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    著名机构讲义春季12-八年级培优版-梯形及中位线-教师版

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    著名机构讲义春季12-八年级培优版-梯形及中位线-教师版

    1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 梯形及中位线 梯形及中位线 知识模块知识模块:梯形相关概念梯形相关概念 1、梯形梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 底底:平行的两边叫做底,其中较长的是下底,较短的叫上底 腰腰:不平行的两边叫做腰 高高:梯形两底之间的距离叫做高 2、特殊梯形特殊梯形 直角梯形:直角梯形:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形 特殊梯形 等腰梯形:等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形 注意:如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征,那么该图形是矩形 3、等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理 (1)等腰梯形在同一底上的两个内角相等 (2)等腰梯

    2、形的两条对角线相等 (3)等腰梯形是轴对称图形; 4、等腰梯形的判定定理、等腰梯形的判定定理 (1)在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 (2)对角线相等的梯形是等腰梯形 【例 1】(1)在周长为 30cm 的梯形 ABCD 中,上底 CD=5cm,DEBC 交 AB 于点 E,则 ADE 的周长为_cm; (2)如图,梯形 ABCD 中,ABCD,ACB=90,且 AC 平分BAD,D=120,CD=3cm, 则梯形的周长是_cm A B C D G D C B A E A D C B 【答案】(1)20 ; (2)15 【例 2】 如图所示: 在直角梯形 ABCD 中, AB/CD,

    3、 D=90, AB=BC, AGBC 于点 G, 1 3 CGAB, 求 CD AB 的值. 【答案】作 CHAB,交 AB 于点 H, 可把梯形分为矩形和直角三角形, 易证 RtAGBRtCHB,有 BH=BG,从而 AH=CG, 于是 1 3 CDAHCG ABABAB 【例 3】如图所示;在梯形 ABCD 中,AD/BC,CA 平分BCD,DE/BC,交 BC 的延长线于点 E, B=2E.求证:AB=DC. 【答案】根据内角相等的梯形是等腰梯形易证. 知识模块知识模块:解决梯形问题常用解决梯形问题常用辅助线辅助线 作法 图形 平移腰,转化为三角平移腰,转化为三角 形、平行四边形形、平行

    4、四边形 E C B A D 作高,转化为直角三作高,转化为直角三 角形、矩形角形、矩形 延长两腰,转化为三延长两腰,转化为三 角形角形 平移对角线,转化为平移对角线,转化为 三角形、平行四边形三角形、平行四边形 联结顶点与腰上的中 点,构造全等三角形 【例 4】如图,梯形ABCD中,/ /ABCD,90AB ,ABb,CDa,E、F分 别为AB、CD的中点,则EF的长等于( ) A 2 ba B 3 ba C 2 ba D 3 ba 【答案】C 【例 5】 如图所示;在等腰梯形 ABCD 中, AD/BC, AB=DC.过点 A 作 AEBC, 垂足为点 E, B=60, CAD=45,4 2

    5、AC ,求梯形 ABCD 的面积. 【答案】16.过点 D 作 DFBC, 再根据等腰梯形的性质好求. G A B C D F E H E D C O B A N M CD A B M N C B AD 【例 6】如图所示:在梯形 ABCD 中,AD/BC,B=30,C=60,点 M、N 分别为 BC、DA 的中 点,BC=10, 7 2 MN ,求 AD 的长度. 【答案】思想:通过作梯形的腰的平行线,把梯形的问题转化为平行四边形和三角形的问题. 法 1:过点 N 作 AB 的平行线交 BC 于点 E, 过点 N 作 CD 的平行线交 BC 于点 F. 法 2:过点 A 作 MN 的平行线交

    6、 BC 于点 H, 过点 A 作 CD 的平行线交 BC 于点 G. 法 3:延长 BA、CD 交于点 P,联结 PN,转化为 RtPBC 和 RtPAD 的问题. 【例 77】如图所示;在等腰梯形 ABCD 中,AD/BC,AB=DC.且 ACBD,AE 为高,等腰梯形 ABCD 的面积为 49,求高 AE 的长度. 【答案】7.过点 A 作 AF/BD,交 CB 的延长线于点 F, 运用面积的割补法易求. 【例 8】如图所示:在直角梯形 ABCD 中,AB/CD,M 是腰 BC 的中点,MNAD 于点 N,求证:梯 形 ABCD 的面积为MN AD. 【答案】思想:倍长中线对图形进行割补.

    7、 法 1:过 M 作 MF/AD,EF 交 DC 延长线于点 E,交 AB 于点 F, 易证MCEMBF,于是= AFEDABCD SSMN AD 梯形 Q P S O CD AB 【例 9】如图,在梯形 ABCD 中,AB/CD,ADBC,对角线 AC、BD 的交点 O,AOB60,又 S、 P、Q 分别是 DO、AO、BC 的中点 求证:SPQ 是等边三角形 【答案】联结 CS,BP 四边形 ABCD 是等腰梯形,且 AC 与 BD 相交于 O, 可得出:CABDBA, CABDBA, 同理可得出:ACDBDC, AOBO,CODO AOB 60, OCD 与OAB 均为等边三角形 S 是

    8、 OD 的中点, CSDO 在 RtBSC 中,Q 为 BC 中点,SQ 是斜边 BC 的中线, SQ 1 2 BC 同理 BPAC 在 RtBPC 中,PQ 1 2 BC 又SP 是OAD 的中位线, SP 1 2 AD 1 2 BC SPPQSQ 故SPQ 为等边三角形 【例 10】已知:如图,在直角梯形COAB中,OCAB,以O为原点建立平面直角坐 标系,ABC, ,三点的坐标分别为(80)(810)(0 4)ABC, , 点D为线段BC的中点, 动点P从点O 出发,以每秒 1 个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒 (1)求直线BC的解析式; (2)若动点P在线段OA

    9、上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的 2 7 ? (3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设OPD的面积为S,请直接写出S 与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围 【答案】(1)设 BC 解析式为 y=kx+b,代入 B(8,10) ,C(0,4) , 解得直线BC的解析式为: 3 4 4 yx; (2)D 是线段 BC 中点,D(4,7) 2 7 OPDCCOAB SS 四边形梯形 , 1121 744(104)8 2272 t ,解得: 16 7 t ; (3)当 P 点在 OA 上时,S= 17 7 22 t t (08)t ; 当 P 在

    10、AB 上时, OPABPDOCDCOAB SSSSS 梯形 = 1111 (410)8448(8)(18)4244(818) 2222 tttt ; 当 P 在 BD 上时,S= OCDOPAABPCOAB SSSS 梯形 = 8184 55 t (18t23) ; 当 P 在 OD 上时,S=0, (舍) 7 (08) 2 244(818) 8184 (1823) 55 t t Stt t t 知识模块知识模块:三角形中位线的定义和性质三角形中位线的定义和性质 1. 定义三角形的中位线:联结三角形两边中点的线段,(强调它与三角形的中线的区别); 2. 三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于

    11、第三边,并且等于它的一半. 3. 梯形中位线定理: 梯形的中位线平行于底边,并且等于两底和的一半. 【例 11】如图所示,在正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,AE 平分BAC,交 BC 于点 E,交 OB 于点 F,求证:CE=2OF A D F O G A B D C O P x y 【答案】取 AE 的中点 G,联结 OG 正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O, OG/CE,CE=2OG AOG=ACB=45,GOB=OBC=45 AE 平分BAC, CAE=22.5, EGO=EAC+AOG=22.5+45=67.5, OFG 中,OFG=180-67

    12、.5-45=67.5, OFG=EGO, OG=OF, CE=2OF 【例 12】如图 1 所示,已知 BD、CE 分别是ABC的外角平分线,过点 A 作AFBD, AGCE, 垂足分别为 F、 G, 连接 FG, 延长 AF、 AG, 与直线 BC 相交, 易证 1 () 2 FGABBCAC (1)若 BD、CE 分别是ABC 的内角平分线(如图 2) ; (2)BD 为ABC 的内角平分线,CE 为ABC 的外角平分线(如图 3) ,则在图 2、图 3 两种情况 下,线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明 【答案】(1)图 2 中,分别延

    13、长 AG、AF 交 BC 于 H、K, 易证BAF 与BKF 全等 E D CB A S1 S2 S6 S7 S5 S3 S4 N M A B D C AF=KF,AB=KB,同理可证 AG=HG,AC=HC,FG= 1 2 HK 又HK=BK-BH=AB+AC-BC, 1 () 2 FGABACBC; (2)图 3 中,分别延长 AG、AF 交 BC 或延长线于 H、K 易证BAF 与BKF 全等 AF=KF,AB=KB,同理可证 AG=HG,AC=HC FG= 1 2 HK 又HK=BH-BK=BC+AC-AB 1 () 2 FGBCACAB 【习题 1】(1)等腰梯形的两底之差为 12c

    14、m,高为 6cm,则其锐角为_; (2)等腰梯形的对角线为 17,底边分别为 10 和 20,则梯形的面积是_ 【答案】(1)45;(2)120 【习题 2】如图,在四边形 ABCD 中,M,N 分别是 AB,CD 的中点,AN,BN,DM,CM 划 分四边形所成的 7 个区域的面积分别为 1 S, 2 S, 3 S, 4 S, 5 S, 6 S, 7 S,那么恒成立的关系式是 ( ) A 2 S+ 6 S= 4 S B 1 S+ 7 S= 4 S C 2 S+ 3 S= 4 S D 1 S+ 6 S= 4 S E H Q 【答案】B 过 A 作 AEDC 于点 E,过 M 作 MHDC 于

    15、H, 过点 B 作 BQCD 于 Q, 则 AE/MH/BQ M 是 AB 中点,H 是 EQ 中点, 即 MH 是梯形 AEQB 的中位线,2MH=AE+BQ 346 1 2 MDC SSSSDCMH , 67 1 2 BNC SSSNCBQ , 13 1 2 ADN SSSDNAE ,又 DN=CN 7613 11 22 SSSSNCBQNDAE 1 () 2 DNAEBQ 11 2 22 DNMHDNMHCDMH 7613346 SSSSSSS, 174 SSS 【习题 3】如图,在梯形 ABCD 中, 0 / /9012ADBC BCADDBCCD, 0 45ABE, 若 AE=10,

    16、求 CE. 【答案】过点 B 作 DA 的垂线交 DA 延长线于 M,M 为垂足, 延长 DM 到 G,使得 MG=CE,联结 BG, 可得四边形 BCDM 是正方形 BC=BM,C=BMG=90,EC=GM, BECBMG, MBG=CBE ABE=45,CBE+ABM=45,GBM+ABM=45, ABE=ABG=45,ABEABG,AG=AE=10 设 CE=x,则 AM=10x,AD=12(10x)=2+x,DE=12x 在 RtADE 中,由 AE2=AD2+DE2,解得:x=4 或 x=6 故 CE 的长为 4 或 6 【习题 4】如右图,已知梯形 ABCD 中,BC 是下底,AB

    17、C=60,BD 平分ABC, 且 BDCD,若梯形周长是 30cm,求此梯形的面积 【答案】BD 平分ABC, ABD=DBC= 1 2 ABC=30 A B C D O E A B C D E M G E F D C O B A AD/BC,ADB=DBC=30,AB=AD BDCD,DCB=60,ABC=DCB, AB=CD 设 AB = CD = AD = x, RtBCD 中,DBC=30,BC = 2CD = 2x, 30 = x+x+x+2x,解得:x=6 作 AEBC,RtABE 中, BAE=30, BE=3,AE=3 3 S= 1 2 (AD+BC)AE=27 3 2 cm

    18、【习题5】 如图所示;在等腰梯形ABCD中, AD/BC, AB=DC.对角线AC与BD相交于点O, BOC=60, AC=10cm,求梯形的高 DE 的长. 【答案】过点 D 作 DF/AC,交 BC 的延长线于点 F. 易得BDF 为等边,易得5 3DE 【习题 6】如图所示,在等腰梯形ABCD中,/ /ADBC,对角线ACBD,若两底长分别为 ab、,试列出这个梯形的面积S用ab、表示的等式 【答案】过点 D 作 DE/AC 交 BC 延长线于点 E, 则可得平行四边形 ADEC 等腰梯形 ABCD 中,AC=BD, BDE 是等腰三角形, BE=BC+CE=BC+AD=a+b 过 D

    19、作 DFBC 于点 F, 等腰直角DBE 中,DF= 11 () 22 BEab, E F BDEABCD SS 梯形 = 2 11 () 24 BE DFab 【习题 7】如图所示,在四边形ABCD中,CDAB,E、F分别是AC、BD的中点 求证: 1 () 2 EFCDAB 【答案】取 AD 中点 G,联结 EG,FG E、F 分别是 AC、BD 的中点, 1 2 EGCD, 1 2 FGAB CDAB,EGFG 在EFG 中,EFEG-FG= 1 () 2 CDAB, 当 AB/CD 时,F、E、G 三点共线, 1 () 2 EFCDAB, 1 () 2 EFCDAB 【习题 8】如图,

    20、在直角梯形 COAB 中,CBOA,以 O 为原点建立直角坐标系,A、C 的坐标分别为 A (10,0) 、C(0,8) ,CB4,D 为 OA 中点,动点 P 自 A 点出发沿 ABCO 的线路移动,速度为 1 个单位/秒,移动时间为 t 秒 (1)求 AB 的长,并求当 PD 将梯形 COAB 的周长平分时 t 的值,并指出此时点 P 在哪条边上; (2)动点 P 在从 A 到 B 的移动过程中,设APD 的面积为 S,试写出 S 与 t 的函数关系式,并指出 t 的取值范围; (3)几秒后线段 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1:3 的两部分?求出此 时点 P 的坐标 【答案】 (1

    21、)点 B 坐标为(4,8) , 1080410 22 AB 由 2 841010 5 t,得 t11 ;此时点 P 在 CB 上 (2)证法一:作 OFAB 于 F,BEOA 于 E,DHAB 于 H,则 BE OC8 OFABBEOA, 8 BEOF,DH4 ttS24 2 1 (0t10) (3)点 P 只能在 AB 或 OC 上, ()当点 P 在 AB 上时,设点 P 的坐标为(x,y) A B C D E F G 第26题图 y xO P D C B A 由 COABAPD SS 梯形 4 1 ; 得 145 2 1 y,得 y 5 28 由 142 t,得 t7; 由 49 5 28 10 2 2 x,得 5 29 x. 即在 7 秒时有点) 5 3 5 , 5 4 5( 1 P; ()当点 P 在 OC 上时,设点 P 的坐标为(0,y) 由 COABOPD SS 梯形 4 1 ; 得 145 2 1 y,得 y 5 28 此时 t 5 2 16) 5 28 8(14; 即在 16 5 2 秒时,有点) 5 3 5 , 0( 2 P. 故在 7 秒时有点) 5 3 5 , 5 4 5( 1 P、在 16 5 2 秒时,有点) 5 3 5 , 0( 2 P使 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1:3 的两 部分


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