1、不等式全章复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 了解不等式（组）的实际背景； 2. 通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图；3. 能用平面区域表示二元一次不等式组，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；4. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.【知识网络】不等式不等关系与不等式一元二次不等式及其解法二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式最大（小）值问题简单的线性规划【要点梳理】要点一：不等式的主要性质(1)对称性：.(2)传递性：.(3)加法法则
2、：；.(4)乘法法则：；.(5) 乘方法则：.(6) 开方法则：.要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.要点二：三个“二次”的关系1. 一元二次不等式或的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表：函数（）的图象方程的根有两相异实根有两相等实根无实根的解集R的解集2. 解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：.（2）计算判别式，分析不等式的解的情况： 时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；时，求根；时，方程无解.（3）写出解集. 要点诠释：若，可以转化为的情形解决.要点三：线性规划1. 用二元一次不等
3、式（组）表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当时，常把原点作为此特殊点）3. 线性规划的有关概念（1） 线性约束条件：如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件（2）线性目标函数：关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析
4、式，叫线性目标函数 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题（3）可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（，）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤（1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；（2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；（4)作答要点四：基本不等式1. 两个重要不等式 ，那么（当且仅当时取等号“=”） 基本不等式：如果是正数，那么（
5、当且仅当时取等号“=”）.2. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：称为的算术平均数； 几何平均数：称为的几何平均数.要点诠释：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3. 基本不等式的应用 ，且（定值），那么当时，有最小值； ，且（定值），那么当时，有最大值. 要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件： 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.4. 几个常用变形不等式 （当且仅当时等号成立）； （当且仅当时等号成立）； ；特别地：； .【典
6、型例题】类型一：不等式性质的应用例1若，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A B C D【思路点拨】利用作差法或作商法比较两数大小；或利用赋值法排除选项.【答案】B【解析】，.由，（A）成立.由，（C）成立.由，（D）成立.，（B）不成立.故应选B【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误.举一反三：【变式】已知，则成立的一个等价条件是（ ）A. B. C. D.【答案】C例2如果，则(1) 的取值范围是 ； (2) 的取值范围是 .【答案】(1)（46，66）； （2）（480，1008）【解析】（1）利用不等式的性质可得；（2）利用不等式的
7、性质可得.【总结升华】注意同向不等式的加法法则和乘法法则的正确应用，注意其使用条件.举一反三：【变式】如果，则(1) 的取值范围是 ； (2) 的取值范围是 .【答案】(1)（-18，-10）； （2）.例3已知函数，满足，那么的取值范围是 .【解析】解法一：方程思想(换元)：由 ，求得 又 ，即.解法二：待定系数法设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)解法三：数形结合(线性规划)所确定区域如图：设，将边界点(0，1)(3，7)代入即求出.【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两
8、边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.举一反三：【变式】已知，求的取值范围.【答案】-3，10类型二：一元二次不等式的有关问题例4不等式的解集为 ，则=_， =_.【思路点拨】一元二次不等式解集中的端点就是对于的方程的两个根，利用根与系数的关系（韦达定理）列方程组，即可求出，的值.【解析】由不等式的解集为x|-1x2知a0对任何xR恒成立a0且=b2-4ac0；ax2+bx+c0对任何
9、xR恒成立a0且=b2-4ac0. 与不等式恒成立相互依存，相互支撑与相互转化的最值命题：f(x)恒成立f(x)的最小值f(x)恒成立f(x)的最大值.举一反三：【变式】若对于任意R恒有，求的值.【答案】对任意xR有恒成立对任意xR 恒成立又因mN*，m=1类型三：二元一次方程（组）与平面区域例6设集合=是三角形的三边长，则所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ） 【解析】利用三角形的三边关系得：，即 表示的平面区域为A选项.【总结升华】注意本例中三角形本身的性质.举一反三：【变式1】不等式组所表示的平面区域为（ ） A B C D【答案】B【变式2】不等式组在平面上的解的集合为（ ）A
10、四边形内部 B. 三角形內部 C.一点 D.空集【答案】B【解析】不等式组所表示的平面区域图形如下， 交集为三角形内部，选B.类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例7某公司招收男职员名，女职员名，和需满足约束条件则的最大值是（ ）A80 B85 C90 D95【思路点拨】画出可行域，目标函数的最大值只能在构成可行域的三角形的顶点处取得，求出顶点坐标代入目标函数即可.【答案】C【解析】先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分所示.由 解得 但xN*，yN*，结合图知当x=5，y=4时，zmax=90.【总结升华】结合实际问题，注意约束条件中变量的取值范围.举一反三：【变式】设变量满足约
11、束条件则目标函数的最小值为（ ）A2 B3 C4 D9【答案】B【解析】如图可知，在点（1，1）处取得最小值，zmin=3.类型五：基本不等式的应用例8一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于 km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？【思路点拨】设出合适的变量，建立相应的函数关系式，注意自变量的取值范围，利用均值不等式求其最小值.【解析】设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km400 km所用的时间，因此.当且仅当，即x80时取“”故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时【总结升华】在解答应用问题时要加强将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达文字语言所反映的数学关系的能力.举一反三：【变式1】求的最大值.【答案】【解析】且为常数，（当且仅当时取等号），当时，.【变式2】建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为 元.【答案】1760【解析】设水池池底的一边长为xm，则另一边长为，则总造价y为：（元）当且仅当即时，y取最小值为1760.所以水池的最低造价为1760元.
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