1、2019年中考数学最后一轮复习分层专项：四边形1如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A（，3），ACOA与x轴的交点为C动点M以每秒个单位长度由点A向点O运动同时，动点N以每秒3个单位长度由点O向点C运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动（1）写出AOC的值；（2）用t表示出四边形AMNC的面积；（3）求点P的坐标，使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形？解：（1）如图1中，作AHOC于HA（，3），OH，AH3，tanAOH，AOH60，OAAC，OAC90，ACO30（2）作MKBC于K在RtAOH中，OH，OAH30，OA2OH2，在RtAOC中，AOC30，OA2
2、，ACOA6，OMt，MKOMsin60t，S四边形AMNCSOACSOMNOAACONMK263tt6t2（0t2）（3）当四边形CNMP1是平行四边形时，P1（t3t， t）当四边形ONP2M是平行四边形时，P2（t+3t， t）当四边形OMNP3是平行四边形时，P3（3tt，t）2如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC（1）试猜想AE与GC有怎样的关系（直接写出结论即可）；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由（3）在（2）中，若E
3、是BC的中点，且BC2，则C，F两点间的距离为解：（1）答：AECG，AEGC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，ADDC，ADECDG90，DEDG，ADECDG（SAS），AE，CG，122+390，1+390，AHG180（1+3）1809090，AEGC（2）答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，ADDC，DEDG，ADCDCBBBADEDG90，12903；ADECDG（SAS），AECG，54；又5+690，4+7180DCE1809090，67，又6+AEB90，AEBCEH，CEH+790，EHC90，AEG
4、C（3）如图3中，作CMDG于G，GNCD于N，CHFG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CMGH，CHGMBECE1，ABCD2，AEDECGDGFG，DEDG，DCEGND，EDCDGN，DCEGND（AAS），GCD2，SDCGCDNGDGCM，22CM，CMGH，MGCH，FHFGFG，CF故答案为3如图1，在ABCD中，AEBC于E，E恰为BC的中点tanB2（1）求证：ADAE；（2）如图2点P在BE上，作EFDP于点F，连结AF线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC，上任意一点（P不与点E重合）时，作EFDP于点F，连结A
5、F，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？请在图3中补全图形，直接写出结论（1）证明：如图1中，tanB2，AE2BE；E是BC中点，BC2BE，即AEBC；又四边形ABCD是平行四边形，则ADBCAE；（2）证明：作AGAF，交DP于G；（如图2）ADBC，ADGDPC；AEPEFP90，PEF+EPFPEF+AEF90，即ADGAEFFPE；又AEAD，FAEGAD90EAG，AFEAGD，AFAG，即AFG是等腰直角三角形，且EFDG；FGAF，且DFDG+GFEF+FG，故DFEFAF；（3）解：如图3，当EP在线段BC上时，有DFEFAF，证明方法类似（2）如图31中，点F在PD
6、上，DF+EFAF理由：将AEF绕点A逆时针旋转90得到ADGAEFADG，同（1）可得：DGEF，AGAF，GFAF，则EF+DFAF如图32，点F在PD的延长线上，EFDFAF，证明方法类似（2）4如图1，在矩形ABCD中，AB6，AD8，E、F分别为AB、AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG（1）如图1，请直接写出；如图2，当矩形AEGF绕点A顺时针旋转至点G落在AB上时，；（2）当矩形AEGF绕点A旋转至图3的位置时，图2中DF与CG之间的数量关系是否还成立？说明理由（3）如图4，在ABCD中，B60，AB6，AD8，E、F分别为AB、AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，
7、连接CG，当AEGF绕点A顺时针旋转60时（如图5），请直接写出CG的长度解：（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形在RtCGH中，GHDF4，CHDHAE3，CG5，成立理由如下：如图2中，作FPAD于P在矩形AEGF中，AE3，EG4，AG5，BGABAG1，在RtCBG中，CG，由APFAEG，可得，AP，PF，DPADAP8，在RtPDF中，DF，故答案为：，（2）成立理由如下：连接AG、AC由旋转可知：DAFCAG，由勾股定理可知：AC10，AG5，ADFACG，（3）如图4中，延长EG交CD于H，作CKGH于K由题意可知四边形FGHD是平行四边形，四边形AEGF
8、是平行四边形，DFGH4，DHFGAE3，CH3，CHGD60，在RtCHK中，HK，CK，GKGHKH，在RtCGK中，CG，CGDF在图5中，连接AG、AC同法可证：ACGADF，可得：，可得CGDF作FHAD于H，易知AHAF2，FH2，DH6，DF4，CG45如图，ABC中，ACB90，AC4，BC6，点E，F分别在边AB，BC上，将ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，且CD3（1）求CF的长；（2）点G是射线BA上的一个动点，连接DG，GC，BD，DGC的面积与DGB的面积相等，当点G在线段BA上时，求BG的长；当点G在线段BA的延长线上时，BG3；（3）将直线EF平
9、移，平移后的直线与直线BC，直线AC分别交于点M和点N，以线段MN为一边作正方形MNPQ，点P与点B在直线MN两侧，连接PD，当PDBC时，请直接写出tanQBC的值解：（1）如图1中，连接DF，将ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处DFBF在RtDCF中，DF2DC2+CF2，（6CF）29+CF2，CF（2）如图21中，当DGBC时，SDGCSDGB设BGx在RtACB中，AC4，BC6，AB2，DGBC，x如图22中，当点G在BA的延长线上时，CD3AD，SGDC3SQAD，当SADB2SADG时，SGDCSGBD，AB2AG，AG，GB3，故答案为：3（3）如图3中，当P
10、DBC时，作QKBC于K四边形MNPQ是正方形，易证PDNNCMMKA，KQCMDN，KMCNPD，PDNBCD，PD2DN，CN2DN，DN1，CN2，KQDNCM1，KMCN2，BK9，tanQBC6如图，在平行四边形ABCD中，DBDA，ADB的角平分线与AB相交于点F，与CB的延长线相交于点E连接AE（1）求证：四边形AEBD是菱形（2）若四边形ABCD是菱形，DC10，则菱形AEBD的面积是50（直接填空，不必证明）证明：（1）四边形ABCD是平行四边形ADBCADEDEB，DE平分ADBADEBDEBEDBDEBEBD，且BDDAADBE，且ADBE四边形ADBE是平行四边形且AD
11、BD四边形AEBD是菱形（2）四边形ABCD是菱形ABADCD10，且ADBDABD是等边三角形BAD60四边形AEBD是菱形AFBF，ABDE，EFDF，ADF30AF5，DF5DE10菱形AEBD的面积101050故答案为：507如图，正方形ABCD中，边长AB6cm，对角线DB上的动点P，以2cm/s的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动；动点Q与点P同时出发，以1cm/s的速度从点C沿CB向点B运动，过点P作与DB垂直的直线EF，分别交AD边于点E，交DC边于点F，连接PQ设P、Q两点各运动了ts，当点E与点A重合，则运动停止（1）求当t为何值时，点E与点A重合（2）若四边形PEBQ的
12、面积为S，求S与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使EFQ是直角三角形？存在，请求出t值；不存在，请说明理由解：（1）四边形ABCD是正方形，ADCA90，BD平分ADC，ADB45，EFBD，EPD90，PDE是等腰直角三角形，DEPD，PD2t，DE4t，当E，A重合时，DEAD6，4t6，t1.5（2）如图，作PHBC于H，则PH62tSSPBE+SPBQSABDSEDPSABE+SPBQ66t2t（64t）6+（6t）（62t）184t218+12t+189t+t23t2+3t+18（0t1.5）（3）当QFE90时，易证CFCQ，64tt，t1.2当FQE90时，易知PQPE
13、PF，（62t）2+（2tt）2（2t）2，整理得：t2+8t120解得t24和24（舍弃）综上所述，满足条件的t的值为1.2秒或（24）秒8定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”如图1，四边形ABCD中，ABBC，B+D180（或A+C180），则四边形ABCD叫做“邻等对补四边形”概念理解（1）在以下四种图形中：平行四边形，菱形，矩形，正方形；一定是“邻等对补四边形”的是；（填写序号）（2）如图2，点A、B、C是网格中格点，请找出两个格点P1，P2，连接P1A、P1C，P2A、P2C画出四边形P1ABC，P2ABC，使四边形P1ABC，P2ABC均为“邻等对补四边形”性
14、质证明（3）如图1，四边形ABCD中，ABBC，A+C180，连接BD，求证：BD平分ADC知识运用（4）如图3，在“邻等对补四边形”ABCD中，满足ABAD，AB+BC6，ADC60时，若2BC3，求四边形ABCD的面积的最大值解：（1）根据“邻等对补四边形”的定义，正方形一定是“邻等对补四边形”故答案为：（2）如图2中，作ABC的外接圆，图中点P1，P2即为所求（答案不唯一）（3）如图1中，连接AC，BDBAD+BCD180，A，B，C，D四点共圆，BABC，ADBBDC，BD平分ADC（4）如图3中，延长CB到H，使得BHBA，连接AH，AC，作CEAD于E，CFAH于F，作AKBH于K
15、设BCxADC+ABC180，ADC60，ABC120，ABH60，BABH，ABH是等边三角形，H60，HD，由（2）可知AC平分BCD，ACHACD，ACAC，ACHACD，CADCAH，CEAD，CFAH，CECF，BH+BCAB+BC6，CFCECHsin603，AKHKtan60（6x），S四边形ABCDSADC+SACB（6x）3+x（6x）x2+9，2x3，x2时，S有最大值，最大值S8，9如图1，在矩形纸片ABCD中，AB2，AD6，将纸片沿对角线AC对折，点D落在点P处（1）填空：BCA的大小是30；（2）如图2，吕家三少将折叠后的纸片沿着AC剪开，把APC绕点A逆时针旋转角
16、（090），得到APC，点P，C分别对应点P，C，PA交BC于点E，PC交CD于点F点15时，求证：ABBE；填空：当点P落在边BC上时，连接AF，则tanDAF的值为；填空：在的条件下，将APC沿着AP折叠至APC处，点C对应点C，AC交BC于点G，则线段BG的长度为818（1）解：四边形ABCD是矩形，B90，ADBC6，ABCD2，tanACB，ACB30，故答案为30（2）证明：如图21中，在RtABC中，ACB30，B90，CAB60，15，CAE15，BAE45，AEBEAB45，BABE解：如图22中，在RtABP中，BP2，CP62，CFP+FPC90，FPC+APB90，AP
17、BCFP，FCPB90，FCPPBA，CF64，DF2（64）66，tanDAF故答案为如图32中，作GHAP于H，设GHx由PHGPBA，可得PHx，GAH30，GHA90，AHx，AP6，x+x6，x6（），AG2GH12（），在RtABG中，BG818（也可以利用相似三角形的性质求出GP，可以避免重根式）故答案为81810宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美，各国许多著名的建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计下面叙述用宽为2（MN2）的矩形纸片折叠黄金矩形的过程第一步，在矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形，画出线段BC然后把纸片展平第二步
18、，如图，把所得正方形MNCB以直线FA为对称轴折成两个全等的矩形，再把纸片展平第三步，折出内侧矩形的对角线AB第四步，按照图的方式、沿直线AQ折叠这张矩形纸片，M的对应点用M表示N的对应点用N表示，使图中所示的B、A、N恰好共线，MQ的对应边与直线NC相交于点D第五步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，使DEND，则图中就会出现黄金矩形（1）图中ABcm（2）如图，判断四边形BADQ的形状是菱形，线段CD的长是（1）cm（3）请写出图中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由结合图，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示新的黄金矩形，并写出它的长和宽解：（1）如图3中，
19、在RtABC中，AB，故答案为（2）结论：四边形BADQ是菱形理由：如图中，四边形ACBF是矩形，BQAD，ABDQ，四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：ABAD，四边形ABQD是菱形，CDADAC1，故答案为：菱形，1（3）如图中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDEADANAC1，CDADAC1，BC2，矩形BCDE是黄金矩形，矩形MNDE是黄金矩形如图1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形长GH1，宽HE311如图，在菱形ABCD中，AB5cm，BD8cm，动点P从点B开始沿BC边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运
20、动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QECD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0t5（1）当PQCD时，求t的值；（2）设四边形PQEC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当P，Q两点运动到使PQE60时，求四边形PQEC的面积；（4）是否存在某一时刻t，使PQ+QE的值最小？若存在，请求t的值，并求出此时PQ+QE的值；若不存在，请说明理由解：（1）由题意得：PBDQt，BD8，BQ8t，当PQCD时，t；（2）如图1，过P作PHBD于H，连接AC交BD于点O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BOCCOD90，ABBCCD5，OBO
21、DBD4，OC3，sinHBP，PBt，PHt，同理得EQt，DEt，SSBCDSBPQSDEQt+12；（3）如图2，过Q作QMCD，交BC于M，延长QP与EC交于点F，即，MQBM，MPtt5，MQFC，QMPFCP，即，FC，RtFQE中，PQE60，FEQE，+5tt，t，由（2）知：四边形PQEC的面积t+12（t20）212，四边形PQEC的面积（20）212；（可以过P作CD的平行线）；（4）存在，如图4，过Q作QFAD于F，四边形ABCD是菱形，BD平分ADC，QECD，QEQF，当P、Q、F三点共线时，PQ+QE的值最小，ADBC，PFBC，S菱形ABCDPFBC，PF，PF
22、PQ+FQPQ+EQt+t，t；存在，当ts时，使PQ+QE的值最小，最小值是12如图，在ABCD中，BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE（1）求证：DADF；（2）若ADECDE30，DE2，求ABCD的面积（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，ABCDBAFFAF平分BAD，BAFDAFFDAFADFD（2）解：ADECDE30，ADFD，DEAFtanADE，AE2S平行四边形ABCD2SADEAEDE413已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DEAC，AEBD（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB2，BCD120，求四边形AODE
23、的面积（1）证明：DEAC，AEBD，四边形AODE是平行四边形，在菱形ABCD中，ACBD，AOD90，四边形AODE是矩形；（2）解：BCD120，ABCD，ABC18012060，ABBC，ABC是等边三角形，OA42，在菱形ABCD中，ACBD由勾股定理OB2，四边形ABCD是菱形，ODOB2，四边形AODE的面积OAOD414如图，在四边形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，交BC于点E，作EFAB，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接CF，CFEF（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF4，tanFBC，求EC的长（1）证明：EFAB，ADBC四边形ABEF是平行四边形，
24、ADBC，AE平分BAD，DAEAEBDAEBAEBAEAEB，ABBE，四边形ABEF是菱形；（2）解：作FHBC于H，如图所示：四边形ABEF是菱形，BF4，BPE90，PBPF2，tanFBC，PE，BE5，在RtBFH中，tanFBC，BF4FH4，BH8EH3CFEF，EC2EH615如图，O为ABC边AC的中点，ADBC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分ADC，作DEBC，垂足为E（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若BD8，AC6，求DE的长（1）证明：O为ABC边AC的中点，ADBC，OAOC，OADOCB，ADBCBD，在OAD和OCB中，OADOCB（ASA），O
25、DOB，四边形ABCD是平行四边形，DB平分ADC，ADBCDB，CBDCDB，BCDC，四边形ABCD是菱形；（2）解：四边形ABCD是菱形，OBBD4，OCAC3，ACBD，BOC90，BC5，DEBC，E90BOC，OBCEBD，BOCBED，即，DE16如图，在ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得AFCDEC，连接CF，DE（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）如果AB13，DF14，tanDCB，求CF的长（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADEDEC，AFCDEC，AFCADE，DECF，ADBC，DFCE，四边形DECF是平行四边形；（2）解：如图，过D作DMEC于M，则DMCDME90，四边形ABCD是平行四边形，DCAB13，DCBCDF，tanCDF，tanDCB，设DM12x，则CM5x，由勾股定理得：（12x）2+（5x）2132，解得：x1，即CM5，DM12，CE14，EM1459，在RtDME中，由勾股定理得：DE15，四边形DECF是平行四边形，CFDE15
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