1、目录第1讲 巧算 1第2讲 行程和工程问题 9第3讲 和差倍鸡兔同笼 14第4讲 几何专题 20第5讲 整数和整除 54第6讲 素数合数分解素因数 59第7讲 最大公因数与最小公倍数 64第8讲 分数的意义和性质 70第9讲 分数的运算 75第10讲 分数与小数的互化 81第11讲 分数混合运算及应用 85第12讲 比的意义和性质 96第13讲 比例 100第14讲 百分比的意义 108第15讲 百分比的应用及等可能事件 114答案 130212第一讲 巧算一、【考点解读】测量物体时往往会得不到整数，于是就用小数来补充整数。小数是十进制分数的一种特殊表现形式。分母是10 ，100，1000的分
2、数也可以用小数表示。二、【知识讲解】加法运算定律加法交换律 加法交换律的概念为：两个加数交换位置，和不变。 同时从 字母公式：a+b+c=（b+a）+c 加法结合律 加法结合律的概念为：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母公式：a+b+c=a+(b+c) 乘法运算定律乘法交换律 乘法交换律的概念为：两个因数交换位置，积不变。 字母公式：ab=ba 乘法结合律 乘法结合律的概念为：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 字母公式：abc=a(bc) 乘法分配律 乘法分配律的概念为：两个数与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 字母公式：(a+b)c=ac+bc
3、减法性质 减法性质的概念为：一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加，再相减。 字母公式：A-B-C=A-(B+C) 差不变的规律 字母公式：A-B=(AN)-(BN)=(A-B)/N （N0 B0) 除法的性质 除法性质的概念为：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除。 字母公式：abc=a(bc) 商不变的规概念：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。比也是一样的：两个相比较的数扩大或缩小相同的倍数，比值不变。 字母公式：ab=(an)(bn)=(an)(bn) （n0 b
4、0) 小数的基本性质小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，数的大小不变。等差数列前n项和定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。表达方式：常用来表示 。求和公式：和=(首项+末项)项数，3、 【典例探究】【例题1】凑整法：把和为整十和整百的放在一起，先把这样的和算出来，然后算其他算式的和。用的方法有带符号搬家、先拆分再凑整。 （1）6.3+2.32+0.68+3.7 =（6.3+3.7）+（2.32+0.68=10+3=13分析：运用加法结合律，6.3与3.7刚好凑成10,2.32与0.68刚好凑成3，这样凑整可使运算简便。 （2） 11.48-2.34-5.66=11.48-（
5、2.34+5.66）=11.48-8=3.48分析：2.34与5.66的和是整数8，所以根据减法的运算性质把原式变为11.48-（2.34+5.66），运算就简便了。 （3）1999+199.9+19.99+1.999 =2000-1+200-0.1+20-0.01+2-0.001=2000+200+20+2-1-0.1-0.01-0.001=2220+0.889=2220.889分析：这几个数每个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数“凑整”以后，就容易计算了。当然要记住，“凑整”时增加了多少要减回去。1999接近整千数2000，其余各加数分别接近一个整数，可把各加数看作与
6、它接近容易计算的数，再把多加的那部分减去。【例题2】基准法：几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数位“基准数”。计算：8.1+7.8+8.2+8.4+7.9+7.7=86+0.1-0.2+0.2+0.4-0.1-0.3 =48+0.1+（0.2-0.2）+（0.4-0.1-0.3） =48+0.1=48.1分析：式中6个加数都在8的附近，可用8作为基准数，先求出6个8的和，再加上比8大的数中少加的那部分，减去比8小的数中多加的那部分。【例题3】拆拼法:把算式中的特殊数“拆开、拼凑”分别与另外的数运算。 （1）125.5 （2）4.441.25 （3）36.80.25 （4）2381.2
7、5 （5）0.2512.53.2分析：（1）运用分解法巧算，把12分解为62，然后运用乘法结合律，把25.2结合，积为11，最后求出6与11的积。 （2）把4.44分解为41.11，然后运用乘法结合律。 （3）因为40.25=1，所以一个数乘0.25，相当于给这个数除以4. （4）因为81.25=10，所以一个数除以1.25，相当于这个数除以10，再乘8，即先把被除数的小数点向左移动一位后，再乘8. （5）把3.2分解为40.8，再把4与0.26结合，0.8与12.5结合，即可简化运算。【例题4】移动小数点位置 （1）0.06952500+6950.24+516.95 =6950.25+695
8、0.24+6950.51 =695（0.25+0.24+0.51） =6951 =695分析：本题计算时，如果机械地按步计算，就很麻烦。如果能够从整体上观察其数字特征，就可以利用小数点位置移动引起的小数大小变化的规律，先将题中的小数进行适当的变化，如0.06952500变为6.9525，6950.24变为6.9524，516.95变为6.9551，这时，再利用乘法分配律计算就简便得多了。（2）2424.2424242.4 =24242.4242424 =（242410+24240.001）2424 =242410.0012424 =10.001分析：根据小数除法的计算法则将除数转化为整数，被除
9、数也扩大到它的10倍为2424.424，显然，24242.424可以写成242410+24240.001=242410.001，于是计算就简便多了。【例题5】计算：1+2+3+4+99+100的值。(思路1) 1+2+3+98+99+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+（50+51）=10150=5050思路2)这道题目，还可以这样理解： 和=1+2+3+98+99+100 +和=100+99+98+3+2+12倍和=101+101+101+101即 和=（101+1）1002=5050四、【课堂运用】【基础】【练习1】（1）5.32+2.06+19.4+1.84+7.68（2
10、）0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9【练习2】（1）11.2+10.9+11.5+11.3+10.4+10.8（2）23.67-3.25-8.43-6.75-1.57【练习3】(1)165.5 (2)8.881.25 (3)37.60.25(4)1451.25 (5) 0.25161.25【练习4】(1)0.790.46+7.90.24+11.40.079(2)2.005390+20.05+200.52(3)7.66.6+7.6+7.62.4【巩固】(1)4.75-9.64+8.25-1.36=_.(2)3.71-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_.(3)(5.2
11、5+0.125+5.75)8=_.(4)34.58.23-34.5+2.7734.5=_.【拔高】(1)6.250.16+2640.0625+5.26.25+0.62520=_.(2)0.035935+0.035+30.035+0.07610.5=_.(3)19.9837-199.81.9+19980.82=_.(4)13.59.9+6.510.1=_.(5)0.1250.250.564=_.(6)11.843-8600.09=_.【课后巩固】（1）0.035935+0.035+30.035+0.07610.5（2）0.88812573+9993（3）20-0.1-0.2-0.3-0.9（4）
12、1.1+1.2+1.3+9.8+9.9（5）3.03+3.06+3.09+7.02（6） 67=6.66.7=6.6666.7=6.666666.7=6.66666666.7=6.6666666666.7=第2讲 行程问题+工程问题一、【考点解读】行程问题：许多行程问题都是把相遇和追及的两个形式综合在一起，但语言的表述是有区别的，所以在应用的过程中，首先要学会判断这次运动是相遇还是追及，这样解题就有正对性。另外还要学会画线段图来帮助解题。工程问题：指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等。解答工程问题时，当工作总量不确定数值时，一般都是把总工作量看作单位
13、“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。二、【知识讲解】行程问题1.路程=速度时间2.顺水速度=静水速度+水速3.逆水速度=静水速度-水速相向运动：1）甲乙未相遇：甲路程+乙路程=总路程-相距路程2）甲乙相遇： 甲路程+乙路程=总路程 或 速度和时间=路程和3）甲乙相遇且各自继续向前走：甲路程+乙路程=总路程+相距路程追及问题：1）直线追及：甲在乙之后，甲的速度比乙快，当甲追上乙时： 甲路程-乙路程=最初相距路程 或 速度差时间=路程差2） 圆周追及：甲乙在同一起点起跑，甲的速度比乙快，当甲再次和乙并肩时： 甲路程-乙路程=圆形跑到一周的路程 工程问题工
14、程问题关系式是：工作总量工作效率工作时间或：工作总量工作效率和合作时间三、【典例探究】【例题1】甲、乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车又相距400千米？解析：先判定两车是相向运动，其次是判定辆车的实际行驶总路程，利用以上公式及其变形来解答。（1）两车在相遇之前相距200千米，说明两车只走了800-200=600千米。路程和速度和=时间（800-200）（52+48）=6（小时）（2）两车相遇，说明两车一起走恰好走完了全程800千米。路程和速度和=时间800（
15、52+48）=8（小时）（3）两车又相距400千米，是指两车相遇之后，在已经走完了全程的基础上，各自又继续向前走，最终相距400千米，那么此时的总路程是800+400=1200千米。路程和速度和=时间（800+400）（52+48）=12（小时）【例题2】两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，两小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时李甲地多远？解析：要求追上时离甲地多远，必须先求出追及时间，再用小卡车的速度乘以追及时间就可以了。路程差速度差=时间362（48-36）=6（小时） 486=288（千米）答：当小卡车追上大卡车时李甲地288
16、千米？【例题3】一篇稿件，甲、乙两人合打。甲一个人完成要5小时，乙一个人完成要8小时，求两人合打几小时可以完成？解析：解答工程问题时，当工作总量不确定数值时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。因此甲效率是，乙的效率是，合作效率是（+）。工作总量工作效率和合作时间. 答：两人合打需要小时. 四、【课堂运用】【基础】 【练习1】现有两列火车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行60千米，慢车每小时行45千米，经6小时两车相遇，则甲乙两地相距多少千米？【练习2】甲乙两人分别从两地同时出发，甲在乙后面间隔10千米处，乙的速度为每小时
17、40千米，经过2小时甲追上乙，则甲的速度是多少？【练习3】师徒俩共同加工一批零件，6天可以完工。现在师傅先加工了5天后，有事让徒弟接着加工，徒弟加工3天后，共完成这批零件的7/10，问师傅和徒弟单独加工这批零件各要几天？【巩固】【练习1】A、B两地相距496千米，甲车从A地开往B地，每小时32千米，甲车开出半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行64千米，乙车开出几小时后与甲车相遇？【练习2】小伟和小李两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米/分和160米/分，两人同时从起点同向，当两人起跑后第一次并肩时，经过了多长时间/【练习3】一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单
18、独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成。现在由甲乙两个工程共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？【拔高】【练习1】河水的流速是每小时2000米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后调头逆行向上到达中游的乙地，共用时8小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，甲、乙两地相距12千米，问甲、丙两地相距多少千米？【练习2】某人骑自行车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行进，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到。如果希望中午12时到，他应该以怎样的速度行进？【练习3】一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完
19、成。甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲队做多少天?五、【课后巩固】【练习1】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面的山坳里，从邮局开始要走12千米的上坡路，8千米的下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地后停留1小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？ 【练习2】一艘货船从仙桃开往武汉顺水二星，每小时行28千米，到武汉后又逆水而行回到仙桃，逆水比顺水多行一小时，已知水速每小时4千米，甲乙两地相距多少千米？【练习3】一项工程，甲、乙两队合作每天能完成全工程的9/40。甲队独做3天，乙队再独做5天后，可完成全工程的7/8。如果全工程由乙队单独做，多
20、少天可完成?【练习4】某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果甲、乙两人合做，需48天完成。现在甲先独做42天，然后再由乙单独完成，还需要多少天?【练习5】蓄水池有甲，丙两条进水管和乙，丁两条排水管。要管满一池水，单开甲管需要3个小时，单开丙管需要5个小时。要排光一池水，单开丙管需要4个小时，单开丁管需要6个小时，现在池内有1/6池水，如果同时打开甲乙丙丁四管，问多少时间后水开始溢出水池？ 第三讲 和差倍鸡兔同笼（方程解）一【考点解读 】 方程解应用题是非常重要的解题方法，和差倍，鸡兔同笼问题也非常具有代表性。学会用方程的方法解题，快速找到题中的等量关系。二 【知识讲解】 知
21、识点1 和差倍 ：和差倍问题分为和差，和倍和差倍。我们只要弄清楚里面的等量关系用方程解答会非常方便。知识点2 鸡兔同笼 鸡兔同笼常用方法是假设法，但是我们如果尝试用方程去解的话也非常方便。三【典例探究】【例题1】 甲乙两仓库共有货物1000吨，如果从甲仓库调50吨货物到乙仓库，那么甲乙仓库的货物同样多，问原来两仓库各存货物多少吨？分析：根据从甲仓库调50吨货物到乙仓库，这时两仓库货物相等，那么在调运之前，甲仓库货物比乙仓库多502（吨），确定了甲乙两仓库的差，又知道甲乙两仓库的和是1000吨，问题就解决了。解：设甲仓库原来有x吨货物 乙仓库有（x-502）吨 X+X-502=1000解得x=5
22、50 【例题2】学校里的足球只是只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和排球共72只，问三种求球各多少只？ 分析：我们可以设排球的只数为x只，则足球为3x只 篮球的只数为5x ,在利用足球和篮球的和为72求解。 解：设排球有x只，足球有3x只，篮球有5x只 3x+5x=72 解得 x=9 3x=27 5x=45 【例题3】 甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳子剪去同样的长度，剩下的甲绳长是乙绳的3倍，问剪去的绳子长多少米？ 分析：等量关系是剩下的甲绳是乙绳的3倍，可列出方程。解： 设剪去的绳子长X米。（63- x）=3（29-x）解得 x=12【例题4】 鸡兔同笼，共有3
23、5个头，94只脚，问鸡兔各多少只？ 分析 我们可以设鸡的只数为x，则兔的只数就是（35-x）只，在利用鸡脚加兔脚等于94列出方程即可。 解：设鸡的只数为x只，兔的只数为（35-x）只 2x+4（35-x）=94解得 x=23 四【课堂运用】【基础】 【练习1 】水果店运进香蕉苹果生梨共846千克，运来的香蕉比苹果的2倍还多17千克，运来的生梨比苹果的3倍少11千克，问运来香蕉多少千克？【练习2 】甲乙丙丁四个人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加上2，乙做的个数减去3，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人所做的零件个数正好相等，问四个人各做了多少个零件？【练习3 】 两袋盐重量相等，甲
24、袋取出24千克，乙袋装入28千克，这时乙袋的重量是甲带的3倍，问甲袋，乙袋原来各有盐多少千克？【练习4】 清凉山小学的教师和学生共100人去植树，教师每人栽3棵树，学生平均3个人载一棵树，一共栽100棵，问教师和学生各多少人？【巩固】【练习1】商店运来橘子 ,苹果,香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，问橘子重多少千克？【练习2】兄弟两人各有铅笔若干支，如果弟弟给哥哥6支，则哥哥的支数是弟弟的3倍，如果哥哥给弟弟6只，则两人的支数相同，问兄弟两人原来各有多少支？【练习3】小华和小明各有一些钱，如果小明给小华15元，那么两人的钱一样多，如果小华给小明15
25、元，那么小明的钱是小华的3倍，问原来两人各有多少钱？【练习4】食品工厂在生产蛋糕时规定，每个工人每天做50个，每做一个好的记8分，每做坏一个扣2分，张师傅在一天的工作中获得了300分，则他做坏了多少个蛋糕？【拔高】 【练习1】 鸡兔共有160只脚，若将鸡兔数量互换，则共有脚200只，问鸡兔各有多少只？【练习2】王港小学内有一群雕塑，共有两种类型，甲种为8根柱子1个装饰物，乙种为1根柱子8个装饰物。现有柱子133根，装饰物182个，则共有多少件雕塑？【练习3】 小敏外出逛商店，她先进了一家服装店，用去了所带钱的一半多10元，又进入了化妆品店，花去了余下钱的一半多10元，她又进了一家宠物店，买了一
26、只小兔子，用去了她余下钱的一半，最后用剩下的10元钱买了些日用品，则小敏出去时共带了多少元钱？五 【课后巩固】【练习1】鸡兔同笼，共有1000只，且鸡脚比兔脚少70只，则鸡兔各多少只？【练习2】某学校进行一次数学竞赛，共有20题，做对一题得5分，做错或没做一题扣2分，小英共得了86分，她做对了多少题？【练习3】精英小学新购买了24件课桌椅，共花去1536元，每把椅子31元，每张桌子97元，则购买椅子多少把？桌子多少张？【练习4】 小芳和小梅今年的年龄和是39岁，小梅比小芳大3岁，小芳今年多少岁？【练习5】两个玻璃杯里共有50颗弹珠，如果从第一个玻璃杯中拿走6颗，两个杯中的弹珠数就相同了，原来第
27、一个玻璃杯中有多少个弹珠？【练习6】果园里有桃树，梨树，苹果树共552棵，桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，问桃树，梨树，苹果树各多少棵？【练习7】甲乙丙三人，甲的年龄是乙的2倍还大3岁，乙的年龄是丙的2倍小2岁，三个人的年龄和是109岁，甲乙丙各几岁？【练习8】 甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？第四讲 几何专题 几何（一） 平面图形一、【考点解读】小学升初中这个阶段的平面几何问题，是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用，交织而成。攻克平面几何，一定要从等积变形开始。知识框架 【知识讲解】
28、1、等积变形。等积变形，它的特点是利用面积相等而进行相互转换，面积相等的两个图形我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形，更多的是三角形的等积变形，三角形等积变形的中心思想是等底等高，因为三角形的面积=底高2，所以说等底等高的两个三角形面积相等。另外，等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积也相等。在实际中，我们经常用到的与等积变形相关的性质主要有以下几点：1直线平行于，可知；反之，如果，则可知直线平行于。（因为平行线间的距离是处处相等的哦！，聪明的你想到了吗？）2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；特别地，我们有 等腰三角
29、形底边上的高线平分三角形面积；三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；平行四边形的对角线平分它的面积3共边定理：若和的公共边所在直线与直线交于，则；4共角定理：在和中，若或，则。5过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：。 6E为矩形ABCD内部的任意一点，则；当E落在矩形的某条边上时，也成立。特别地，（5）（6）两条性质对于平行四边形同样成立。2、五大模型。我们把学习中经常遇到的问题归纳为五个基本的模型，总的来说，这五个基本模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我们一起来感受一下模型的魅力吧！模型一：在同一三角形中，相应面积与底成正比关系
30、：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 或：两个三角形底相等，面积之比等于对应的高之比。 S1S2 =ab ；拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的= 鸟头定理是对模型一的一个拓展，有兴趣的话，你可以试着证明一下哦！模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4 AOOC=（S1+S2）（S4+S3）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。模型三：梯形中比例关系
31、（“梯形蝴蝶定理”）S1S3=a2b2S1S3S2S4= a2b2abab ； S的对应份数为（a+b）2梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。构造模型，直接应用结论，往往有事半功倍的效果。模型四：相似三角形性质 ； S1S2=a2A2 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形，（只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似），与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：1相似三角形的对应角相等，对应边成比例。2相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于它们的相似比。3相似三角形周长的比等于它们的相似比。4相
32、似三角形面积的比等于它们相似比的平方。5特别的，连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线。关于三角形的中我们有这样一个结论：三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。对于梯形，我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯形的中位线。梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半。6那么如何判断三角形是不是相似呢？我们一般有三种方法：a：三个角对应相等的三角形相似，（事实上只要有两个角相等就可以了）。b：有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。c：三边分别对应成比例的三角形相似。注意：在小学奥数里，最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形，如模型四。相似
33、三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。模型五：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SEGCBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SFGCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。3、计算过程中连接辅助线的四个原则。几何作为数形结合的学科，图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用。在小学阶段的平面几何学习中，我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四个原则：1 把四边形或多边形变为三角形，如： （2）连接等分点，例如
34、： （3）构造模型，例如： 4做高线，构造直角三角形 三、【典例探究】【例1】如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_。【分析与解】： 题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个三角形ABC的面积是已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使边的倍比关系可以转化为面积之比，可以选择模型一应用。详解过程：解：连结AE、BF、CD（如上右图） 由EB=2BC，得SABE=2。同理可得SAED=2SBEF=2SCBF =6 SCFD =3SACD =3。 所以 SDEF= 1+2+3+1
35、+2+6+3=18。点评：这是北京市第一届“迎春杯”刊赛第32题，非常经典。解题过程中通过连接AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联，再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解。【例2】设，如果三角形的面积为19平方厘米，那么三角形的面积是_平方厘米。【分析与解】和【例1】类似，题目已知条件中边的倍比关系比较多，可以考虑应用模型一。解： SABC=(+) SABC+19 点评：图形长得很普通，而题目当中又给了那么多的倍比关系，那我们是不是可以考虑构造模型一呢？整体看，除了，其余三个我们可以直接用“鸟头定理”。鸟头定理也是本题的一个中心考点。【例3】四边形的
36、对角线与交于点（如图）所示。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍。【分析与解】在本题中四边形ABCD为任意四边形，且出现SABD：SBCD=1：3。联想模型二蝴蝶定理结论。详解过程：解法一： 解法二： 点评：在本题中，三角形和三角形的面积之比如何转化是关键。方法一直接应用模型二蝴蝶定理的结论，而我们也可以不应用蝴蝶定理，那么观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，我们需要一个中介，于是做垂直于H，于，面积比转化为高之比。再应用模型一的结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出AO=CO。【例4】：如下图所示，AEEC12，CDDB14，BFFA1
37、3，三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是_。 【分析与解】：四边形AFHG的面积可以看作是三角形ABC的面积减去三角形BEC的面积再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积得到的。如何把三角形边的倍比关系和要求的面积相联系，是这道题的重点问题。详解过程：以下各图为了强调相关部分，暂去掉另外线条。解： 如图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。如上图，我们设BFHx，则AFH3x；设AHEy，则CEH2y；于是有ABE4x+y ACF3y+3x有，则9x，所以x；如下图，我们设AEGa，则CEG2a；设CDGb，则BDG4b；于是有ACD3a+b BCE2a+5b有
38、，则13a，所以a；这样，AFHGABEBFHAEG。点评： 求四边形，可由三角形的面积减去三角形的面积，再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积。而三角形的面积可从三角形面积与底边的比例关系得到，于是问题转化为如何求及。与可由二元一次方程组分别解得。注意考点： 鸟头定理和蝴蝶定理的应用【例5】设正方形的面积为1，下图中E、F分别为AB、BD的中点，GC=FC。求阴影部分面积。【分析与解】：阴影部分为三角形，知道底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可解出面积。解： 作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I根据相似三角形定理 CGCF=CICH=13 又CH=HB CICB=16即BICB=（6
39、-1）6=56SBGE=。点评：本题考查模型四，利用三角形相似的性质，求出三角形对应边的比例关系及长度，从而确定阴影部分的面积。【例6】ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米。【分析与解】：题目中出现E、F分别为边的中点， 可以考虑应用中位线定理。解：设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD。可得 SAED=S平行四边形ABCD 对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，DOED = BD BD=23OEED=（ED-OD）ED=（3-2）3=13所以 SAE0=S平行四边形ABCD=72=6 SADO= 2SAEO=12。同理可得SCFM=6，SCDM=12。 所以 SABC- SAEO- SCFM=24于是 阴影部分的面积=24+12+12=48点评：连接EF，BD，根据模型4以及三角形的中位线定理，判断出O，M分别是其所在线段的三等分点，由此求出SAEO及SCFM，最后得出阴影部分的面积。注意：本题应用了三角形的中位线定理以及平行线的相关性质。【例7】（）如图，在平行四边形ABCD中，BE=EC，CF=2FD。求阴影面积与空白面积的比。【分析与解】：题目中阴影部分不规则，
浙公网安备33030202001339号