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    著名机构数学讲义春季17-八年级基础版-一次函数压轴题-教师版

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    著名机构数学讲义春季17-八年级基础版-一次函数压轴题-教师版

    1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 一次函数压轴题 知识模块:知识模块:动点产生的面积问题动点产生的面积问题 在函数背景下求三角形或四边形的面积问题,较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形 进行求解 【例 1】如图,已知直线 l:22yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C,将直线 y=x 向上平移 1 个单位 一次函数压轴题 x y 1 2 Q P AO C B 长度得到直线 PA,点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点,求四边形 PQOB 的面积 【答案】由题意可得:直线 PA 的解析式为1 xy 令 22 1 xy xy ,解得: 3 4 3

    2、 1 y x ,则 3 4 3 1, P 点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点, 0 1Q, 直线 l:22yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C, B(1,0) ,C(0,2) 6 5 3 1 1 2 1 12 2 1 CPQCOBPQOB SSS 四边形 【例 2】如图 1,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为(3,0) , (0,1) ,点 D 是线段 BC 上的动 点(与端点 B、C 不重合) ,过点 D 作直线 1 2 yxm 交折线 OAB 于点 E (1)当点 E 恰为 AB 中点时,求 m 的值; (2)当点 E 在线段 OA 上,记ODE 的面积为 y,求

    3、 y 与 m 的函数关系式并写出定义域; (3)当点 E 在线段 OA 上时,若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1,试判断 四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,写出该重叠部分的面积; 若改变,写出重叠部分面积 S 关于 m 的函数关系式 【答案】四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标 分别为(3,0) , (0,1) ,B(3,1) (1)当点 E 恰为 AB 中点时,则 E(3, 2 1 ) 点 E 在直线 1 2 yxm 上, 代入 E 点坐标,可得:2m; (2)当点 E 在线段 OA 上, 直线 1 2

    4、 yxm 交折线 OAB 于点 E, E(m2,0) , mmy12 2 1 ( 3 1 2 m) ; (3)设 O1A1与 CB 相交于点 M,OA 与 B1C1相交于点 N,则四边形 O1A1B1C1与 矩形 OABC 的重叠部分的面积为四边形 DNEM 的面积 DMNE,DNME,四边形 DNEM 是平行四边形 NEDMED,NEDMDE,NEDMED, MEMD,四边形 DNEM 是菱形 过 D 作 DHOA,垂足为 H,设菱形 DNEM 的边长为a D(22m,1) ,E(m2,0) , DH=1,HE=2222mm, 2NHENEHa, 在直角DHN 中, 222 12aa,解得:

    5、 4 5 a 菱形 DNEM 的面积为: 55 1 44 知识模块:知识模块:特殊三角形的存在性特殊三角形的存在性 【例 3】直线ykxb与x轴、y轴分别交于点 A、B,点 A 坐标为(3-,0) ,30OAB A B C D E O x y 将x轴所在的直线沿直线AB翻折交y轴于点C,点 F 是直线 AB 上一动点 (1)求直线AB的解析式; (2)若CFAB,求OF的长; (3)若AOF是等腰三角形,直接写出点F的坐标 【答案】(1)点 A 坐标为(3-,0) ,30OAB, B(0,3) , 直线AB的解析式为:3 3 3 xy; (2)延长 CF 交x轴与点 D x轴所在的直线沿直线A

    6、B翻折交y轴于点C, 602 BAOCAO,30ACO A(3-,0) , 03 3C, 6AC DAFCAF,AFAF ,90AFCAFD, CAFDAF, CD=AC=6 60CAO, CAD 为等边三角形, CF=DF 90COD, 36 2 1 2 1 CDOF; (3)点FAB是直线上一动点,设 3 3 3 F mm , 当 AO = OF 时, 2 2 3 3 3 3 mm ,解得: 2 3 m或3m, 此时 3 3 3 23 F , 或3 0F ,(舍去) ; 当 AO=AF 时, 2 2 3 3 3 33 mm ,解得:33 2 3 m或33 2 3 m, 此时 33 33 2

    7、2 F , 或 33 33 22 F , ; 当 FO=AF 时, 2 2 2 2 3 3 3 33 3 3 mmmm ,解得: 2 3 m, 此时 33 22 F , A B O C F D 综上所述:点F的坐标为: 3 3 3 23 , 或 33 33 22 , 或 33 33 22 , 或 33 22 , 【例 4】如图,函数 3 1 3 yx 的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,以线段 AB 为边 在第一象限内作等边ABC (1)求点 C 的坐标; (2)将ABC 沿着直线 AB 翻折,点 C 落在点 D 处,求直线 AD 的解析式; (3)在 x 轴上是否存在 E,使AD

    8、E 为等腰三角形?若存在,请直接写出点 E 的坐标;若不存 在,请说明理由 【答案】(1)函数 3 1 3 yx 的图像与 x 轴、y 轴分别 交于 A、B 两点, 3 0A,0 1B, 312OAOBBA, 30BAO 等边ABC,60CAB,2CA 30BAO, 90CAO, 3 2C,; (2)OBACBA,CDAB ,D 在 y 轴上, BDBC ,01D, 直线 AD 的解析式为:1 3 3 xy; (3)设 E(m,0) ,则2AD, 2 3mAE,1 2 mDE 当AEAD时, 2 32m,解得:23 m, 此时 E(23 ,0) ,或 E(23 ,0) ; 当DEAD时,12

    9、2 m,解得:3m , 此时 E(3,0) ,或 E(3,0) (舍去) ; 当DEAE 时,13 2 2 mm,解得: 3 3 m,此时 E( 3 3 ,0) , 综上所述,满足条件的 E 点坐标为: (23 ,0)或(23 ,0)或(3,0)或( 3 3 ,0) A B C O x y 知识模块:四边形的存在性知识模块:四边形的存在性 【例 5】如图,在平面直角坐标系中,过点(2,3)的直线 ykx2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴 交于点 B,将此直线向下平移 3 个单位,所得到的直线 l 与 x 轴交于点 C (1)求直线 l 的表达式; (2)点 D 为该平面直角坐标系内的点,如果

    10、以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行 四边形,求点 D 的坐标 【答案】(1) 1 (2,3)2, 2 ykxk将代入得 1 2, 2 ( 4,0), (0,2), 1 31, 2 1 1; 2 yx AB yx lyx 向下平移 个单位,得 直线 的表达式为 (2) 1 1, 2 yx (2,0), , ( 6,2), , ( 2, 2), , (6,2). C AB D AC D BC D 点坐标为 当为对角线时 点坐标为 当为对角线时 点坐标为 当为对角线时 点坐标为 【例 6】如图,在平面直角坐标系中,直线 l1经过 O、A(1,2)两点,将直线 l1向下平移 6 个单位得到直线

    11、 l2,交 x 轴于点 C,B 是直线 l2上一点,且四边形 ABCO 是平行四边形 (1)求直线 l2的表达式及点 B 的坐标; (2)若 D 是平面直角坐标系内的一点,且以 O、A、C、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形,求 点 D 的坐标 【答案】(1) 1 ,lykx设直线 解析式为 x A B O y C A O C x y 2 (12), 2, 2 , 2 -6, (3,0), , 2, 22 -6, 4, (4,2). A k yx lyx C ABCO B x x B 过点, 解析式为 点坐标为 四边形是平行四边形 点纵坐标为 点坐标 (2)ADOC当时, 11 1 22 2

    12、2, 2, (2,2), -3, , (,), , 1, (1, 1), (,26), , 14 , 5 142 (,), 55 142 (2,2)(1, 1)(,). 55 DAAOCD D yyxxxx x D ODAC ACyx ODyx Daa AOCD a D ODAC Daa ACOD a D D 点坐标为 当时, 解析为 解析式为 设 点坐标为 点坐标为 当时, 设 点坐标为 点坐标为 综上所述 点坐标为或或 【习题 1】如图,在平面直角坐标系中,两个函数 1 6 2 yx yx ,的图像交于点 A, 动点 P 从点 O 开始在线段 O 向点 A 方向以每秒 1 个单位的速度运动

    13、,作 PQx 轴交直线 BC 于点 Q,以 PQ 为一边向下作正方形 PAMN,设它与ABO 重叠部分的面积为 S (1) 求点 A 的坐标; (2) 试求出点 P 在线段 OA 上运动时,S 与运动的时间 t(秒)的关系式 【答案】(1)令 6 2 1 xy xy , 解得: 4 4 y x , A(4,4) ; (2)动点 P 从点 O 开始在线段 O 向点 A 方向以每秒 1 个单位的速度运动, tOP , 则 P(t 2 2 ,t 2 2 ) PQx 轴,Q(t 212,t 2 2 ) , tPQ 2 23 12 当tt 2 2 2 23 12时, 23t 当230 t时,ttttS2

    14、6 2 3 2 23 12 2 2 2 ; 当 P 到达 A 点时,24t, 当2423 t时, 144236 2 9 2 23 12 2 2 tttS, 综上所述, 2 2 3 6 2 (03 2) 2 9 36 2144 (3 24 2) 2 ttt S ttt 【习题 2】如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2,点 A(0, 1)和点 D 在 y 轴正半轴上,点 B、 C 在第一象限,一次函数 ykx2 的图像 l 交 AD、CD 分别于 E、F (1)若DEF 与BCF 的面积比为 12,求 k 的值; (2)联结 BE,当 BE 平分FBA 时,求 k 的值 【答案】(1)正方形

    15、ABCD 的边长为 2,点 A(0, 1)和点 D 在 y 轴正半轴上,点 B、C 在第一象限, B(2, 1),C(2, 3),D(0, 3) 一次函数 ykx2 的图像 l 交 AD、CD 分别于 E、F, E(0, 2) 设 F(m, 3), A B C P Q O y x A B C D E F x y O H DEF 与BCF 的面积比为 12, 2 1 22 2 1 1 2 1 m m ,解得:1m,F(1, 3) F(1, 3)在直线 ykx2 上,1k; (2)延长 BE 交 CD 的延长线于 H , BE 平分FBA,ABEFBE CDAB,ABEH,FBEH,FB=HF A

    16、E=1,DE=1,AE=DE AE=DE,BAEHDE,BEAHED HEDBEA HD=AB=2,H(2, 3) 设 F(n, 3) FB=HF,222 22 nn,解得: 2 1 n, F( 2 1 , 3) F( 2 1 , 3)在直线 ykx2 上, 2k 【习题 3】如图,平面直角坐标系中,函数 y=2x+12 的图像分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点, 过点 A 的直线交 y 轴的正半轴于点 M,且点 M 为线段 OB 的中点 (1)求直线 AM 的解析式 (2)P 为直线 AM 上的一个动点,是否存在这样的点 P,使得以 P、B、M 为顶点的三角形为等腰 三角形,若存在,求出

    17、点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】(1)函数 y=2x+12 的图像分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点, B(0,12) ,A(6,0) , 点 M 为线段 OB 的中点, M(0,6) , 直线 AM 的解析式为6 xy; A B M O x y (2)P 为直线 AM 上的一个动点, P(m,6m) , 当MPBM 时, 22 6mm ,解得:23m, 此时 P(23,623) ,或 P(23,623) ; 当BPBM 时,2 2 66mm,解得:0m或6m, 此时 P(0,6) (舍去)或 P(6,12) ; 当BPMP时,2 222 6mmmm,解得:3m, 此时 P(

    18、3,9) ; 综上所述:P(23,623)或 P(23,623)或 P(6,12)或 P(3,9) 【习题 4】如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 A(3, 0),点 B 的坐标为 A(0, 4) (1)求直线 AB 的解析式; (2)点 C 是线段 AB 上一点,点 O 为坐标原点,点 D 在第二象限,且四边形 BCOD 为菱形,求点 D 坐标; (3)在(2)的条件下,点 E 在 x 轴上,点 P 在直线 AB 上,且以 B、D、E、P 为顶点 的四边形是平行四边形,请写出所有满足条件的点 P 的坐标 【答案】(1),ABykxb设直线的解析式为 30 4 4 3 4 4 -4. 3 kb b k b AByx 直线的解析式为 A B O x y (2),BCOD四边形是菱形 , (0,2), 2, 43 24, 32 3 ( ,2), 2 3 (-,2). 2 OBCDOBCD OB C yyxx C D 且与互相平分 的中点坐标为 点 的纵坐标是 把代入得 点坐标为 点坐标为 (3) 339 (6)( ,2)( , 2). 222 P点的坐标为,或或


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