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    著名机构数学讲义春季13-七年级培优版-等腰三角形-教师版

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    著名机构数学讲义春季13-七年级培优版-等腰三角形-教师版

    1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 等腰三角形 知识模块:等腰三角形知识模块:等腰三角形 等腰三角形 C D A B 定 义 示例剖析 等腰三角形的定义:有两条边相等的三角 形叫做等腰三角形 如图,ABC是等腰三角形,ABAC 则AB、AC是该三角形的腰. BC是该三角形的底边. B、C是该三角形的底角, 且BC . A是该三角形的顶角. ABAC,BC 等腰三角形的性质: (1)两底角相等(等边对等角) (2) “三线合一” ,即顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合 (3) 是轴对称图形,底边的垂直平分线 是它的对称轴 ABC是等腰三角形,ABAC

    2、若ADBC,则BDCD, BADCAD ; 若BDCD,则BADCAD , ADBC; 若BADCAD ,则ADBC,BDCD. 等腰三角形的判定方法: 有两条边相等的三角形是等腰三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (等角对等边) 若ABAC或BC,则ABC是等腰三角形. 易错点:注意分类讨论,并舍去不符合条件的情况 【例 1】如图所示,在ABC 中,AB=AC,试说明B=C 的理由. 【答案】作 BC 边上中线 AD,则 BD=CD. CB A D CB A CB A D A CB C B A D C D A B 在ABD 与ACD 中, ABAC ADAD BDCD ABDACD,

    3、BC 【例 2】如图所示,在ABC 中,AB=AC,BD 平分ABC.若ADB=108,求A 的度数. 【答案】36 【例 3】如图所示,在ABC 中,B=C,试说明 AB=AC 的理由. 【答案】作 ADBC,垂足为点 D, 90ADBADC 在ABD 与ACD 中, ADBADC BC ADAD ABDACD, ABAC 【例 4】如图所示:AB=AD,ABC=ADC,试说明 BC=DC 的理由. 【答案】联结 BD, AB=AD, ABDADB E D A BC E B C D F A P RQ F D E C B A ABCADC , CBDCDB BCDC 【例 5】 如图所示, 在

    4、ABC 中, BD 平分ABC, 过点 D 作 BC 的平行线 DE, 交 AB 于 E, 试说明 DE=BE 的理由. 【答案】BD 平分ABC,ABDCBD DE/BC, EDBCBD EBDEDB DEBE 【例 6】如图所示,在ABC 的边 AB 延长线上取一点 D,过 D 作 DFAC,垂足为 F,交 BC 于 E,且 BD=BE,试说明ABC 为等腰三角形的理由. 【答案】BD=BE,DBED CEFBED , DCEF DFAC,90CEFC 90DA AC ABCB ABC 为等腰三角形 【例 7】如图所示,F、C 是线段 BE 上的两点,BF=CE,AB=DE,B=E,QR/

    5、BE,试说明PQR 是等腰三角形的理由. 【答案】BF=CE,BC=EF D B A C E G 在ABC 与DEF 中, ABDE BE BCEF ABCDEF, ACBDFE QR/BE,QACB RDFE QR QPQR PQR 是等腰三角形 【例 8】如图所示,在ABC 中,AB=AC,在 AB 边上取点 D,在 AC 延长线上取点 E,使 BD=CE,联 结 DE 交 BC 于 G,试说明 DG=DE 的理由. 【答案】过点 D 作 DF/AC,交 BC 于点 F. DF/AC,DFBACB DFGECG AB=AC,BACB BDFB 因此 DB=DF, CE=DB,CEDF 在D

    6、FG 与ECG 中, DGFEGC DFGECG DFCE DFGECG, DGGE 知识模块:等边三角形知识模块:等边三角形 定 义 示例剖析 等边三角形的定义:三条边都相等的三角 形叫做等边三角形 如图ABC 中,ABACBC,则ABC 是等边三角 形. 等边三角形的性质: 三边都相等,三个内角都相等,并且每一 个角都等于60 如图,ABC是等边三角形,则 60ABACBCABC , 等边三角形的判定: 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三 角形 若ABACBC,则ABC是等边三角形 若ABC ,则ABC是等边三角形 若60

    7、ABACA ,(或60B,或60C) , 则ABC是等边三角形 【例 9】 已知: 如图, 在等边三角形ABC的AC边上取中点 D,BC 的延长线上取一点 E,使 DB=DE求证:CE=CD. 【答案】ABC是等边三角形, 60ABCACB D为AC中点, 30DBC, DBDE 30E ACBCDEE , CDCE. 【例 10】已知 A、B、C 三点共线,分别 AC、BC 为边,在直线 AB 同侧作等边CAN 和等 边BCM,易得 AM=BN (1)将CAN 绕点 C 旋转一定的度数,得到图(2) ,试问:AM=BN 吗? (2)将(1)中等边CAN 再绕点 C 旋转一定角度,得到图(3)

    8、 ,上述 AM=CN 还成 BC A BC A BC A E D C B A 立吗?请说明理由; (3)在旋转过程中,直线 AM 和直线 BN 所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变 吗?说说你的理由 【答案】(1)CAN为等边三角形,60CACNACN, 60 60 ( . . ). BCMCMCBBCM ACMNCMNCB ACMNCB S A SAMBN 为等边三角形, , (2)成立方法同(1) (3)不变AMBN令直线和直线所夹锐角为,所夹钝角为, 6060120 60 . ACMNCBAMCNBC NBMAMBNBMAMCBMC NBMNBCBMCCBMBMC , 【习题 1】 等

    9、腰三角形底边长为 7cm, 它的周长不大于 25cm, 则它的腰长 x 的取值范围是_ 【答案】 7 9 2 cmxcm A B C 图 1 N M A B C 图 2 M N A B C N 图 3 M 21 D B A C D A CB F E D A CB 【习题 2】(1)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50,则顶角的度数是_; (2) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 50,则顶角的度数是_ 【答案】(1)40或140;(2)100 【习题 3】(1)等腰三角形的一个外角等于 120,则它是 三角形; (2)等边三角形是轴对称图形,它有_条对称轴,分别是_ 【答案】(1)等边

    10、三角形;(2)三,三边的垂直平分线 【习题 4】在ABC 中,AB=AC,A=36,BD 平分ABC,DE/AB,EF/BD,则图中有等腰三角 形 个. 【答案】7 【习题 5】如图,在ABC 中,AB=AC,D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,求A 的度数. 【答案】A=36 【习题 6】如图,DBAB,DCAC,且1=2,试说明 ADBC 的理由. 【答案】先说明ABDACD,得 AB=AC, 进而利用“等腰三角形三线合一”得到 ADBC BA M DC O E D C A B F DE C B A 【习题 7】如图,OA=OB,AC=BD,且 OAAC,OBBD,点 M 在 CD 上

    11、,AOM=BOM,试说明 OMCD 的理由. 【答案】联结 OC=OD,则有OACOBD, 进而 OC=OD,AOC=BOD,则COM=DOM, 利用“等腰三角形三线合一”得到 OMCD 【习题 8】如图,在ABC 中,BAC=90,ADBC 于 D,AE 平分ABC 交 AD 于 F,交 AC 于 E, 试说明AEF 为等腰三角形的理由. 【答案】由角平分线得ABE=CBE, 则AFE=BFD=AEF,所以 AF=AE 【习题 9】如图,点 D 是ABC 的平分线与ACB 的外角平分线的交点,DE/BC,交 AB 于 E,交 AC 于 F,试说明 EF=BECF 的理由. 【答案】先说明 B

    12、E=DE,CF=DF, 则 EF=DEDF=BECF O E B A C D E B A C D 【习题 10】如图所示,在ABC 中,D、E 分别是 AC、AB 边上的点,BE=CD,BD=CE,试说明 OE=OD 的理由. 【答案】先说明BECCDB,得DBCECB , 进而有 OB=OC. 【习题 11】如图,点 D、E 在ABC 的边 BC 上,AD=AE,BD=EC,试说明 AB=AC 的理由. 【答案】由 AD=AE,得ADEAED,进而有ADBAEC 可以得到ABDACE,则 AB=AC. 【习题 12】如图,在等边三角形 ABC 中,点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的动点, 且 AD=BE=CF,说明DEF 是等边三角形的理由 【答案】60ABCABCABBCAC 是等边三角形, ADBECFBDCEAF, ADFBED在和中,() ADBE ABADFBED SAS AFBD , DFDEDEEF, 同理可证:,DEDFEFDEF,是等边三角形 A B C D E F


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