1、专题七几何图形综合题类型一 与全等三角形有关的探究 (2014安徽)如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P点作PMAB交AF于点M，作PNCD交DE于点N.(1)MPN_；求证：PMPN3a；(2)如图2，点O是AD的中点，连接OM，ON.求证：OMON；(3)如图3，点O是AD的中点，OG平分MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？说明理由【分析】(1)正六边形的每个内角均为120，且PMAB，PNCD，BPMCPN60；作AGMP于点G，作BHMP于点H，作DKNP于点K，作CLNP于点L，得GHABa，KLCDa，再利用正六边形内角的关系和性质可求出HPPL
2、和MGKN的值，再根据PMPNMGGHHPPLLKKN计算PMPN的值即可证明；(2)根据题意，先证明OAMOEN，即可证得OMON；(3)先证明GOENOD得OGON，再证明GON和OMG是等边三角形，得到OMMGGNNO，即可得到四边形OMGN是菱形【自主解答】 【方法点拨】本题是压轴题，综合性较强，每小问都需作出辅助线，然后利用数形结合、转化思想进行求解，如(1)中的，将证明PMPN3a转化为ABCDGMPHPLNK3a，(3)中将问题转化为证明MGO与NGO都为等边三角形，对学生的思维能力要求较高【难点突破】本题的难点是第(3)问，突破口是作辅助线OE，既可利用(2)的结论及已知推出M
3、ON120，又可以证明GOENOD达到证明OGON的目的，从而使问题解决1(2019安顺)(1)如图1，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证AEBFEC得到ABFC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断AB，AD，DC之间的等量关系为 _(2)问题探究：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论 图1 图22已知ABC为等边三角形，点D为
4、直线BC上的一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作等边ADE(顶点A，D，E按逆时针方向排列)，连接CE.(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：BDCE；ACCECD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论ACCECD是否成立？若不成立，请写出AC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC，CE，CD之间存在的数量关系3(2019黑龙江)如图，在ABC中，ABBC，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点F，BHAB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H.(1
5、)如图1所示，若ABC30，求证：DFBHBD；(2)如图2所示，若ABC45，如图3所示，若ABC60(点M与点D重合)，猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明类型二 与相似三角形有关的探究 (2012安徽)如图1，在ABC中，D，E，F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BCa，ACb，ABc.(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分EDF；(3)连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG.【分析】(1)根据BDG与四边形ACDG的周长相等和D是BC的中点，可知BGACAG.根据等量代换即可求得BG的长(
6、2)由题可知DF，BF的长，根据等边对等角的性质，可知FDGFGD，由三角形中位线定理可知DEAB，根据角的基本运算和角平分线的定义即可得证(3)根据相似三角形对应角相等的性质和等量代换可知FGDB，根据等角对等边的性质可知DGBDCD，根据圆内接三角形的性质可得B，G，C三点在以BC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角的性质即可证得BGCG.【方法点拨】本题中涉及线段长度的求解有两个思路：一是直接求；二是通过等量代换来求而证明角平分线常用到角平分线定义或判定定理，证明两直线垂直常用到勾股定理或圆中直径所对的圆周角是直角的性质【难点突破】结合图形可以发现如果BGCG，那么B，G，C三点共圆
7、，故只需证明DGBDCD即可突破难点1(2019蚌埠一模)如图1，设D为锐角ABC内一点，ADBACB90.(1)求证：CADCBD90；(2)如图2，过点B作BEBD，BEBD，连接EC，若ACBDADBC，求证：ACDBCE；求的值2(2019合肥庐阳区一模)如图1，在RtABC中，ACB90，AC2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD的垂线交BD的延长线于点E.(1)若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MNEC；(2)如图2，过点C作CFEC交BD于点F，求证：AE2BF；(3)如图3，在(2)的条件下，若在BE的延长线上取点P，使EAPBAC，求证：PEBF.3(2
8、019芜湖二十九中一模)在矩形ABCD中，AB3，AD4，点P为AB边上的动点(P与A、B不重合)，将BCP沿CP翻折，点B的对应点B1在矩形外，PB1交AD于点E，CB1交AD于点F. (1)如图1，求证：APEDFC；(2)如图1，如果EFPE，求BP的长；(3)如图2，连接BB1交AD于点Q，EQQF85，求tanPCB.4(2019宁夏)如图，在ABC中，A90，AB3，AC4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点(点M不与A，B重合)，且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x.(1)试说明不论x为何值时，总有QBMABC；(2)是否存在一点Q，使得四边形
9、BMNQ为平行四边形，试说明理由；(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值类型三 与全等和相似三角形有关的探究 (2019安徽)如图，RtABC中，ACB90，ACBC，P为ABC内部一点，且APBBPC135.(1)求证：PABPBC；(2)求证：PA2PC；(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12h2h3.【分析】(1)结合题意，易得ABC45PBAPBC，然后由APBBPC135即可证明PABPBC；(2)根据(1)中PABPBC，可得，然后由ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA2PC；(3)过点P作PDBC，PEAC交BC、
10、AC于点D，E，首先由RtAEPRtCDP得出2，即2，再根据PABPBC可得出，整理即可得到h12h2h3.【自主解答】 1(2017安徽)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点(1)如图1，点G为线段CM上的一点，且AGB90，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.求证：BECF；求证：BE2BCCE.(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2BCCE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tanCBF的值2(2018安徽)如图1，RtABC中，ACB90，点D为边AC上一点，DEAB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.(1)求证：CMEM；(2)若B
11、AC50，求EMF的大小；(3)如图2，若DAECEM，点N为CM的中点，求证：ANEM.3(2019合肥瑶海区一模)如图，在ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰RtADB与等腰RtAEC，DABEAC90，连接DC，EB相交于点O.(1)求证：BEDC；(2)若BEBC.如图1，G、F分别是DB、EC中点，求的值如图2，连接OA，若OA2，求DOE的面积4(2018海南)已知，如图1，在ABCD中，点 E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点 F.(1)求证：ADEBFE；(2)如图2，点G是边BC上任意一点(点G不与点B，C重合)，连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK
12、HC，交DF于点K.求证：HC2AK；当点G是边BC中点时，恰有 HDnHK(n为正整数)，求n的值5(2019郴州)如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与A，B重合)，把ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.(1)求证：A1DEB1EH；(2)如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断DEF的形状，并说明理由；(3)如图3，在(2)的条件下，点G为DEF内一点，且DGF150，试探究DG，EG，FG的数量关系6(2019合肥38中一模)如图1，在矩形
13、ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AECF，12.(1)求证：EFAC；若，求的值；(2)联系拓展：如图2，在四边形EFGH中，EFG90，EFEH10，GFGH5，EMHN，点M，N分别在边FG，EF上，求的值7(2019合肥蜀山区一模)如图1，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，E是BC边上一点，连接AE交CD于点F，作EGAE交AB于点G.(1)求证：AFCEGB；(2)若E是BC边的中点如图2，当ACBC时，求证：EFEG；如图3，当n时，探究的值，并说明理由参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)
14、解：60证明：如解图1，作AGMP于点G，作BHMP于点H，作DKNP于点K，作CLNP于点L，PMPNMGGHHPPLLKKN，解图1正六边形各个角都等于120，且PMAB，PNCD，GHABa，KLCDa，且BPMCPN60.HPBPcos 60BP.PLPCcos 60PC，HPPL(BPPC).六边形ABCDEF是正六边形，且PMAB，PNCD，四边形ABPM和四边形CDNP均为等腰梯形，根据等腰梯形的性质MGHP，KNLP.MGKNHPLP.PMPNMGGHHPPLLKKNaa3a. (2)证明：如解图2，连接OE，六边形ABCDEF是正六边形，且PMAB，PNCD，则可得四边形AB
15、PM和四边形CDNP为等腰梯形，则AMBP，CPND.又BCED，AMBPEN.解图2点O是AD的中点，OAOE，OAMOEN60.在OAM和OEN中，OAMOEN(SAS)OMON.(3)解：四边形OMGN是菱形，理由如下：如解图3，连接OE，解图3由(2)得OAMOEN，则AOMEON.EFAD，AFOE，四边形AOEF是平行四边形F120，AOE120，DOE60.AOMEON，MON120，OG平分MON，GONMOG60.GOEGONEON60EON，NODDOEEON60EON，GOENOD.在GOE和NOD中，GOENOD(ASA)，OGON.GON60，GON是等边三角形，GN
16、ON，OMON，OMOG，MOG60，OMG是等边三角形，OMMGGNNO.四边形OMGN是菱形跟踪训练1解：(1)ADABDC.理由如下：AE是BAD的平分线，DAEBAE.ABCD，FBAE.DAFF.ADDF.点E是BC的中点，CEBE，且FBAE，AEBCEF，CEFBEA(AAS)，ABCF.ADCDCFCDAB.(2)ABAFCF.理由如下：如解图，延长AE交DF的延长线于点G，E是BC的中点，CEBE，ABDC，BAEG.且BECE，AEBGEC.AEBGEC(AAS)ABGC.AE是BAF的平分线，BAGFAG.BAGG，FAGG.FAFG.CGCFFG，ABAFCF.2解：(
17、1)ABC和ADE都是等边三角形，ABACBC，ADAE，BACDAE60.BACCADDAECAD.即BADCAE.在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)，BDCE.BCBDCD，ACBC，ACCECD.(2)ACCECD不成立，AC，CE，CD之间存在的数量关系是：ACCECD.理由：ABC和ADE都是等边三角形，ABACBC，ADAE，BACDAE60.BACCADDAECAD.BADCAE.在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)，BDCE.CECDBDCDBCAC.ACCECD；(3)补全图形(如解图)，AC，CE，CD之间存在的数量关系是：ACCDCE.理由：ABC和ADE都
18、是等边三角形，ABACBC，ADAE.BACDAE60.BACBAEDAEBAE.BADCAE.在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)BDCE.BCCDBD，ACCDCE.3(1)证明：连接CF，如解图所示：ADBC，BEAC，CFAB.BHAB，CFBH.CBHBCF.点M是BC的中点，BMMC.在BMH和CMF中，BMHCMF(ASA)BHCF.ABBC，BEAC，BE垂直平分AC.AFCF.BHAF.ADDFAFDFBH.在RtADB中，ABC30，ADBD.DFBHBD；(2)解：图猜想结论：DFBHBD；理由如下：同(1)可证：ADDFAFDFBH，在RtADB中，ABC45，A
19、DBD.DFBHBD.图猜想结论：DFBHBD；理由如下：则(1)可证：ADDFAFDFBH，在RtADB中，ABC60，ADBD.DFBHBD.类型二【例2】 (1)BDG与四边形ACDG的周长相等，BDBGDGACCDDGAG.D是BC的中点，BDCD，则BGACAG.BGAGAB，BGACABBG，即BG(ABAC)(bc)(2)点D，F分别是BC，AB的中点，DFACb，BFABc.FGBGBF(bc)cb，DFFG，则FDGFGD.点D，E分别是BC，AC的中点，DEAB，故EDGFGD，FDGEDG，即DG平分EDF.(3)当BDGDFG时，则BFDG，由FDFGb可得FDGFGD
20、，FGDB，故DGBD.BDCD，BDGD，DGBDCD，则B，G，C三点在以D为圆心、BC为直径的圆上，故BGC90，即BGCG.跟踪训练1证明：(1)如解图1，延长CD交AB于E，解图1ADECADACD，BDECBDBCD，ADBADEBDECADCBDACB，ADBACB90，CADCBD90； (2)如解图2，解图2CADCBD90，CBDCBE90，CADCBE.ACBDADBC，BDBE，.ACDBCE，如图2，连接DE，BEBD，BEBD，BDE是等腰直角三角形.ACDBCE.ACDBCE.ACBDCE，ACBDCE.，.2证明：(1)如解图1，连接EM，CM, AEBE，M是
21、AB的中点， EMAB，CMAB.EMCM. N是EC的中点， MNEC. (2)ECF90，ACB90，ECAACF90，ACFFCB90，ECAFCB.CFBECFCEF90CEF, AECAEBCEF90CEF，CFBAEC.AECBFC.AC2BC，AE2BF.(3)AEPACB90，BACPAE, ACBAEP. .AC2BC, AE2PE.AE2BF, PEBF.3证明：(1)四边形ABCD是矩形，ADABCBCD90.APEAEP90，DCFDFC90.由折叠性质得ABCPB1C90， B1EFB1FE90.又B1EFAEP，B1FEDFC, DFCAPE，且AD.APEDFC.
22、(2)PEEF，AB190，AEPB1EF. APEB1FE(AAS). AEB1E，APB1F， AEEFPEB1E. AFB1P.设BPa，则AP3aB1F, 由折叠性质，得BPB1Pa，BCB1C4, AFa，CF4(3a)a1 .DFADAF4a.在RtDFC中，CF2DF2CD2, (a1)2(4a)29. a2.4 即BP2.4.(3)由折叠性质，得BCB1C，BPB1P，BCPB1CP, CP垂直平分BB1. B1BCBCP90.BCB1C, B1BCBB1C，且BB1CPB1B90. PB1BPCB.四边形ABCD是矩形， ADBC.B1BCB1QF.B1QFBB1C, QFB
23、1F .EQQF85，设EQ8k，QF5k.B1F5k，EFEQQF13k. 在RtB1EF中，B1E12k，如解图，过点Q作HQB1E于点H, 又PB1C90， HQB1F ，EHQEB1F.EH，HQ.B1H.tanPCBtanPB1B.4解：(1)MQBC，MQB90.MQBCAB，又QBMABC，QBMABC；(2)当BQMN时，四边形BMNQ为平行四边形，MNBQ，BQMN，四边形BMNQ为平行四边形；(3)A90，AB3，AC4，BC5.QBMABC，即.解得：QMx，BMx，MNBC，即.解得，MN5x，则四边形BMNQ的面积(5xx)x(x)2，当x时，四边形BMNQ的面积最大
24、，最大值为.类型三【例3】 (1)证明：ACB90，ACBC，ABC45PBAPBC.又APB135，PABPBA45.PBCPAB.又APBBPC135，PABPBC.(2)PABPBC，.在RtABC中，ACBC，.PBPC，PAPB.PA2PC.(3)过点P作PDBC，PEAC，垂足分别为点D，E，CPBAPB135135270，APC90.EAPACP90.又ACBACPPCD90，EAPPCD.RtAEPRtCDP，2，即2，h32h2.PABPBC，.h1h2，即h122h222h2h2h2h3.跟踪训练1(1)证明：四边形ABCD为正方形，ABBC，ABCBCF90.又AGB90
25、，BAEABG90.又ABGCBF90，BAECBF.ABEBCF(ASA)BECF；AGB90，点M为AB的中点，MGMAMB.GAMAGM.又CGEAGM，CGECBG.又ECGGCB，CGECBG.，即CG2BCCE.四边形ABCD是正方形，ABCD，CFGGBMBGMCGF，得CFCG.由知，BECF，BECG，BE2BCCE.(2)如解图，延长AE、DC交于点N，四边形ABCD是正方形，ABCD.NEAB.又CENBEA，CENBEA.，即BECNABCE.ABBC，BE2BCCE，CNBE，由ABDN，知.又AMMB，FCCNBE，不妨假设正方形边长为1.设BEx，则由BE2BCC
26、E，得x21(1x)解得x1，x2(舍去)，.tan CBF.2(1)证明：ACB90，点M为BD的中点，CMBD，同理EMBD.CMEM.(2)解：方法一：ACB90，BAC50，ABC40.由(1)得CMDMBMEM，点B，C，D，E在以点M为圆心，BD为直径的M上CME2ABC80.EMF18080100；方法二：ACB90，BAC50，ABC40.DEAB，CDEADEA140.由(1)得CMDMEM，MCDMDC，MEDMDE.DCMDEMMDCMDE140.CME36014014080.EMF18080100.(3)证明：方法一：DAECEM，CMEDEA90，DECM，AEEM.
27、又CMDMEM，DMDEEM，DEM是等边三角形在RtEMF中，EMF90，MEFDEFDEM30.又NMCMEMAE，FNFMNMEFAE(AEEF)AF.AFNEFM，AFNEFM，NAFMEF.故ANEM.方法二：如解图，连接AM，则EAMEMAMEF15，AMCEMCEMA75，又CMDEMCEMD30，且MCMD，ACM(18030)75.由可知ACAM，又N为CM的中点，ANCM.而EMCM，ANEM.3(1)证明：易证BAEDAC，则BEDC，BEADCA，EOCEAC90，即BEDC. (2)解：如解图1，取DE中点H，连接GH，FH，解图1又G，H分别是DB，DE的中点，GH
28、BE，GHBE.同理FHDC，FHDC，又BEDC，BEDC，FHGH，FHGH.GFGHBE.又BEBC，；解：BEBC，AEAC，BABA，BEABCA.BAEBAC135.DAEBAE9045，即OADOAE45.如解图2，过点A作AMBE，ANCD，解图2BEADCA，得AMAN，OA平分BOC.又BEDC，BOACOA45.DOAEOA135.在DOA中，ODAOAD180DOA45.OAEODA.ODAOAE.即ODOEOA24.SDOEODOE2.即DOE的面积为2.4(1)证明：在ABCD中，ADBC，ADEF.E是AB的中点，AEBE.又AEDBEF(对顶角相等)ADEBFE
29、(AAS) (2)证明：如解图1，解图1在ABCD中，ABCD，ABCD，AEKCDH.AKHC，AKECHD.AEKCDH.又E是边AB的中点，2AEABCD，HC2AK；解：当点G是BC的中点时，如解图2，解图2在ABCD中，ADBC，ADBC，AHDGHF，由(1)得ADEBFE，ADBF.又G是BC的中点，2BGADBF.HDHF.如解图3，解图3ADFC，ADKF.AKHC，AKHCHK.AKDCHF(等角的补角相等)AKDCHF.KDHF.HKHDKDHF.4.HD4HK.n4.5(1)证明：由折叠的性质可知：DAEDA1E90，EBHEB1H90，AEDA1ED，BEHB1EH，
30、则DEA1HEB190.又HEB1EHB190，DEA1EHB1.A1DEB1EH；(2)解：结论：DEF是等边三角形；理由如下：直线MN是矩形ABCD的对称轴，点A1是EF的中点，即A1EA1F.在A1DE和A1DF中，A1DEA1DF(SAS)DEDF，FDA1EDA1.又ADEA1DE，ADF90.ADEEDA1FDA130.EDF60.DEF是等边三角形；(3)DG，EG，FG的数量关系是DG2GF2GE2，理由如下：由(2)可知DEF是等边三角形；将DGE逆时针旋转60到DGF位置，如解图，GFGE，DGDG，GDG60.DGG是等边三角形GGDG，DGG60.DGF150，GGF9
31、0.GG2GF2GF2.DG2GF2GE2.6(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBF.AECF，四边形ACFE是平行四边形EFAC.解：12，1EBC90，2EBC90.BHC90.EFAC ，F2，BHCBEFABC90.BEFABC.(2)解：如解图，作矩形PEFQ，连接EG，则EHG EFG(SSS)，EHG90，可得EPHHQG，设QGx，则PH2x，QH102x，PE204x，PEQF，204x5x，x3.PE8.7(1)证明：在ABC中，ACB90，EGAE交AB于点G.FACFEC90，GEBFEC90，FACGEB.又ACB90，CDAB，FCADCB90，BDCB90.FCAB.AFCEGB. (2)证明：如解图1，连接DE，解图1在ABC中，ACB90，ACBC，CDAB于点D，BCD是等腰直角三角形又E是BC边的中点，DEBE，FDEB45.DEFDEG90，BEGDEG90，DEFBEG.DEFBEG(ASA)EFEG.(3)解：.理由如下：如解图2，过点E作EOBC交CD的延长线于点O.解图2BBCO90，OBCO90，BO.FEOOEG90，BEGOEG90，FEOGEB.EFOEGB.又E是BC边的中点BECE.又BO，ACBCEO.ABCCOE.，.n，.
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