三角形面积 D以 、 为邻
22、边的平行四边形的面积 【分析】由题意可以画出图形：记，由于这三向量的起点相同， 且满足 与 不共线，利用向量的内积及图形可以求得 【解答】解：由题意可以画出图形：记，记 因为这三向量的起点相同，且满足 与 不共线，利用向量的内积 定义，所以|OB|OC|cos|， 又由于，所以|OB|OC|sin|S四边形OBDC 故选：B 【点评】此题考查了利用图形分析题意的数形结合的能力，向量的内积，三角形的面积 公式 三三.解答题解答题 17已知 A|2cos23cos+10，R，B|2sin1，R， （1）求集合 AB； （2）若对任意 xAB，都有恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）分别求出
23、关于 A、B 中的 的范围，从而求出 AB， （2）问题转化为对任 意 xAB，都有 m（cosx）2恒成立，求出即可 【解答】解（1）A|2cos23cos+10，R 第 15 页（共 20 页） |（2cos1） （cos1）0，R |cos1，R |2k2k+，R， B|2sin1，R|sin0|2k2k+， AB|2k2k+，kZ， （2）由 cos2x4sin（+）cos（+）+m0 cos2x2sin（+x）+m0 cos2x2cosx+m0 2cos2x12cosx+m0 m2（cosx）2 若对任意 xAB，都有恒成立， 即对任意 xAB，都有 m2（cosx）2恒成立， x（
24、2k，2k+，cosx，1） ， 02（cosx）2， m 【点评】本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是 一道中档题 18已知数列an 的前 n 项和，bn是等差数列，且 anbn+bn+1； （1）求数列bn的通项公式； （2）求的最大项的值，并指出是第几项 【分析】 （1）运用 n1，a1S1；当 n2 时，anSnSn1，可得 an，再由等差数列的 通项公式可得 bn的通项或由 n1，n2，解方程可得 bn的通项； （2）求出 cn，变形，运用 n4 时，cn递减，且 n1，2，3 均为负的，即可得到所求最 第 16 页（共 20 页） 大值 【解答】解：
25、 （1）当 n1 时，a1S13+811， 当 n2 时， 又 an6n+5 对 n1 也成立， 所以 an6n+5 又因为bn是等差数列，设首项为 b1，公差为 d， 则由 anbn+bn+1得：6n+5（2d）n+（2b1d） ，且该等式恒成立， 所以：，所以，所以 bn3n+1； 法二：当 n1 时，2b111d；当 n2 时，2b217d， 相减可得 d3，所以数列bn的通项公式为 （2）， 由 n4 时，cn递减，且 c4；又 c10，c20，c30， 所以当 n4 的时候取得最大值 【点评】本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式和等差数列通项公式，考查数 列中的最大值，注意运用
26、数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题 19 某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张， 其中燃油型汽车牌照 10 万张， 电动型汽车 2 万张 为 了节能减排和控制总量，从 2013 年开始，每年电动型汽车牌照按 50%增长，而燃油型汽 车牌照每一年比上一年减少 0.5 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张，以后 每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变 （1）记 2013 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an，每年发放的电 动型汽车牌照数为构成数列bn，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； a110 a29.5 a3 9 a4 8.5
27、 b12 b2 3 b3 4.5 b4 6.75 （2）从 2013 年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过 200 万张？ 【分析】 （1）利用从 2013 年开始，每年电动型汽车牌照按 50%增长，而燃油型汽车牌照 每一年比上一年减少 0.5 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张，以后每一年 第 17 页（共 20 页） 发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列 的通项公式； （2） 利用等差数列与等比数列的求和公式， 可得n2+17n200， 即可得出结论 【解答】解： （1） a110 a29.5 a39 a48.5 b12 b23
28、 b34.5 b46.75 （2 分） 当 1n20 且 nN*，an10+（n1）（0.5）0.5n+10.5； 当 n21 且 nN*，an0 an（5 分） 而 a4+b415.2515 bn，（8 分） （2）当 n4 时，Sna1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b453.25 当5 n 21时 ， Sn （ a1+a2+ +an） + （ b1+b2+b3+b4+b5+ +bn） 10n+6.75（n4） n2+17n（11 分） 由 Sn200 得n2+17n200，即 n268n+8430，得 34n21 （13 分） 到 2029 年累积发放汽车牌照超过 200 万张（1
29、4 分） 【点评】本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考 查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 S20，2Sn+nnan（nN*） （1）计算 a1，a2，a3，a4，并求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足 b1+3b2+5b3+（2n1）bn2nan+3，求证：数列bn是等比数 列； 第 18 页（共 20 页） （3）由数列an的项组成一个新数列cn：c1a1，c2a2+a3，c3a4+a5+a6+a7， cn+， 设Tn为数列cn的前n项和， 试求 的值 【分析】 （1）通过计算出前几项的值，猜想通项公式，
30、进而利用数学归纳法证明； （2）通过 b1+3b2+5b3+（2n1）bn2nan+3 与 b1+3b2+5b3+（2n3）bn12n 1a n1+3 作差，进而计算即得结论； （3）通过（2） ，利用分组法求和，进而计算可得结论 【解答】 （1）解：当 n1 时，由 2S1+1a1，得 a11； 由 S2a1+a20，得 a21； 当 n3 时，由 2S3+32a3+33a3，得 a33； 当 n4 时，由 2S4+42a4+104a4，得 a45； 猜想：an2n3（nN*） 下面用数学归纳法证明： 当 n2 时，a21，结论显然成立； 假设当 nk2 时，ak2k3， 由条件知 2Snn
31、ann， 故 2ak+12Sk+12Sk （k+1）ak+1（k+1）（kakk） （k+1）ak+1kak1， 于是（k1）ak+1kak+1k（2k3）+1（k1） （2k1） ， 从而 ak+12（k+1）3， 故数列an的通项公式为：an2n3（nN*） ； （2）证明：当 n1 时，b12a1+31，当 n2 时，由条件得 （2n1）bnb1+3b2+5b3+（2n3）bn1+（2n1）bnb1+3b2+5b3+（2n3） bn1 （2nan+3）（2n 1a n1+3）2n（2n3）2n 1（2n5）2n1（2n1）（8 分） 从而 bn2n 1， 故数列bn是以 1 为首项，2
32、为公比的等比数列； 第 19 页（共 20 页） （3）解：由题意，得 cn+ （22n 13）+（22n11）+（22n1+1）+（22n7）+（22n5） （12 分） 故 Tn（4+42+4n）（22+23+2n+1） 4n42n+3， 从而（16 分） 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累， 属于中档题 21已知集合 M 是具有下列性质的函数 f（x）的全体，存在有序实数对（m，n） ，使 f（m+x） f（mx）n 对定义域内任意实数 x 都成立 （1）判断函数 f（x）2x，g（x）2x是否属于集合 M，并说明理由； （2）若函数（ab0，
33、a、b 为常数）具有反函数，且存在实数对（0，k） 使 f（x）M，求实数 a、b 满足的关系式； （3） 若定义域为 R 的函数 f （x） M， 存在满足条件的实数对 （0， 1） 和 （1， 4） ， 当 x0， 1时，f（x）值域为1，2，求当 x0，2019时函数 f（x）的值域 【分析】 （1）根据已知中集合 M 的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论； （2）假定 f（x）M，求出的 a，b 的关系； （3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立将 x 用 2+x 代替，两等式结合得到函数的 递推关系；用不完全归纳的方法求出值域 【解答】解： （1）当 f（x）2x 时，f
34、（mx） f（m+x）2（mx） 2（m+x）4（m2 x2）不是常数，所以 f（x）2xM； 当 g（x）2x时，g（m+x） g（mx）2m+x2m x2m+x+mx22m，故存在实数（0， 1） ，使得 f（0+x） f（0x）1 对定义域内的任意实数都成立故 g（x）M （2）因为 f（x）M，所以 f（m+x） f（mx） 第 20 页（共 20 页） n 对定义域内的任意实数都成立， （m+a）2（m）2， a 当 a时，f（x）b，此时 f（x）无反函数， 当 a时，f（x）存在反函数符合题意 故 ab1 （3）依题意得 f（x）f（x）1 且 f（1+x）f（1x）4， 在 f
35、（1+x）f（1x）4 中令 xx1 得 f（x）f（2x）4， 当 x1，2时，2x0，1，f（x）2，4， x0，2时，f（x）1，4， 又由 f（x） f（x）1 得 f（x），故，即 4f（x）f（2 x） ，则有 f（2+x）4（x） ， x2，4时，f（x）4，16， x4，8时，f（x）16，64， 以此类推可知：x2k，2k+2时，f（x）22k，22k+2， 故 x2016，2018时，f（x）22016，22018， 综上所述：x0，2019时，f（x）1，22019 【点评】本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义 得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论
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