1、 二次函数单元检测题一、单选题1若不等式 对 恒成立，则 x 的取值范围是 2+712+5 11 ( )A B C D 23 10) (1,0) (0,2) =+P 的取值范围是 ( )A B C D 12+5 2+560当 时， 不成立， =0 60，0关于 a 的一次函数 ， =2+56当 时， ，=1 =2+56=(2)(3)当 时， ，=1 =2+56=(1)(+6)不等式对 恒成立， 11，(2)(3)0(1)(+6)0 解得 20 可知抛物线开口向上，再根据抛物线与 x 轴最多有一个交点可 c0，由此可判断，根据抛物线的对称轴公式 x= 可判断，由 ax2+bx+c0 可判断出 a
2、x2+bx+c+110，2从而可判断，由题意可得 ab+c0，继而可得 a+b+c2b，从而可判断.【详解】抛物线 y=ax2+bx+c（02ab）与 x 轴最多有一个交点，抛物线与 y 轴交于正半轴，c0，abc0，故正确；02ab， 1，2 1，2该抛物线的对称轴在 x=1 的左侧，故错误；由题意可知：对于任意的 x，都有 y=ax2+bx+c0，ax 2+bx+c+110，即该方程无解，故 正确；抛物线 y=ax2+bx+c（02ab）与 x 轴最多有一个交点，当 x=1 时，y0，ab+c 0，a+b+c2b，b0， 2，故正确，+综上所述，正确的结论有 3 个，故选 C【点睛】本题考
3、查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.5 A【解析】【分析】A、设抛物线的表达式为 y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得 a 的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断； D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm，因为（1）中求得 y=0.2x2+3.5，当 x=2，5 时，即可求得结论【详解】解：A、抛物线的顶点坐标为（0，3.5），可设抛物线的函数关系式为 y=ax2+3.5篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a1.52+3.5，a= ，15y= x2+3.515故本选项正确；B、由图示知，篮圈
4、中心的坐标是（1.5， 3.05），故本选项错误；C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0， 3.5），故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm，因为（1）中求得 y=0.2x2+3.5，当 x=2.5 时，h=0.2（2.5）2+3.5=2.25m这次跳投时，球出手处离地面 2.25m故本选项错误故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键6 C【解析】【分析】先利用待定系数法求出经过点 和 的直线解析式为 ，则当 时，(1,0) (0,2)
5、 =22 =1，再利用抛物线的顶点在第三象限，所以 时，对应的二次函数值为负=22=4 =1数，从而得到所以 40 0 =24=0x 轴有 1 个交点； 时，抛物线与 x 轴没有交点=240 =24=0交点； 时，抛物线与 x 轴没有交点=240，即（-4） 2-4k0，k4，故答案为：k4.【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，由题意得出抛物线与 x 轴有两个交点是解题的关键.15 -2【解析】【分析】由抛物线 经过点 (2，7)，得 4a+2b-1=7, 2a+b=4,=2+1 122+12+3250=3(2a+b)2-50.【详解】因为，抛物线 经过点(2 ，7)，=2+1所以，
6、4a+2b-1=7,所以，2a+b=4,所以， 122+12+3250=3（4a 2+4ab+b2）-50=3(2a+b)2-50=342-50=-2故答案为：-2【点睛】本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：理解二次函数性质.16 x=3【解析】【分析】根据二次函数对称轴直线方程 ,代入直线方程即可求解 .=2【详解】由二次函数对称轴直线方程 可得:=2抛物线 的对称轴是直线 ,=142+32+4 = 322(14)=3故答案为: .=3【点睛】本题主要考查二次函数对称轴直线方程,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴直线方程.17 （1） ；（2）当 的值最小时，点 P 的坐标为 ；（
7、3）点 M 的坐=2+2+3 + (1,2)标为 、 、 或 .(1,1) (1,2) (1,83) (1,23)【解析】【分析】由点 A、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(1)连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 取最小值，利用二次函数图象上点的坐标(2) +特征可求出点 B 的坐标，由点 B、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P 的坐标；设点 M 的坐标为 ，则 ，(3) (1,) =(10)2+(3)2， ，分 、=0(1)2+(30)2=10=1(1)2+(0)2 =9
8、0和 三种情况，利用勾股定理可得出关于 m 的一元二次方程或一元=90 =90一次方程，解之可得出 m 的值，进而即可得出点 M 的坐标【详解】解： 将 、 代入 中，(1)(1,0) (0,3) =2+得： ，解得： ，1+=0=3 =2=3 抛物线的解析式为 =2+2+3连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 取最小值，如图 1 所示(2) +当 时，有 ，=0 2+2+3=0解得： ， ，1=1 2=3点 B 的坐标为 (3,0)抛物线的解析式为 ， =2+2+3=(1)2+4抛物线的对称轴为直线 =1设直线 BC 的解析式为 ，=+(0)将 、 代入 中，(3,0) (0,3) =+
9、得： ，解得： ，3+=0=3 =1=3 直线 BC 的解析式为 =+3当 时， ， =1 =+3=2当 的值最小时，点 P 的坐标为 + (1,2)设点 M 的坐标为 ，(3) (1,)则 ， ，=(10)2+(3)2 =0(1)2+(30)2=10=1(1)2+(0)2分三种情况考虑：当 时，有 ，即 ，=90 2=2+2 10=1+(3)2+4+2解得： ， ，1=1 2=2点 M 的坐标为 或 ； (1,1) (1,2)当 时，有 ，即 ，=90 2=2+2 4+2=10+1+(3)2解得： ，=83点 M 的坐标为 ； (1,83)当 时，有 ，即 ，=90 2=2+2 1+(3)2
10、=4+2+10解得： ，=23点 M 的坐标为 (1,23).综上所述：当 是直角三角形时，点 M 的坐标为 、 、 或 (1,1) (1,2) (1,83) (1,23).【点睛】本题考查待定系数法求二次 一次 函数解析式、二次 一次 函数图象的点的坐标特征、轴( ) ( )对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是： 由点的坐标，利用待定系数法求(1)出抛物线解析式； 由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点 P 的位置； 分(2) (3)、 和 三种情况，列出关于 m 的方程=90 =90 =9018 抛物线的解析式为 ，顶点 M 的坐标为 ； ；(1) =(2)21 (2,1)(
11、2)=12P 点坐标为 或(3) (2,2+5) (2,2 5).【解析】【分析】根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；(1)根据勾股定理及逆定理，可得 ，根据正切函数，可得答案；(2) =90根据相似三角形的判定与性质，可得 PM 的值，可得 M 点坐标(3)【详解】由抛物线 过点 ，(1) =(2)21 (4,3)得 ，解得 ，3=(42)21 =1抛物线的解析式为 ，顶点 M 的坐标为 ； =(2)21 (2,1)如图 1，连接 OM，(2)， ， ，2=32+42=252=22+12=5 2=22+42=20，2+2=2，=90， ，=5 =25；= 525=
12、12如图 2，过 C 作 对称轴，垂足 N 在对称轴上，取一点 E，使 ，连接(3) =2CE， =6当 时， ，解得的 ， ， ， =0 (2)21=0 1=1 2=3 (1,0) (3,0)， ，=45，=+=+，= ，易知 ， ，= =2 =22，解得 ，62 =22 =35P 点坐标为 或(2,2+5) (2,2 5).【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题19 (1)y= x2+ x+3；(2) 当 a=2 时，
13、DE 取最大值，最大值是 ；（3）存在点 D，使得CDE34 94 125中有一个角与CFO 相等，点 D 的横坐标为 或 73 10733【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据相似三角形的判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据正切函数，可得CFO，根据相似三角形的性质，可得 GH，BH，根据待定系数法，可得 CG 的解析式，根据解方程组，可得答案【详解】（1）由题意，得 ，+ 016+4+ 0 3 解得 ， 34 94 3 抛物线的函数表达式为 y=- x2
14、+ x+3；34 94（2）设直线 BC 的解析是为 y=kx+b，4+ 0 3 解得 ， 34 3 y=- x+3，34设 D（a，- a2+ a+3），（0a 4） ，过点 D 作 DMx 轴交 BC 于 M 点，如图 134 94，M（a，- a+3），34DM=（- a2+ a+3）-（- a+3）=- a2+3a，34 94 34 34DME=OCB，DEM=BOC，DEMBOC， ，=OB=4，OC=3，BC=5，DE= DM45DE=- a2+ a=- （a-2）2+ ，35 125 35 125当 a=2 时，DE 取最大值，最大值是 ，125（3）假设存在这样的点 D，CDE
15、 使得中有一个角与CFO 相等，点 F 为 AB 的中点，OF= ，tanCFO= =2，32 过点 B 作 BGBC，交 CD 的延长线于 G 点，过点 G 作 GHx 轴，垂足为 H，如图 2，若DCE=CFO，tanDCE= =2，BG=10，GBHBCO， =GH=8，BH=6，G（10，8），设直线 CG 的解析式为 y=kx+b， ， 310+ 8 解得 ， 12 3 直线 CG 的解析式为 y= x+3，12 ， 12+3 342+94+3 解得 x= ，或 x=0（舍） 73若CDE=CFO，同理可得 BG= ，GH=2，BH= ，52 32G（ ，2），112同理可得，直线 CG 的解析是为 y=- x+3，211 ， 211+3 342+94+3 解得 x= 或 x=0（舍） ，10733综上所述，存在点 D，使得 CDE 中有一个角与CFO 相等，点 D 的横坐标为 或 73 10733【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出 DE 的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出 G 点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标
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