1、推理与证明全章复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊 【考纲要求】1.能对推理与证明的各种方法进行梳理，建立知识网络，把握整体结构.2.能比较数学证明的几种基本方法的思维过程和特点，灵活选用各种方法进行一些数学证明.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用.【知识网络】【考点梳理】要点一：归纳与类比数学推理是由一个或几个已知的判断(或前提)，推导出一个未知结论的思维过程一般包括合情推理和演绎推理，而归纳和类比是合情推理的两种主要形式.归纳推理概念根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称
2、归纳）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，一般分为完全归纳推理与不完全归纳推理.一般步骤推广为明确表述的一般命题（猜想）检 验观察特例发现相似性类比推理概念 两类不同的对象具有某些共同的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程叫类比推理 一般步骤（1）找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）（3）检验猜想要点诠释：（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；而类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性
3、.（2）归纳推理的前提是特殊的情况，所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的；类比是根据已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果.（3）归纳和类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能（4）注意合情推理和演绎推理的区别演绎推理是从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，是由一般到特殊的推理演绎推理的特征是前提为真，结论必为真要点二：综合法与分析法1.综合法定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是这样一种思维方法：从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证
4、明的结论，直到完成命题的证明综合法是一种执因索果的证明方法，又叫顺推法思维框图：用表示已知条件，表示要证明的结论，为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为：（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）2. 分析法定义一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.，分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：
5、（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）要点诠释：（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程分析法一般用于综合法难以实施的时候（2）有不等式的证明，需要把综合法和分
6、析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点 命题“若P则Q”的推演过程可表示为： 要点三：反证法中学阶段反正法是最常见的间接证法.定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等
7、矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的格式：用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下： 反证法的一般步骤： （1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立； （2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立要点诠释：（1）反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独
8、特的效果（2） 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.要点四：数学归纳法数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当n取第一个值时结论正确；（2）假设当时结论正确，证明时结论也正确，由（1）（2）确定对时结论都正确。要点诠释：（1）数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法：第（1）步是递推的基础，第（2）步是递推的依据.（2）不要弄错起始n0：n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题）（3）项数要估算正确：特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）（4）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥
9、梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）（5）切忌关键步骤含糊不清：“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）【典型例题】类型一：归纳与类比例1设，计算的值，同时作出归纳推理，并用=40验证猜想结论是否正确.【思路点拨】先计算的值，观察这10个数的共同特征，归纳出一般性的结论，再验证是否符合这个结论。【解析】由此猜测，为任意正整数时，都是质数.当=40时，为合数，因此猜想的结论不成立.【总结升华】所谓归纳，就是由特殊到一般
10、，因此在归纳时要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般性的结论，若无严格要求，结论并不唯一。如本题中，观察已知的10个数据，可知它们都是质数或奇数，因此，除本题解析中做出的猜测外，还可以得出结论：为任意正整数时，都是奇数。在这个猜测中，是成立的。举一反三：【变式1】观察下来等式：1=1， 13=1，1+2=3， 13+23=9，1+2+3=6， 13+23+33=36，1+2+3+4=10， 13+23+33+43=100，1+2+3+4+5=15. 13+23+33+43+53=225.可以推测：13+23+33+n3=_（nN*,用含有n的代数式表示）.【答案】 第二列的右端分别是12，
11、(1+2)2，(1+2+3)2，(1+2+3+4)2，(1+2+3+4+5)2，依次规律，第n个式子可化简为(1+2+3+n)2=.【变式2】观察下来等式：1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个式子是_.【答案】例2. 在中，若=90，则，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想. 【思路点拨】探索平面到空间的类比规律，给出四面体性质的猜想。【解析】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体，且三个面与面所以成的二面角分别是，.于是，把“在RtABC中，若C=90，则cos2A+cos2B=1”类比到四面体，我们
12、猜想：三棱锥中，若三个侧面、两两互相垂直且分别与底面所成的角为，则.【总结升华】从平面的某些结论，按照类比思想，拓展到空间后结论的形成，有如下规律：（1）平面内的线段（长），类比到空间变为平面图形（面积）；（2）平面内的三角形（的面积），类比到空间变为三棱锥（的体积）；（3）平面内直角三角形的斜边，类比到空间变为三棱锥的底面； （4）平面图形的内角，类比到空间变为两个平面的夹角；（5）平面内两项的和（积或商），类比到空间变为三项的和（积或商）.举一反三：【变式1】由图1有面积关系：，则由图2有体积关系：_.【答案】【变式2】如图（1），在三角形中，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面
13、，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题【解析】命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题证明如下：在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有因为面，所以又，所以于是类型二：综合法与分析法例3已知，是正实数，求证：.【证明】证法一：分析法要证，只要证即证，即证.显然成立，所以证法二：综合法（当且仅当a=b时取等号），所以【总结升华】综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，在实际应用中，要注意选用合适的方法，选择的依据是：对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到
14、中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P. 若PQ，则结论得证举一反三：【变式1】在锐角三角形ABC中，求证：【证明】综合法在锐角三角形ABC中，在内正弦函数单调递增，,即，同理，.【变式2】已知，且，求证：【证明】分析法因为，且，所以，.要证明原不等式成立，只需证明r，即证，从而只需证明，即，因为，所以成立，故原不等式成立类型三：反证法【高清课堂：推理与证明、数学归纳法407426 例5】例4设二次函数中的、均为奇数，求证：方程无整数根.【思路点拨】由于要求证的结论中含有否定词“无”，故可选用反证法.先作出假设，即对结论进行否定，以此为条件，运用演绎推理，导出一个与题设矛盾的结
15、论.【证明】假设方程 有整数根，则成立，所以.因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.因为已知、为奇数，又为奇数，所以为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，原命题成立.【总结升华】反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.举一反三：【变式1】已知是整数，是偶数，求证：也是偶数【证明】假设不是偶数，即是奇数设，则是偶数，是奇数，这与已知是偶数矛盾由上述矛盾可知，一定是偶数【变式2】设函数在内都有，且恒成立，求证：对任意都有.【证明】假设“对任意都有”不成立，则，有成立，.又.这与矛盾，所以假设不成立，原命题成立.类型四：数学归纳法例5用数学归
16、纳法证明等式： .对所有均成立.【思路点拨】在利用归纳假设论证等式成立时，注意分析与的两个等式的差别.时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为.因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式.所以，在论证之前，把时等式的左右两边的结构先作一分析.【证明】（1)当时，左式=，右式=， 左式=右式，等式成立.（2)假设当()时等式成立，即，则当时，即时，等式也成立，由（1)（2)可知，等式对均成立.【总结升华】（1）数学归纳法的第二步是递推的“依据”，是论证过程的关键，在论证时必须用到时的假设结论，然后通过恰当的推理和计算来证明时命题也成立.（2）数学归纳法的证明过程中，要把握好
17、两个关键之处：一是与的关系；二是与的关系.举一反三：【变式1】有一位同学用数学归纳法证明：对所以均成立的证明过程如下：【证明】（1)当时，左式=1=右式， 等式成立.（2)假设当 ()时等式成立，即，当时，左式=而这是以1为首项，公差为3的等差数列的前项的和，所以左式=右式即当时，等式成立.由（1)（2)可知，等式对均成立.问题：这样证明对吗？如有问题，请予指出.【解析】不对.因为在证明等式成立时，没有用到时的假设结论，不符合数学归纳法的证明步骤.正确的证明如下：（1)当时，左式=1=右式， 等式成立.（2)假设当 ()时等式成立，即，当时，左式=右式即当时，等式成立.由（1)（2)可知，等式
18、对均成立.【变式2】在数列中，当时，且设，证明：数列的各项均为3的倍数.【证明】（1) ，当时，为3的倍数，命题成立.（2)假设当 ()时命题成立，即为3的倍数，则当时， 由假设知：为3的倍数，又因为为3的倍数所以为3的倍数，即当时，等式成立.由（1)（2)可知，数列的各项均为3的倍数对均成立.例6已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且对于所有的非零自然数n, 与2的等差中项等于与2的正的等比中项.（1）写出的前三项；（2）求的通项公式；（3）令，求.【思路点拨】采用归纳-猜想-证明的方法，即根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后归纳出其中的规律，写出其通项【解析】（1）由已知得：
19、， 当时，解得； 当时，即，解得；当时，解得.（2）方法一：， ，又,整理得，即 ()，又,是首项为2，公差为4的等差数列，故.方法二：由（1）猜想： ()下面用数学归纳法证明当时已成立假设时，命题成立.即成立 当时， 又, ,的各项均为正数即时，结论也成立.由可知，对一切，.（3） .【总结升华】（1）归纳推理所得到的结论有可能正确，也有可能错误，它的正确性需要严格的证明因此在具体问题中，常常用归纳推理去猜测发现结论，而利用演绎推理去验证或证明发现的结论这也是数学发现的一条重要途径（2）本题考察了与之间的关系；本题既可以用数学归纳法，还可用递推关系.在利用归纳假设进行论证这一步中，应利用去求
20、，而不是利用求和.举一反三：【变式1】已知数列的通项公式是.若，试比较与；与；与的大小，猜测与()的大小关系并加以证明；【解析】由题意，；, ；, .猜测：.下面用数学归纳法证明：验证,时成立.假设n=k时，成立.即成立，等价于.则当时，即时，成立.由，可得对任意成立.【变式2】已知等差数列的前10项的和，（1）求数列的通项公式；（2）若从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，第项，按原来的顺序排成一个新的数列，试求此新数列的前n项的和；（3）设，试比较与的大小并说明理由.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得（2）（3）当时，当时，当时，当时，当时，由此猜测：时，时下面用数学归纳法证明：时当时，可以验证结论成立，假设时，结论成立，即则时，且又 即即时猜想成立由（1）（2）可知：时成立.综上所述，时，时.
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