1、在ABC 中，A60，M 是 AB 的中点，若|AB|2，|BC|2，D 在线段 AC 上运动，则的最小值为 10 （3 分）已知函数，其图象的最高点从左到右依次 记为 A1，A2，A3，A2019，其图象与 x 轴的交点从左到右依次记为 B1，B2，B3， B2019，则 第 2 页（共 21 页） 11 （3 分）设，O 为坐标原点，An是函数图象上横坐标为 n（nN*） 的点，向量和的夹角为 n，则满足 tan1+tan2+tan3+tann的最 大正整数是 12（3 分） 已知 O 是三角形 ABC 的外心， AB2， AC1， BAC120 若， 则 mn 二、选择题（本大题共有二、
2、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得分）每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否分，否 则一律得零分则一律得零分. 13 （5 分）若从平行四边形 ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点，得到的向量中 有 n（nN*）个是两两不相等的，则 n 的最大值是（ ） A6 B8 C10 D12 14（5 分） 任意四边形 ABCD 内有一点 O 满足， 则 O 点的位置是 （ ） A对角线的交点 B对边中点连线的交点 CBD 的点 DAC 的中点 15 （5 分）已知向量（2，0） ，向量（2，2） ，向量（cos，sin） ， 则向量与向量
3、的夹角范围为（ ） A0， B， C， D， 16 （5 分）三角形 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于 D，M，若，AB 2，则 AC（ ） A3 B4 C5 D6 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 0 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤. 17用行列式讨论关于 x，y 的方程组的解的情况 18在ABC 中， 第 3 页（共 21 页） （1）求 AB 边的长度； （2）求的值 19已知两点 M（1，0） ，N（1，0） ，且点 P（x，y）使，成公
4、 差小于零的等差数列 （1）求 x 与 y 满足的关系式，并写出 x 的取值范围； （2）记 为，的夹角，求 tan 的取值范围 20如图，点 Q 在第一象限，点 F 在 x 轴正半轴上，OFQ 的面积为 S，和的夹角为 ， （1）求 S 关于 的解析式； （2）设，求点 Q 的坐标； （3）在（2）的条件下，若，求的最小值和此时点 Q 的坐标 21平面直角坐标系中，射线 yx（x0）和 y2x（x0）上分别依次有点 A1，A2， An， 和点 B1， B2， ， Bn， ， 其中 A1（1， 1） ， B1（1， 2） ， B2（2， 4） ， 且， （n2，3，4，） （1）用 n 表示及
5、点 An的坐标； （2）用 n 表示及点 Bn的坐标； （3）求四边形 AnAn+1Bn+1Bn的面积关于 n 的表达式 Sn，并求 Sn的最大值 第 4 页（共 21 页） 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10 月月考数学月月考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，满分题，满分 36 分）只要求直接填写结果，第分）只要求直接填写结果，第 16 题每个空格填对题每个空格填对 得得 4 分，第分，第 712 题每个空格填对得题每个空格填对得 5
6、分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 1 （3 分）三阶行列式中，元素 4 的代数余子式的值为 6 【分析】利用代数余子式的定义直接求解 【解答】解：三阶行列式中，元素 4 的代数余子式的值为： （1）3（1824）6 故答案为：6 【点评】本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 2 （3 分）计算 【分析】直接用矩阵相乘公式代入求解 【解答】解：， 故答案为： 【点评】本题考查矩阵相乘，属于基础题 3（3 分） 已知向量不超过 5， 则 k 的取值范围是 6，2 【分析】根据向量模的计算公式，列出一个关于 K 不等式，解不等式，即
7、可求出 K 的取 值范围 【解答】 解： 5 6k2 第 6 页（共 21 页） 故答案为：6，2 【点评】求常用的方法有：若已知，则；若已知表 示 的有向线段的两端点 A、B 坐标，则|AB| 构造关于的方程，解方程求 4 （3 分）若，且，则向量 与 的夹角为 【分析】根据向量，得到，然后求出，利用数量积的应用求向量夹角 即可 【解答】解：，且， ， 即（）， 1+， 解得11， 设向量 与 的夹角为 ，则 cos， 0， 故答案为： 【点评】本题主要考查数量积的应用，要求熟练掌握数量积的应用，比较基础 5 （3 分）已知，若 ， ， 可构成三角形，则 m 7 【分析】由所给三个向量可构成
8、三角形，得 + ，由此列式可求 m 的范围 【解答】解：， ， ， 可构成三角形； 与 不共线， 与 不共线， + ； 第 7 页（共 21 页） ， （4+m+3） +（321） ； m，m6m7 故答案为：7 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了向量共线的坐标表示，考查了数学转 化思想，是基础题 6 （3 分）已知行列式中的元素 an+j（j1，2，3，9）是等比数列an 的第 n+j 项，则此行列式的值是 0 【分析】根据题意等比关系代入求解 【解答】解：因为元素 an+j（j1，2，3，9）是等比数列an的第 n+j 项， 所以设等比数列的公比为 q， 则 an+2qan+1，
9、 0，（两列 （或行） 相同的行列式值为 0） ， 故答案为：0 【点评】本题考查行列式，等比数列，属于基础题 7 （3 分）已知向量 （1，2） ， （2，3） ，则“4”是“向量与向量 （3，1）的夹角为钝角”成立的 充分不必要 条件 【分析】先求3+6230，解得：3，得到夹角是钝角的充要条件，从 而进行判断 【解答】解： （1，2）+（2，3）（+2，2+3） ，则3+623+3， 若夹角为钝角，则 +30，解得 3， 因为 4 是 3 的充分不必要条件，所以“4”是“向量与向量 （3，1）的夹角为钝角”成立的充分不必要条件， 第 8 页（共 21 页） 故答案为：充分不必要 【点评】
10、本题考查了充分必要条件，考查了向量的夹角的余弦值，是一道基础题 8 （3 分） （理）若平面向量 满足|1（i1，2，3，4）且0（i1，2，3） ， 则|可能的值有 3 个 【分析】由0 可得，分类作图可得结论 【解答】解：由0 可得， 若四向量首尾相连构成正方形时（图 1） ，|0， 当四向量如图 2 所示时，|2， 当四向量如图 3 所示时，|2， 故答案为：3 【点评】本题考查平面向量的模长，涉及分类讨论的思想，属中档题 9 （3 分）在ABC 中，A60，M 是 AB 的中点，若|AB|2，|BC|2，D 在线段 AC 上运动，则的最小值为 【分析】把向量用，表示，可化简数量积的式子
11、为，由余弦定 第 9 页（共 21 页） 理可得 AC 的长度，进而可得的范围，由二次函数区间的最值可得答案 【解答】解：， 故（） （） ， 设 ACx，由余弦定理可得， 整理得 x22x80，解得 x4 或 x2（舍去） ， 故有0，4，由二次函数的知识可知当时， 取最小值 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及余弦定理和二次函数的最值，属中档 题 10 （3 分）已知函数，其图象的最高点从左到右依次 记为 A1，A2，A3，A2019，其图象与 x 轴的交点从左到右依次记为 B1，B2，B3， B2019，则 8072 【 分 析 】 根 据 题 意 即 可 得 出，
12、， ；B1（2，0） ，B2（4，0） ，B3（6.0） ， B2018（4036，0） ，B2019（4038，0） ，从而可求出 4，从而可求出答案 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 得 ， ， 第 10 页（共 21 页） ；B1（2，0） ，B2（4，0） ，B3（6.0） ， B2018（4036，0） ，B2019（4038，0） ， （1，） （2，2） 4， （1，） （2， 2）4， （1，） （2，2）4， 420188072 故答案为：8072 【点评】本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量数量积的运算，向量数量 积的坐标运算，考查了计算能力，属于中档题 1
13、1 （3 分）设，O 为坐标原点，An是函数图象上横坐标为 n（nN*） 的点，向量和的夹角为 n，则满足 tan1+tan2+tan3+tann的最 大正整数是 3 【分析】由题意可得（n，n（）n+） ，tann（）n+（）n+ ，由数列的分组求和、裂项相消求和，构造函数，判断出符合条件的最大整数 n 的值 【解答】解：（n，n（）n+） ， tann（）n+（）n+， 可得 tan1+tan2+tann（+）+（1+） +12， 第 11 页（共 21 页） 由题意可得 2，即为+， 函数 g（n）+（nN*）为减函数， g（1）1，g（2）+，g（3）+，g（4）+， 故最大整数 n
14、的值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出 tann的表达式，以及熟练掌握数列求和的技巧 12（3 分） 已知 O 是三角形 ABC 的外心， AB2， AC1， BAC120 若， 则 mn 【分析】建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为 O 为ABC 的外心，把 AB 的中垂线 p 方程和 AC 的中垂线 q 的方程，联立方程组，求出 O 的坐标，利用已知向量 间的关系，待定系数法求 m 和 n 的值 【解答】解：如图：以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系： 则 A（0，0） ，B （2，0） ，C
15、（，） ， O 为ABC 的外心， O 在 AB 的中垂线 p：x1 上，又在 AC 的中垂线 q 上， AC 的中点（，） ，AC 的斜率为， 中垂线 q 的方程为 y（x+） ， 把直线 p 和 q 的方程联立方程组解得ABC 的外心 O（1，） ， 由条件， 得（1，）m（2，0）+n（，）（2mn，n） ； 2mn01，n； m，n； mn 第 12 页（共 21 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查了求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐 标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值，同时考查了运算求解的能力，属中档 题 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有
16、4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得分）每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否分，否 则一律得零分则一律得零分. 13 （5 分）若从平行四边形 ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点，得到的向量中 有 n（nN*）个是两两不相等的，则 n 的最大值是（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】可以画出平行四边形ABCD，可以看出 这 8 个向量是两两不相等的，从而可得出 n 的最大值 【解答】解：如图，在平行四边形 ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点构成的 向量中，以下 8 个向量，是两两不相等的： ，再增加任何一个向量，都会和这 8 个向量
17、 中的一个相等， n 的最大值是 8 第 13 页（共 21 页） 故选：B 【点评】本题考查了相等向量的定义，向量的定义，考查了推理能力，属于基础题 14（5 分） 任意四边形 ABCD 内有一点 O 满足， 则 O 点的位置是 （ ） A对角线的交点 B对边中点连线的交点 CBD 的点 DAC 的中点 【分析】首先根据题意作图，然后由三角形法则，即可求得向量+，+ 的和 向量，即可得出正确选项 【解答】解：如图：分别取四边形 ABCD 各边的中点 E、F、G、H 2，+2； ， 2+2 ； 即 O 是 EG 的中点， 则点 O 为一组对边中点连线的中点 故选：B 【点评】此题考查了平面向量
18、的知识注意数形结合思想的应用与三角形法则的应用是 解此题的关键 15 （5 分）已知向量（2，0） ，向量（2，2） ，向量（cos，sin） ， 则向量与向量的夹角范围为（ ） A0， B， C， D， 【分析】利用 CA 是常数，判断出 A 的轨迹为圆，作出 A 的轨迹；数形结合求出两个向 量的夹角范围 【解答】解：|，A 点在以 C 为圆心，为半径的圆上， 第 14 页（共 21 页） 当 OA 与圆相切时对应的位置是 OA 与 OB 所成的角最大和最小的位置 OC 与 x 轴所成的角为；与切线所成的为 所以两个向量所成的最小值为；最大值为 故选：D 【点评】本题考查圆的定义、数形结合求
19、两个向量的夹角范围 16 （5 分）三角形 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于 D，M，若，AB 2，则 AC（ ） A3 B4 C5 D6 【 分 析 】 根 据 条 件 可 得 出， 从 而 根 据可 得 出 ， 进而得出， 然后根据余弦定理即可求出 AC 的值 【解答】解：DMBC，且， 6， ，且 AB2， 在ABC 中，根据余弦定理得， AC4 第 15 页（共 21 页） 故选：B 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数乘的几何意义， 向量的数量积运算及计算公式，余弦定理，考查了计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大
20、题共有 5 题，满分题，满分 0 分）解答下分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤. 17用行列式讨论关于 x，y 的方程组的解的情况 【分析】分情况 m1、m3，m1，m3 三种情形进行讨论，计算即可 【解答】解：根据题意，方程组的解， D3m（m2）（m3） （m+1） ， ， ， 所以，当 m1 时，D0，Dx0，方程组无解； 当 m3 时，DDxDy0，方程组有无穷多个解； 当 m1 且 m3 时，D0，方程组有唯一的解 【点评】本题重点考查了方程组与行列式之间的关系，分类讨论思想及其应用等知识， 属于中档题
21、解题关键是分类中如何划分“类” 18在ABC 中， （1）求 AB 边的长度； （2）求的值 【分析】 （1）直接根据，再结合即可求 出求 AB 边的长度； （2）结合已知及（1）可得：2bcosA1，2acos（B）3；再利用正弦定理把所有 的边都用角表示出来得到 sinAcosB3sinBcosA，再代入所求即可得到结论 【解答】解： （1） 第 16 页（共 21 页） 即 AB 边的长度为 2 （5 分） （2）由已知及（1）有：2bcosA1，2acos（B）3， acosB3bcosA（8 分） 由正弦定理得：sinAcosB3sinBcosA（10 分） （12 分） 【点评】本
22、题是对向量的数量积以及两角和与差的正弦函数的综合考查在解决问题的 过程中，用到了解三角形常用的方法之一：边转化为角 19已知两点 M（1，0） ，N（1，0） ，且点 P（x，y）使，成公 差小于零的等差数列 （1）求 x 与 y 满足的关系式，并写出 x 的取值范围； （2）记 为，的夹角，求 tan 的取值范围 【分析】 （1）设出要求轨迹的点的坐标，根据所给的两个点的坐标写出要用的向量，做 出向量的数量积，根据，成公差小于零的等差数列，列出不等 式和等式，整理整式得到结果 （2）求两个向量的夹角，根据球向量夹角的公式，先用求出数量积和模的乘积，求出角 的余弦值，根据同角的三角函数的关系，
23、用已知条件表示出 tan，然后推出结果 【解答】解： （1）记 P（x，y） ，由 M（1，0） ，N（1，0）得（1x，y） ， （1x，y） ，（2，0） ， ，是公差小于零的等差数列 即 x2+y23（x0） ， 点 P 的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆 （2）解： （1）记 P（x，y） ，由 M（1，0） ，N（1，0）得（1x，y） ， （1x，y） ，（2，0） ，2（x+1） x2+y21，2（1x） ， ，成公差小于零的等差数列 第 17 页（共 21 页） ， 即 x2+y23（x0） ， 点 P 的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆 （2）点 P 的坐标为（x0，y0
24、） ，则 x02+y023，x02+y0212， | 2， cos， 0x0， cos1，0， sin， tan |y0|（，） 【点评】这是一个综合题，求轨迹的问题，向量的数量积，等差数列的定义，求向量的 夹角，同角的三角函数关系，综合性较强这是一个难题， 20如图，点 Q 在第一象限，点 F 在 x 轴正半轴上，OFQ 的面积为 S，和的夹角为 ， （1）求 S 关于 的解析式； （2）设，求点 Q 的坐标； （3）在（2）的条件下，若，求的最小值和此时点 Q 的坐标 第 18 页（共 21 页） 【分析】 （1）根据条件即可得出； （2）根据以及即可得出，从而得出 Q 点的坐标为 ； （
25、3）根据以及即可得出，从而得出， 根据函数在2，+）上是增函数，即可求出，从而得出 c2 时，取 得最小值，并可求出该最小值，并可求出此时的点 Q 的坐标 【解答】解： （1）OFQ 的面积为 S，和的夹角为 ， ， 即 S 关于 的解析式为：； （2），且， ， ， ； （3），且， ， ， ， ， ， 在1，+）上单调递增，且 c2， ， c2 时，的最小值为，此时 第 19 页（共 21 页） 【点评】 本题考查了向量数量积的计算公式， 三角形的面积公式， 函数的单调性， 增函数的定义，考查了计算能力，属于中档题 21平面直角坐标系中，射线 yx（x0）和 y2x（x0）上分别依次有点
26、A1，A2， An， 和点 B1， B2， ， Bn， ， 其中 A1（1， 1） ， B1（1， 2） ， B2（2， 4） ， 且， （n2，3，4，） （1）用 n 表示及点 An的坐标； （2）用 n 表示及点 Bn的坐标； （3）求四边形 AnAn+1Bn+1Bn的面积关于 n 的表达式 Sn，并求 Sn的最大值 【分析】本题第（1）题根据题意可发现数列|是一个等差数列，则写出|关于 n 的表达式，即可得到点 An的坐标；第（2）题先计算出|，再根据题干条件 ，可得数列|是一个等比数列，即可得到| 关于 n 的表达式，再根据点 B1，B2，Bn，均在射线 y2x（x0）上，可得| |
27、+|+|+|代入后利用等比数列求和公式可得结果，设点 Bn 的坐标为（t，2t） ，则3（）n 2解出 t 的值可得点 B n的坐标； 第 （3） 题先求出|OAn|及点 Bn到直线 yx 的距离为 d， 进一步可求得|OAn| d，同理可得，则 Sn，求出 Sn的表达式，再利用不等式组，计算可得到 Sn的最大值 【解答】解： （1）由题意，|， ， 第 20 页（共 21 页） 数列|是以为首项，为公差的等差数列 |+ （n1）n 点 An的坐标为（n，n） （2）由题意，（1，2） ，则| ， 数列|是以为首项，为公比的等比数列 | （）n 1 点 B1，B2，Bn，均在射线 y2x（x0
28、）上， |+|+|+| + （）n 2 +1+（）2+（）n 2 + 3（）n 2 设点 Bn的坐标为（t，2t） ，则 3（）n 2 解得 t3（）n 2 点 Bn的坐标为（3（）n 2，6（ ）n 3） （3）由（1） （2） ，可知 O（0，0） ，An（n，n） ，Bn（3（）n 2，6（ ）n 3） |OAn|n， 设点 Bn到直线 yx 的距离为 d，则 d 第 21 页（共 21 页） |OAn|dnn（）n 1 同理可得（n+1）（）n Sn （n+1）（）nn（）n 1 + 根据不等式组，有 ， 解得 2n3 S1S2S3S4 Sn的最大值为 【点评】本题主要考查向量、解析几何与数列的综合问题，考查了转化思想的应用，等 差数列与等比数列的基础知识，数列最大值的求法，考查逻辑思维能力和数学运算能 力本题属综合性较强的较难题
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